Curvatura: concavidade e ponto de inflexão

Relaciona cada uma das seguintes condições sobre a segunda derivada com a forma do gráfico da função $f(x)$ num intervalo dado:

1. $f''(x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ e existe uma mudança de sinal de $f''(x)$ ao passar por $x = c$.

Utilize os termos: Côncava (concavidade para baixo, $\cap$), Convexa (concavidade para cima, $\cup$) e Ponto de Inflexão.

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realiza os seguintes passos para estudar a sua curvatura (chama-se côncava ($\cap$) à zona em que $f''(x)<0$ e convexa ($\cup$) à zona em que $f''(x)>0$):

1. a) Calcula a segunda derivada $f''(x)$.

1. b) Determina os intervalos de concavidade ($\cap$) e de convexidade ($\cup$).

1. c) Determina as coordenadas do ponto de inflexão.

Determine os intervalos de curvatura da função exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. Esta função possui algum ponto de inflexão? Justifique a resposta com base no valor da segunda derivada.

Um designer de pistas de skate está a modelar o perfil de uma rampa por meio da função $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, onde $x$ representa a distância horizontal em metros. O designer precisa de saber onde a rampa muda de "tipo montanha" (côncava) para "tipo vale" (convexa) para garantir a transição. Calcule o ponto de inflexão dessa trajetória.

O Marcos tem de estudar a curvatura da função polinomial $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. No seu exame, escreve o seguinte raciocínio:

«Primeira derivada: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Segunda derivada: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Igualo a zero: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Portanto, o gráfico da função muda de concavidade em $x = 1$ e apresenta um ponto de inflexão em $(1, 5)$.»

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual que o Marcos cometeu. A condição $f''(x_0) = 0$ é suficiente por si só para garantir a existência de um ponto de inflexão?
2. b) Corrige o exercício determinando os intervalos reais de concavidade ($\cap$) e convexidade ($\cup$) de $f(x)$, e conclui justificadamente se o gráfico tem ou não pontos de inflexão.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realiza um estudo detalhado da sua curvatura (considera côncava $\cup$ onde $f''(x)>0$ e convexa $\cap$ onde $f''(x)<0$). Para isso:

1. a) Determina os intervalos de concavidade e convexidade.

1. b) Determina as coordenadas exatas dos seus pontos de inflexão, se existirem.

Observe o gráfico seguinte de uma função $f(x)$ e identifique, visualmente, em que intervalos a função é convexa (concavidade voltada para cima, $\cup$) e em quais é côncava (concavidade voltada para baixo, $\cap$). Indique aproximadamente a abcissa $x$ onde considera que se situa o ponto de inflexão.

A quantidade de utilizadores ativos numa nova rede social durante os primeiros 6 meses segue aproximadamente a função $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, onde $t$ é o tempo em meses e $N(t)$ é o número de utilizadores em milhares.

1. Calcule o momento exato (valor de $t$) em que o crescimento de utilizadores começa a desacelerar (ponto de inflexão).

2. Explique o significado da curvatura da função antes e depois desse instante em termos de "ritmo de crescimento".

O gráfico seguinte corresponde à função derivada primeira, $f'(x)$, de uma função contínua $f(x)$ definida em todo o $\mathbb{R}$. A partir da informação visual fornecida e limitando-se ao troço representado, $-2 < x < 2$:

1. a) Determine os intervalos de concavidade e convexidade da função original $f(x)$.
2. b) Indique as abcissas dos pontos de inflexão de $f(x)$.
3. c) Sabendo que $f(0) = 0$, faça um esboço do gráfico da função original $f(x)$ com base na sua curvatura.

Seja a função $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Embora seja uma função racional, o seu estudo da curvatura no domínio de definição é simples. Na figura aparecem o seu gráfico e as suas assíntotas.

1. Determina $f''(x)$.

2. Estuda o seu sinal nos intervalos correspondentes (tendo em conta que $x=1$ não pertence ao domínio) e relaciona-o com a curvatura que vês em cada ramo do gráfico.

3. Tem pontos de inflexão? Justifica se a mudança de curvatura na assíntota vertical se considera ponto de inflexão.

Dada a função $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determine:

1. Os intervalos onde a função é côncava ($\cap$) e onde é convexa ($\cup$).

2. As coordenadas dos pontos de inflexão.

3. A equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no seu ponto de inflexão de abcissa positiva.

Considera a função $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Estuda o domínio e as assíntotas da função.
2. b) Determina os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento) e os extremos relativos.
3. c) Analisa a concavidade e demonstra que não existe nenhum ponto de inflexão.
4. d) Para que valor tende o declive da curva quando $x \to \infty$? Isso altera a concavidade no infinito?

Delineia a expressão algébrica de uma função cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -5)$.

2. Apresenta um ponto de inflexão no ponto de coordenadas $(2, 3)$.

3. A reta tangente ao gráfico no referido ponto de inflexão tem declive igual a $-4$.

4. A função é côncava ($\cap$) em $(-\infty, 2)$ e convexa ($\cup$) em $(2, +\infty)$.

Calcula fundamentadamente os coeficientes $a, b, c$ e $d$, e verifica explicitamente através do sinal de $f''(x)$ que a condição de curvatura 4 se verifica de forma estrita com os valores que obtiveste.

Sabe-se que a função polinomial $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem um ponto de inflexão no ponto $P(1, 2)$ e que o declive da reta tangente nesse ponto é $m = -3$. Calcule os valores dos parâmetros $a, b$ e $c$.

Deseja-se suavizar a junção de dois troços de estrada. O primeiro troço é dado pela função $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, e o segundo troço por uma função polinomial do terceiro grau $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ para $x > 1$.

Para que a transição seja "perfeitamente suave", os engenheiros exigem que no ponto de junção $x = 1$:

1. As funções coincidam ($f$ seja contínua).

2. Os declives coincidam ($f$ seja diferenciável).

3. A curvatura seja a mesma (as segundas derivadas coincidam).

Sabendo que o segundo troço deve ter um ponto de inflexão em $x = 2$, calcule os valores de $a, b, c$ e $d$.