Interpretações da probabilidade

Lança-se um pioneze $400$ vezes e ele cai com a ponta para cima em $260$ ocasiões.

1. a) Estime a probabilidade de o pioneze cair com a ponta para cima.
2. b) Explique por que razão, nesta experiência, não se pode aplicar a regra de Laplace.
3. c) Que interpretação da probabilidade foi usada na alínea a)?

Foi simulado no computador o lançamento repetido de uma moeda e registou-se a frequência relativa de CARA após $10$, $100$, $1\,000$ e $10\,000$ lançamentos, como se mostra no gráfico.

1. a) Para que valor parece estabilizar a frequência relativa? Que probabilidade estimaria para CARA?
2. b) Que lei justifica esse comportamento? Enuncie-a com as suas palavras.
3. c) Explique por que razão a estimativa com $10$ lançamentos é pouco fiável, mesmo que a experiência seja correta.

A câmara municipal de uma cidade quer estimar a proporção de habitantes que reciclam diariamente. Um inquérito a $2\,000$ pessoas escolhidas ao acaso resulta em $1\,340$ que afirmam reciclar diariamente.

1. a) Estime a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso reciclar diariamente e indique qual a interpretação da probabilidade que está a utilizar.
2. b) Outra escola repete o inquérito com apenas $50$ pessoas e obtém $31$ que reciclam ($0,62$). Qual das duas estimativas é mais fiável? Que resultado teórico a justifica?
3. c) Redija uma conclusão correta sobre a proporção de habitantes que reciclam, mencionando o papel da dimensão da amostra.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta:

1. a) «Estou há $20$ lançamentos seguidos sem obter um $5$ com este dado equilibrado. Segundo a lei dos grandes números, no próximo lançamento é muito provável que finalmente saia um $5$.»
2. b) «Embora nos últimos $20$ lançamentos não tenha saído nenhum $5$, a probabilidade de sair no seguinte continua a ser $\frac{1}{6}$: o acaso não tem memória.»

Durante uma oficina de probabilidades na aula de Matemática, o Sérgio lança uma moeda equilibrada 8 vezes consecutivas e obtém a seguinte sequência: C-C-C-C-C-C-C-C (oito caras seguidas). O Sérgio afirma entusiasmado:

«No nono lançamento, a probabilidade de sair coroa é muitíssimo maior do que $0,5$, porque a lei dos grandes números exige que a frequência de caras e coroas se equilibre a curto prazo, pelo que a moeda deve compensar a sequência».

1. a) Identifica e dá o nome à falácia ou erro de raciocínio em que o Sérgio incorre.
2. b) Explica formalmente por que razão a probabilidade de obter coroa no nono lançamento continua a ser exatamente $0,5$, apoiando-te na definição de acontecimentos independentes.
3. c) Esclarece o que afirma realmente a lei dos grandes números: as sequências passadas «compensam-se» nos lançamentos seguintes ou «diluem-se» à medida que o número total de lançamentos aumenta? Justifica a tua resposta com um raciocínio claro.

Após simular $10\,000$ lançamentos de uma moeda no computador, a frequência relativa de FACE NACIONAL resultou em $0,5003$. Dois alunos comentam o resultado:

• Aluno A: «A moeda está viciada, porque se fosse equilibrada a frequência relativa seria exatamente $0,5$.»

• Aluno B: «A probabilidade exata de FACE NACIONAL nesta moeda é $0,5003$.»

1. a) Analise o erro de cada um dos dois raciocínios.
2. b) Escreva uma conclusão correta sobre o que a experiência permite afirmar a respeito da moeda.

A aplicação do tempo anuncia: «amanhã, $70\ \%$ de probabilidade de chuva».

1. a) Explique o que significa essa afirmação: trata-se de uma probabilidade clássica (de Laplace), frequencista ou subjetiva? Em que dados se apoia?
2. b) Três amigos atribuem probabilidades ao jogo de sábado. O primeiro diz: «a minha equipa ganha com probabilidade $0,5$, empata com $0,3$ e perde com $0,3$». O segundo diz: «ganha com $0,6$, empata com $0,3$ e perde com $0,1$». Ambas as atribuições são coerentes? Porquê?
3. c) Uma probabilidade subjetiva pode ser «incorreta» mesmo sendo coerente? Comente brevemente.

Numa barraca de feira joga-se ao «disco da sorte»: deixa-se cair um disco de $2\ \text{cm}$ de diâmetro sobre uma grelha de quadrados de $5\ \text{cm}$ de lado, como se mostra na figura, e ganha-se se o disco cair sem tocar em nenhuma linha.

1. a) Calcule a probabilidade teórica de ganhar. (Sugestão: a posição do disco fica determinada pelo seu centro; raciocine em qual região de cada quadrado deve cair o centro.)
2. b) Um jogador lança o disco $300$ vezes e ganha $114$. Calcule a frequência relativa de ganhar e compare-a com a probabilidade teórica.
3. c) O resultado experimental contradiz a probabilidade teórica? Justifique a sua resposta.

Lança-se um dardo num alvo circular formado por três círculos concêntricos de raios $r$, $2r$ e $3r$. Supondo que o dardo atinge sempre o alvo e que a probabilidade de atingir uma região é diretamente proporcional à sua área, calcule a probabilidade de o dardo atingir a coroa circular intermédia (a região compreendida entre o círculo de raio $r$ e o de raio $2r$).

Nas festas populares de um concelho desenha-se uma banca de feira com um alvo quadrado de $60\text{ cm} \times 60\text{ cm}$. No interior do alvo será pintada uma faixa circular (um anel concêntrico com o centro do quadrado) compreendida entre dois raios $r_1$ e $r_2$, com $0 < r_1 < r_2 \le 30\text{ cm}$. Assume-se que o impacto de cada dardo é completamente aleatório e modela-se através de uma distribuição uniforme em toda a superfície do quadrado.

1. a) Se o raio interior estiver prefixado em $r_1 = 10\text{ cm}$, determina de forma inversa o valor exato do raio exterior $r_2$ para que a probabilidade geométrica de um dardo cair na faixa com prémio seja exatamente igual a $0,20$.
2. b) Imagina que a organização decide mudar o desenho e pintar unicamente um círculo central maciço de raio $R$. Se o organizador afirmar: «Para triplicar a probabilidade de acertar no círculo, basta triplicar o seu raio $R$», fundamenta algebricamente se a sua afirmação é verdadeira ou falsa e calcula por que fator exato se teria de multiplicar o raio $R$ para triplicar a probabilidade.

Numa avenida de Lisboa, um semáforo de peões funciona com um ciclo periódico de 100 segundos repartidos em três fases contínuas: 60 segundos em vermelho, 5 segundos em amarelo intermitente (aviso de fim de passagem) e 35 segundos em verde. Um peão chega ao semáforo num instante $t$ completamente aleatório e uniforme dentro do ciclo.

1. a) Antes de calcular, faz uma estimativa fundamentada: achas que a probabilidade de o peão ter de esperar mais de 30 segundos antes de o semáforo ficar verde é maior, menor ou igual a $50\,\%$? Justifica qualitativamente a tua previsão com base na duração das fases.
2. b) Modela matematicamente o problema através da probabilidade geométrica no intervalo $[0, 100]$ e calcula a probabilidade exata de o peão ter de esperar mais de 30 segundos até ao início da fase verde.
3. c) Verifica se o resultado obtido confirma a tua estimativa inicial. Em seguida, refuta o seguinte comentário de um transeunte: «Como ao chegar ao semáforo só há dois estados possíveis para mim (esperar ou não esperar), a probabilidade de esperar é $1/2$ pela regra de Laplace».

Dois camiões de entrega, $A$ e $B$, chegam a uma doca de carga de forma independente e aleatória entre as 12:00 e as 13:00 horas. O camião $A$ precisa de 15 minutos para descarregar, enquanto o camião $B$ precisa de 10 minutos. Se um camião chega e a doca está ocupada, tem de esperar. Utilizando a probabilidade geométrica (representando o tempo de chegada de $A$ no eixo X e o de $B$ no eixo Y), calcule a probabilidade de nenhum dos dois camiões ter de esperar pelo outro.

Duas investigadoras, Alba e Beatriz, combinaram encontrar-se no laboratório do Parque Tecnológico de Taveiro (Coimbra) entre as 10:00 e as 11:00 da manhã. Cada uma chegará de forma independente e ao acaso num instante dessa hora, com distribuição uniforme. A Alba esperará no máximo 10 minutos pela Beatriz, enquanto a Beatriz esperará pela Alba no máximo $k$ minutos (onde $0 < k \le 60$). Decorrido o seu respetivo tempo de espera, quem tiver chegado vai-se embora.

Um aluno tenta resolver o problema para o caso $k = 10\text{ minutos}$ e raciocina assim:

«Cada investigadora pode chegar em qualquer um dos 60 minutos da hora, logo há $60 \cdot 60 = 3600$ pares de minutos possíveis. Para que se encontrem, a diferença entre os seus minutos de chegada deve ser de, no máximo, 10 minutos (ou seja, $-10, -9, \dots, 0, \dots, 9, 10$), o que dá 21 diferenças possíveis. Pela regra de Laplace, a probabilidade de se encontrarem é $21/3600 \approx 0,0058$».

1. a) Explica detalhadamente os dois erros concetuais cometidos pelo aluno: um sobre a natureza do espaço de resultados (discreto vs. contínuo) e outro sobre a não equiprobabilidade das diferenças de chegada.
2. b) Modela o problema através da probabilidade geométrica na região $[0, 60] \times [0, 60]$ do plano cartesiano, onde $x$ e $y$ representam os minutos de chegada da Alba e da Beatriz, respetivamente. Apresenta as inequações que delimitam a região favorável e calcula a probabilidade exata de encontro quando $k = 10\text{ minutos}$.
3. c) Problema inverso: se a direção do centro exigir que a probabilidade de ambas as investigadoras coincidirem seja exatamente de $7/16 = 0,4375$, calcula o valor exato de minutos $k$ que a Beatriz deve comprometer-se a esperar pela Alba.

A três alunos do 12.º ano são atribuídas três situações distintas para determinar a probabilidade de um acontecimento:

• Situação 1 (Irene): Calcular a probabilidade de, ao extrair duas cartas ao acaso de um baralho espanhol de 40 cartas, ambas serem de copas.

• Situação 2 (David): Determinar a probabilidade de um pionés, ao ser lançado sobre uma mesa plana, ficar apoiado com a ponta para cima.

• Situação 3 (Marina): Estimar a probabilidade de uma empresa automóvel portuguesa ir à falência durante o próximo ano fiscal.

1. a) Para cada situação, escolhe fundamentadamente qual das três interpretações da probabilidade (clássica de Laplace, frequentista ou subjetiva) é a adequada.
2. b) Explica por que razão na Situação 2 é um erro grave aplicar a regra de Laplace argumentando que «só há duas opções possíveis: ponta para cima ou ponta para baixo, logo a probabilidade é $1/2$». Que procedimento empírico deveria o David seguir para obter uma estimativa fiável?
3. c) Na Situação 3, dois analistas financeiros atribuem probabilidades distintas ($0,05$ e $0,12$). Isso significa necessariamente que um dos dois cometeu um erro de cálculo? Que condição matemática indesculpável deve cumprir a atribuição de cada analista para ser coerente?

Três pessoas falam sobre a probabilidade de o autocarro das 8:00 chegar atrasado:

• Pessoa 1: «Dos últimos $200$ dias letivos chegou atrasado $24$, portanto a probabilidade é $0,12$.»

• Pessoa 2: «O autocarro chega pontual ou atrasado: dois casos possíveis, logo a probabilidade de chegar atrasado é $\frac{1}{2}$.»

• Pessoa 3: «Eu diria que há $40\ \%$ de probabilidade de chegar atrasado; é o que me parece pela minha experiência.»

1. a) Identifique a qual interpretação da probabilidade (frequencista, clássica ou de Laplace, e subjetiva) corresponde cada afirmação.
2. b) O raciocínio de uma das pessoas está incorreto. De qual se trata e porquê?
3. c) Que dados recolheria para melhorar cada uma das três estimativas?

Uma cooperativa agrícola de Múrcia analisa o risco primaveril de sofrer danos provocados por dois fenómenos meteorológicos incompatíveis num mesmo dia: uma geada tardia ($H$) ou uma onda de calor prematura ($C$). Dispõe-se de uma série histórica do IPMA com os registos dos últimos 200 dias de primavera equivalentes, onde houve 16 dias com geada e 24 dias com onda de calor.

Três entidades apresentam relatórios com propostas distintas:

• Relatório 1: Atribui $P(H) = 16/200 = 0,08$ e $P(C) = 24/200 = 0,12$, justificando que estas frequências refletem fielmente a lei dos grandes números.

• Relatório 2: Argumenta que, como não houve nenhuma geada nas três últimas primaveras, a probabilidade de geada para a próxima primavera deve subir pelo menos para $0,25$, pois «a natureza tende a compensar as anomalias a curto prazo para manter a média histórica».

• Relatório 3: Ajusta as probabilidades segundo projeções climáticas dinâmicas e propõe um grau de crença fundamentado: $P(H) = 0,05$, $P(C) = 0,35$ e probabilidade de o clima ser ameno (sem geada nem onda de calor) igual a $0,60$.

1. a) Classifica a interpretação da probabilidade utilizada em cada um dos três relatórios (Laplace, frequentista, subjetiva ou falaciosa).
2. b) Refuta com argumentos matemáticos a afirmação do Relatório 2: explica a diferença fundamental entre «compensação» (falácia do jogador) e «diluição» (lei dos grandes números) quando o número de anos observados tende para infinito.
3. c) Verifica se a atribuição do Relatório 3 é coerente com os axiomas de Kolmogorov da probabilidade. Em caso afirmativo, calcula a partir dela a probabilidade de se registar algum acontecimento climático extremo ($H \cup C$) e justifica se é legítimo utilizar probabilidades subjetivas na tomada de decisões quando as condições históricas deixam de ser estacionárias.