Taxa de variação média e derivada de uma função num ponto

Calcula a taxa de variação média (TVM) da função $f(x) = x^2 - 4x + 5$ no intervalo $[1, 4]$. Explica graficamente o que representa o valor obtido em relação à reta secante que passa pelos pontos $A$ e $B$ da curva correspondentes aos extremos desse intervalo (estão marcados na figura).

Um atleta do ensino secundário treina para os 100 metros planos. A distância percorrida (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada pela expressão $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.

Calcule a velocidade média do atleta entre os instantes $t = 2$ s e $t = 6$ s. Com que conceito matemático este valor coincide?

Observe o gráfico seguinte de uma função $f(x)$. Sem efetuar cálculos, ordene do menor para o maior os seguintes valores, justificando a sua resposta com base no declive das retas:

• A taxa de variação média no intervalo $[1, 3]$.

• A derivada da função no ponto $x = 1$.

• A derivada da função no ponto $x = 3$.

Dada a função $f(x) = 3x^2 - 1$, utilize a definição de derivada num ponto por meio do limite:

para encontrar o valor da derivada no ponto de abscissa $x = 2$.

Considere a função racional $f(x) = \frac{2}{x}$.

Demonstre, aplicando a definição de derivada como um limite, que o valor da taxa de variação instantânea em $x = 1$ é $f'(1) = -2$. Interprete o sinal do resultado obtido.

Calcule a derivada da função $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ no ponto de abscissa $x = 2$ utilizando estritamente a definição de derivada por meio do limite:

Calcule, fazendo uso exclusivo da definição de derivada como limite do quociente incremental, o valor do seguinte limite:

Indicação: Identifique este limite com a derivada de uma função conhecida num ponto determinado e resolva mediante as regras de derivação habituais para verificar o seu resultado.

Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = \sqrt{x+1}$ no ponto em que $x = 3$, aplicando o limite da taxa de variação instantânea:

Considera-se a função $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determine o ponto do gráfico em que a reta tangente tem declive $m = 2$. Uma vez encontrado o ponto, escreva a equação completa dessa reta tangente na forma ponto-declive.

Determina a equação da reta tangente e da reta normal à curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ no ponto onde o gráfico interseta o eixo das ordenadas ($OY$).

Encontre as equações das retas tangentes à curva $y = x^2 - 4x + 5$ que passam pelo ponto exterior $A(0, 0)$ (a figura mostra apenas uma delas).

Nota: Tenha em conta que o ponto A não pertence à curva. Deve igualar-se o declive da tangente num ponto genérico $(a, f(a))$ ao declive da reta que une esse ponto à origem.

O número de seguidores de um novo canal do YouTube evolui segundo a função $S(t) = t^2 + 10t + 100$, onde $t$ é o tempo em dias desde a sua criação.

1. a) Calcule a taxa de variação média do número de seguidores entre o dia $t = 0$ e o dia $t = 10$.
2. b) Qual é a taxa de variação instantânea do número de seguidores exatamente no dia $t = 5$? (Calcule $S'(5)$ usando a definição).

A temperatura de uma placa metálica (em graus Celsius) varia com o tempo $t$ (em minutos) seguindo o modelo $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$.

Calcule a taxa de variação instantânea da temperatura no instante $t = 10$ minutos. Indique as unidades de medida do resultado e explique se nesse momento a placa está a aquecer ou a arrefecer.

Num exame de 2.º de Bacharelato, o Marcos deve analisar a derivabilidade em $x = 1$ da seguinte função definida por ramos:

O Marcos escreve na sua resolução:

«Derivo diretamente cada ramo: $f'(x) = 2x + 2$ para $x \le 1$, e $f'(x) = 4$ para $x > 1$.

Calculo as derivadas laterais substituindo $x = 1$:

$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$

$f'(1^+) = 4$

Como as derivadas laterais existem e coincidem ($4 = 4$), concluo que a função é derivável em $x = 1$ e que a reta tangente nesse ponto tem declive $m = 4$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente o grave erro conceptual que o Marcos comete no seu raciocínio.
2. b) Utilizando a definição formal de derivada através do limite da taxa de variação pela direita, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcula o valor real desse limite e demonstra o que acontece verdadeiramente a $f$ em $x = 1$.
3. c) Corrige a conclusão do Marcos indicando se a função é contínua, se é derivável e se faz sentido falar de reta tangente em $x = 1$.

Dada a função definida por ramos:

Calcule os valores de $a$ e $b$ para que a função seja derivável no ponto $x = 1$. Lembre-se de que, para uma função ser derivável, primeiro tem de ser contínua.

Considera-se a função definida por partes:

Determine os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a função seja derivável no ponto $x = 2$. Para isso, deve assegurar-se primeiro a continuidade e, posteriormente, a existência das derivadas laterais finitas e iguais nesse ponto, utilizando a definição de derivada.