Exercícios: Tipos de funções

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, faça um estudo básico do seu comportamento seguindo estes passos:

1. a) Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados.
2. b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento utilizando a primeira derivada $f'(x)$.
3. c) Determine as coordenadas $(x, y)$ dos seus máximos e mínimos relativos.

Considera a função racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Para compreender a sua estrutura antes de a representar, analisa os seus elementos principais. A figura mostra parte do seu gráfico; as marcas dos eixos estão separadas 1 unidade.

1. a) Determina o seu domínio de definição.

1. b) Calcula as equações das suas assíntotas verticais e horizontais.

1. c) Estuda a simetria da função. É par, ímpar ou não apresenta simetria?

As funções com valores absolutos costumam apresentar pontos onde o gráfico muda bruscamente de direção. Seja a função $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expressa a função como uma função definida por ramos.

1. b) Indica o ponto do gráfico onde a função é contínua mas não é derivável (ponto anguloso).

1. c) Esboça o seu gráfico indicando o vértice.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

O domínio de uma função é fundamental para a sua representação. Determine o domínio das seguintes funções transcendentes:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explique brevemente porque existem restrições em cada caso.

Um biólogo estuda a evolução de uma população de bactérias num ambiente controlado. A quantidade de bactérias (em milhares) é dada pela função $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, onde $t$ é o tempo em horas desde o início da experiência ($t \geq 0$). A figura mostra o gráfico de $P(t)$.

1. a) Que população há no início da experiência ($t = 0$)?

1. b) Qual é o limite da população quando o tempo cresce indefinidamente? Interpreta o resultado em termos de assíntotas.

1. c) A população aumenta ou diminui com o tempo? Justifica a tua resposta usando a derivada $P'(t)$.

Dada a função $f(x) = x^4 - 2x^2$, estude a sua curvatura realizando os seguintes passos:

1. a) Calcule a segunda derivada $f''(x)$.
2. b) Determine os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para baixo ($\cup$) e para cima ($\cap$).
3. c) Determine os pontos de inflexão da função.

Determine a paridade das seguintes funções justificando matematicamente se são pares ($f(x) = f(-x)$), ímpares ($f(-x) = -f(x)$) ou nenhuma das anteriores:

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Observa o seguinte gráfico de uma função $f(x)$ (as retas tracejadas são as assíntotas da função; usa as marcas dos eixos, uma por unidade) e extrai a informação pedida:

1. a) Indica os valores de $x$ onde se encontram as assíntotas verticais.

1. b) Estima os intervalos onde a função é crescente.

1. c) Identifica o valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ observando o comportamento do gráfico.

O Marcos deve calcular os extremos relativos da função com valor absoluto $f(x) = |x^2 - 9|$. No seu exame escreve o seguinte:

«Como o valor absoluto não altera o grau do polinómio, derivo diretamente o seu argumento para obter o declive: $f'(x) = 2x$. Igualo a zero e obtenho $2x = 0 \implies x = 0$. Substituindo, $f(0) = |-9| = 9$. Como $f''(0) = 2 > 0$, concluo que a função tem um único extremo relativo: um mínimo no ponto $(0, 9)$».

1. a) Identifica os dois erros concetuais graves cometidos pelo Marcos ao ignorar a definição do valor absoluto e a derivabilidade da função.
2. b) Escreve $f(x)$ corretamente como uma função definida por ramos segundo o sinal do seu argumento.
3. c) Encontra todos os extremos relativos reais de $f(x)$, classificando-os fundamentadamente em máximos ou mínimos e distinguindo quais correspondem a pontos suaves ($f'(x) = 0$) e quais a pontos angulosos ou bicos onde a função não é derivável.

Para estudar as assíntotas e a posição relativa da curva da função racional $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, dois alunos propõem estratégias distintas:

• Método A (Alba): Realizar a divisão polinomial entre o numerador e o denominador para decompor a função na forma $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Método B (Bruno): Aplicar os limites clássicos $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ e $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Compara ambos os métodos e justifica por que razão o da Alba é mais eficiente neste caso para determinar simultaneamente a equação da assíntota oblíqua e a posição do gráfico em relação a ela em $+\infty$ e $-\infty$ sem necessidade de calcular limites adicionais.
2. b) Aplica o método da Alba para encontrar a reta assíntota e fundamenta analiticamente se a curva se situa acima ou abaixo da referida assíntota em cada um dos dois infinitos.

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, realiza um estudo completo para a sua representação gráfica seguindo estes passos:

1. a) Determina o domínio de definição e os pontos de interseção com os eixos coordenados.

1. b) Estuda a existência de simetrias na função.

1. c) Determina as assíntotas verticais, horizontais e a posição da curva em relação a elas.

1. d) Calcula os intervalos de crescimento e decrescimento, e determina os seus máximos e mínimos relativos.

1. e) Esboça o gráfico da função com base nos resultados anteriores.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Considere a função $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Pede-se:

1. Determinar as equações das suas assíntotas. Caso exista uma assíntota oblíqua, determine a posição da curva em relação a ela quando $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$.

2. Determinar os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e para baixo, e averiguar se existem pontos de inflexão.

3. Utilizar a informação sobre a monotonia e os extremos para esboçar o gráfico com rigor.

Um estudo biológico sobre uma população de insetos num ambiente controlado segue a função $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, onde $P$ é a população em milhares e $t$ é o tempo em meses desde o início da experiência ($t \geq 0$).

1. Determine em que momento a população atinge o seu valor máximo e qual é esse valor.

2. Para que valor tende a população se a experiência se prolongasse indefinidamente? Justifique a sua resposta por meio do cálculo de limites.

3. Estude a curvatura da função para identificar em que momento a diminuição da população começa a desacelerar (ponto de inflexão).

Dada a função com módulo $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Expressa a função como uma função definida por ramos.

1. b) Estuda a derivabilidade da função nos pontos $x = 1$ e $x = 3$. O que acontece geometricamente nesses pontos?

1. c) Determina os extremos relativos da função e representa-a graficamente.

Seja a função $f(x) = (x - 2)e^x$. Faz um estudo detalhado da mesma para a representar graficamente, incluindo:

1. Domínio e pontos de interseção com os eixos.

2. Assíntotas horizontais e comportamento no infinito.

3. Intervalos de monotonia e extremos relativos.

4. Pontos de inflexão e concavidades.

Estuda e representa a função logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Na tua análise, deves incluir:

1. Demonstração de que a função é par. Como é que isso afeta a sua representação?

2. Determinação dos intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

3. Estudo da concavidade e determinação dos pontos de inflexão.

4. A função tem assíntotas de algum tipo? Justifica a tua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considera-se a função definida por ramos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{se } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estude a continuidade e a derivabilidade da função em $x = 0$.

2. Determine as assíntotas da função no seu domínio de definição.

3. Calcule os mínimos e máximos locais de cada ramo no respetivo intervalo.

4. Esboce o gráfico da função.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Determina os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tenha um ponto de inflexão em $x = 1$ e o declive da reta tangente nesse ponto seja $1$. Depois de encontrados os parâmetros:

1. a) Estuda a monotonia da função resultante.

1. b) Determina se tem algum máximo ou mínimo relativo.

1. c) Justifica se a função tem assíntotas.

Dada a função $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$, responde às seguintes questões combinando dedução lógica e cálculo formal:

1. Fase de estimativa (sem derivar nem calcular limites formais ainda):

a) A partir do domínio da função logarítmica e sabendo que $\ln(x) \to -\infty$ quando $x \to 0^+$, estima o comportamento da curva junto ao eixo $Y$. Haverá assíntota vertical? Para onde disparará o ramo?

b) Os apontamentos destacam que o logaritmo «cresce muito mais devagar do que qualquer polinómio». Com base nisto, estima para que valor tenderá $f(x)$ quando $x \to +\infty$ e deduz se existirá assíntota horizontal.

c) Sabendo que $f(1) = 0$, que $f(x) < 0$ para $x \in (0, 1)$, e que para $x > 1$ a função é positiva mas deve aproximar-se da assíntota horizontal quando $x \to +\infty$, deduz se deve obrigatoriamente existir pelo menos um máximo relativo e estima em que intervalo de $x$ deveria encontrar-se.

1. Fase de verificação:

d) Confirma analiticamente as tuas estimativas calculando $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calcula a derivada $f'(x)$, determina as coordenadas exatas $(x, y)$ do seu extremo relativo e verifica se a tua dedução prévia sobre a existência e posição do máximo estava correta.

Durante um episódio de inverno de inversão térmica em Lisboa, a concentração de dióxido de azoto ($NO_2$) no ar, medida em microgramas por metro cúbico ($\mu\text{g/m}^3$), é monitorizada durante um dia completo ($t \in [0, 24]$ horas). O departamento de qualidade do ar modela a evolução através de uma função definida por ramos que liga a fase de acumulação matinal devido ao tráfego com a dispersão da tarde:

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{se } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{se } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Verifica se o modelo garante a continuidade na mudança de ramo ($t = 12$). Em seguida, estuda a derivabilidade nesse ponto e fundamenta se o gráfico apresenta um ponto anguloso ou uma transição suave. Interpreta o significado físico deste facto.
2. b) Localiza em que momento do dia é atingida a concentração máxima de poluente e calcula o seu valor exato.
3. c) Se o modelo de dispersão exponencial continuasse indefinidamente ($t \to +\infty$), teria assíntota horizontal? Justifica analiticamente por que razão o termo exponencial colapsa para zero e qual seria o nível residual teórico de contaminação segundo essa assíntota.

Considera a função definida por ramos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{se } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{se } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$

Realiza um estudo completo da função seguindo estes passos:

1. Encontra os valores de $a$ e $b$ para que a função seja contínua em $x = -2$ e tenha um extremo relativo em $x = -1$.

2. Para os valores encontrados, estuda a derivabilidade em $x = -2$ e $x = 0$.

3. Calcula as assíntotas da função em todo o seu domínio.

4. Determina os intervalos de monotonia, bem como os máximos e mínimos relativos no intervalo $(-\infty, 0)$.

Seja a função racional definida por:

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Determina os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ sabendo que a reta $y = x + 2$ é uma assíntota oblíqua da função e que o seu gráfico passa pelo ponto $(0, 0)$. Uma vez calculados os parâmetros:

1. Determina o domínio e as assíntotas verticais, estudando a posição da curva em relação a elas.

2. Determina os pontos de interseção com os eixos.

3. Estuda a existência de pontos de inflexão. É possível que esta função não tenha nenhum ponto de inflexão no seu domínio? Justifica a resposta.

Um satélite de comunicações descreve uma trajetória cuja intensidade de sinal recebida na Terra é dada pela função:

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

onde $t$ representa o tempo em horas desde o início do seguimento ($t \ge 0$).

1. Determine o domínio da função e identifique os instantes em que o sinal se interrompe por completo.

2. Encontre as assíntotas verticais e explique o seu significado neste contexto.

3. Calcule os intervalos de crescimento e decrescimento da intensidade do sinal.

4. Determine em que momento o sinal atinge o seu valor máximo relativo e esboce o gráfico da trajetória da intensidade.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dada a função:

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Expresse a função como uma função definida por ramos, eliminando o módulo.

2. Estude a continuidade e a derivabilidade da função em todo o seu domínio, prestando especial atenção ao ponto $x = 0$.

3. Determine as assíntotas do gráfico de $f$.

4. Determine os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento) e os extremos relativos.

5. Esboce o gráfico da função, indicando claramente os pontos onde a derivada não existe, se existirem.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considere a função $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcule os pontos de interseção com os eixos e as assíntotas da função.

2. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais (máximos e mínimos).

3. Determine os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

4. Sabendo que $e^{-2} \approx 0,135$ e $e^0 = 1$, esboce o gráfico da função.

5. Calcule a área do triângulo formado pela origem do referencial e pelos pontos do gráfico onde a tangente é horizontal.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Estuda e representa graficamente a função de «tipo misto»:

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

Para isso, analisa detalhadamente:

1. a) O domínio de definição e o comportamento da função perto de $x = 0$, calculando os limites laterais $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) As assíntotas verticais e oblíquas.

1. c) A existência de extremos relativos utilizando a primeira derivada.

1. d) A concavidade e convexidade através do estudo do sinal de $f''(x)$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Pretende-se projetar o perfil de uma rampa para um skatepark. O perfil lateral segue a curva da função:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

para $x \in [-5, 5], x \neq 0$. Pede-se:

1. Demonstre que a função é ímpar. O que isso implica para a sua representação gráfica?

2. Defina o valor de $f(0)$ de modo que a função seja contínua em $x=0$. Para isso, calcule $\lim_{x \to 0} f(x)$ (pode usar a regra de L'Hôpital).

3. A função é diferenciável em $x=0$ com a definição anterior? Justifique a resposta.

4. Determine os pontos da rampa onde o declive é nulo.

5. Estude se existem assíntotas horizontais quando o domínio se estende a toda a reta real.

Desenha o esboço do gráfico de uma função contínua $f(x)$ que satisfaça simultaneamente as seguintes oito condições:

• O seu domínio é $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Tem uma assíntota vertical em $x = 1$ tal que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Tem uma assíntota oblíqua $y = x$ quando $x \to +\infty$.

• Tem uma assíntota horizontal $y = -2$ quando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ no intervalo $(-\infty, -2)$ e $f'(x) > 0$ em $(-2, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Apresenta um mínimo relativo no ponto $(-2, -4)$.

• $f''(x) > 0$ em $(-3, 1)$ e $f''(x) < 0$ em $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

• Interseta o eixo $OX$ unicamente nos pontos $x = 0$ e $x = 2$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Pretende-se determinar a expressão analítica de uma função racional irredutível $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que satisfaça simultaneamente as seguintes quatro condições geométricas e analíticas:

1. O seu domínio é todo $\mathbb{R}$ (não possui nenhuma assíntota vertical).

2. É simétrica em relação à origem das coordenadas (função ímpar).

3. A reta $y = 0$ é a sua assíntota horizontal tanto em $+\infty$ como em $-\infty$.

4. Atinge um extremo relativo no ponto $(2, 4)$.

1. a) Justifica teoricamente por que razão uma função polinomial nunca poderia cumprir ao mesmo tempo as condições 1, 3 e 4. Para isso, recorda como se comporta um polinómio no infinito: se não é constante, o seu limite quando $x\to\pm\infty$ é $+\infty$ ou $-\infty$ (determinado pelo termo de maior grau); e se é constante, a condição 3 obriga a que seja o polinómio nulo.

1. b) Analisa de forma fundamentada que graus mínimos devem ter os polinómios $P(x)$ e $Q(x)$, e que paridade devem ter os expoentes de cada um, para garantir que se cumprem as condições 1, 2 e 3.

1. c) Deduz a expressão algébrica exata da função mais simples que verifique todas as condições dadas.

1. d) Demonstra, através da derivada primeira, se o ponto $(2, 4)$ é um máximo ou um mínimo relativo e determina, por pura simetria e sem realizar novos cálculos de derivadas, as coordenadas e a natureza do outro extremo relativo da função.

Para analisar os extremos relativos e o comportamento assintótico da função $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-x}$, dois alunos do 12.º ano propõem métodos distintos:

• Caminho A (Decomposição analítica por ramos): Estudar o sinal do argumento $x^2 - 4$, reescrever $f(x)$ como uma função por ramos eliminando as barras de valor absoluto, calcular a derivada de cada ramo separadamente e analisar os pontos de junção através de limites laterais das derivadas.

• Caminho B (Transformação geométrica sobre função auxiliar): Estudar por completo a função derivável auxiliar $g(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{-x}$ (interseções com os eixos, extremos igualando uma única derivada a zero e assíntotas) e, posteriormente, obter o gráfico e as propriedades de $f(x) = |g(x)|$ mediante uma reflexão em relação ao eixo $X$ das zonas onde $g(x) < 0$.

1. a) Compara criticamente ambos os caminhos. Justifica por que razão o Caminho B se revela concetualmente mais potente para identificar os pontos angulosos (bicos) e deduzir a nova posição e classificação dos extremos sem derivar funções por ramos.
2. b) Seguindo o Caminho B, calcula a derivada da função auxiliar $g(x)$ e determina as abcissas exatas dos seus extremos relativos.
3. c) A partir do comportamento de $g(x)$, determina, fundamentadamente, para a função original $f(x)$:

• As coordenadas de todos os seus extremos relativos, indicando expressamente quais são pontos suaves ($f'(x) = 0$) e quais são bicos onde a derivada não existe.

• As assíntotas horizontais em $+\infty$ e em $-\infty$, justificando por que razão a função tende para zero apenas num dos dois sentidos do infinito.

Desafio do tema. Como respira o consumo energético do nosso país? A tua missão é modelar e analisar analiticamente a curva de consumo elétrico diário de um dia real.

1. Recolha de dados: Entra no site oficial da REN (Redes Energéticas Nacionais) e recolhe a procura real de eletricidade em Portugal continental (em GW) hora a hora de ontem, para $t \in [0, 24]$.

2. Modelação e classificação: Introduz os pares ordenados no GeoGebra e propõe uma função $f(t)$ que aproxime o comportamento global (um polinómio de grau 3 ou 4, ou uma função racional). Classifica o tipo de função escolhido e justifica a tua decisão.

3. Estudo analítico: Extrai analiticamente toda a informação de $f(t)$: determina o domínio, assíntotas (se existirem), intervalos de monotonia e extremos através de $f'(t)=0$, bem como a concavidade e pontos de inflexão com $f''(t)=0$.

4. Relatório de conclusões: Elabora um breve relatório (uma página) com o gráfico sobreposto aos dados, contrastando os teus máximos e mínimos analíticos com os picos reais de consumo (horas de ponta e de vazio).

Será valorizado:

• Rigor no estudo analítico da função (derivadas, monotonia, concavidade e assíntotas).

• Justificação adequada do tipo de função e do ajuste no GeoGebra.

• Coerência na interpretação do relatório ao contrastar o modelo com os dados reais.