Regras de derivação e função derivada de funções usuais

Calcule a função derivada das seguintes funções aplicando as regras de derivação das funções elementares (potências e raízes):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Determine a função derivada das seguintes funções transcendentais utilizando a tabela de derivadas de funções usuais:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Uma mola oscila seguindo um movimento harmónico simples descrito pela função $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, onde $y$ é a posição em centímetros e $x$ é o tempo. Obtenha a expressão da função derivada $y'(x)$, que representa a velocidade de oscilação da mola.

Calcule a derivada das seguintes funções compostas simples utilizando a regra da cadeia de forma direta:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Num exame de 2.º de Bacharelato, o Marcos tem de calcular a função derivada de $f(x) = \sin^3(2x)$. Na sua folha de respostas escreve o seguinte:

«Como é uma potência, desço o expoente e derivo o seno:

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x)$».

1. a) Identifica com precisão que passo fundamental da regra da cadeia o Marcos omitiu ao decompor as camadas da função composta. Explica por que razão o seu raciocínio é erróneo.
2. b) Corrige o exercício escrevendo a cadeia completa de derivação passo a passo, identificando cada uma das funções elementares que compõem $f$ (desde a mais exterior até à mais interior), e obtém a expressão simplificada correta de $f'(x)$.

Calcule a função derivada da seguinte função composta, aplicando a regra da derivação da função composta e simplificando o resultado ao máximo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Dada a função $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtenha:

1. a) A primeira derivada $f'(x)$.
2. b) A segunda derivada $f''(x)$, simplificando o resultado utilizando funções trigonométricas usuais.

Dada a função racional que envolve logaritmos neperianos:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Encontra a expressão da sua derivada $g'(x)$ e determina os valores de $x$ para os quais o declive da reta tangente ao gráfico de $g(x)$ é igual a zero.

Pretende-se calcular a função derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ para todo o $x \in \mathbb{R}$. Dois alunos propõem estratégias distintas:

• Caminho A (Derivação direta): Aplicar imediatamente a fórmula $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, calculando previamente a derivada da fração através da regra do quociente e da regra da cadeia para o denominador.

• Caminho B (Simplificação prévia com logaritmos): Utilizar as propriedades dos logaritmos ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ e $\ln(e^u) = u$) para decompor $f(x)$ numa soma e subtração de termos simples antes de derivar.

1. a) Compara ambos os caminhos e justifica de forma fundamentada qual dos dois é preferível em termos de menor carga operatória e menor probabilidade de cometer erros de sinal ou de simplificação.
2. b) Aplica o caminho mais eficiente para calcular $f'(x)$ e exprime o resultado como uma única fração algébrica irredutível.

Calcule a derivada da seguinte função simplificando o resultado final o máximo possível mediante identidades trigonométricas:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calcule a derivada da seguinte função composta e simplifique o resultado ao máximo utilizando identidades trigonométricas:

Que curiosidade observas no resultado final simplificado?

Dada a função $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, definida no intervalo aberto $I = \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:

Consideram-se duas vias de resolução para calcular a sua função derivada $f'(x)$:

• Via 1 (Propriedades algébricas dos logaritmos): Reescrever primeiro $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ e derivar como subtração de logaritmos naturais aplicando a regra da cadeia.

• Via 2 (Simplificação trigonométrica prévia): Transformar o radicando utilizando as identidades do ângulo duplo ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ e $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) antes de aplicar qualquer regra de derivação.

1. a) Desenvolve por completo a Via 2 para encontrar $f'(x)$ na sua expressão mais compacta, expressa como quociente em função de uma única razão trigonométrica de ângulo duplo. Justifica por que razão o sinal dentro da raiz quadrada não gera ambiguidade no intervalo $I$.
2. b) Desenvolve a Via 1 e mostra detalhadamente todos os passos algébricos e trigonométricos necessários para simplificar a soma de frações resultante até obteres exatamente a mesma expressão que na Via 2.
3. c) Compara criticamente ambas as vias: analisa qual minimiza a probabilidade de erro algébrico e conclui que critério geral de simplificação prévia convém adotar ao enfrentar este tipo de derivadas nos exames nacionais.

Um foguete de fogo de artifício descola verticalmente de uma plataforma de lançamento. A altura $h$ em metros em relação ao tempo $t$ em segundos é dada pela função polinomial $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcule a função derivada $h'(t)$, que representa a velocidade instantânea do foguete em qualquer instante $t$.

Uma conta de uma rede social analisou o seu crescimento e determinou que o número de seguidores $S$ evolui segundo a função exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, onde $t$ é o tempo decorrido em meses desde a sua criação. Determine a função derivada $S'(t)$ para conhecer o ritmo de crescimento de seguidores.

Dada a função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, pede-se:

1. a) Determinar a função derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular o valor do declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto $P$ de abcissa $x = 4$ (marcado na figura).

Dada a função $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcule a sua função derivada $f'(x)$ e simplifique o resultado, expressando a raiz novamente em forma radical.

Um drone de vigilância segue uma trajetória cuja altura em metros é dada pela função $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, onde $t$ é o tempo em segundos desde a descolagem.

1. a) Calcula a função que representa a velocidade vertical do drone, $v(t) = h'(t)$.

1. b) Qual é a velocidade vertical do drone no instante $t = 5$ segundos?

Determine os valores dos parâmetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que a função $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ satisfaça as seguintes condições simultaneamente:

• Passe pelo ponto $(0, 3)$.

• A sua derivada na origem seja $f'(0) = 2$.

Numa estação meteorológica do IPMA em Évora durante uma onda de calor estival, a temperatura ambiente $T(t)$ em graus Celsius ($^{\circ}\text{C}$) ao longo de um dia de 24 horas ajusta-se ao modelo:

$T(t) = 31 - 9 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot (t - 4)}{12}\right)$,

onde $t$ representa o tempo em horas decorrido desde a meia-noite ($t \in [0, 24]$).

1. a) Determina a função derivada $T'(t)$, indicando com clareza cada uma das regras de derivação utilizadas (constante por função, função composta e trigonométrica).
2. b) Calcula o valor exato e aproximado com duas casas decimais de $T'(10)$ (às 10:00 h) e de $T'(16)$ (às 16:00 h).
3. c) Interpreta o significado físico e contextual dos valores e sinais obtidos na alínea anterior (indicando as unidades de medida correspondentes à derivada) e determina a que hora do dia a temperatura sobe com a máxima rapidez.

Considera a função transcendente $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Sem calcular a função derivada de forma analítica, realiza uma estimativa do valor do declive da reta tangente em $x = 0$ calculando a taxa de variação média (TVM) no intervalo $[0;\, 0,1]$ com a ajuda da calculadora (em modo radianos). A partir do resultado, esperas que a função seja crescente ou decrescente numa vizinhança imediata de $x = 0$?
2. b) Aplica as regras de derivação para obter a expressão algébrica simplificada da função derivada $f'(x)$.
3. c) Avalia o valor exato de $f'(0)$, compara-o com o valor estimado obtido na alínea (a) e valida de forma fundamentada se a tua hipótese prévia sobre a monotonia local da função fica confirmada.

Um drone de vigilância desloca-se seguindo a trajetória dada pela função $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Um operador situado no ponto $A(2, 0)$ observa o drone.

Calcula o ponto da trajetória onde o drone se encontra à distância mínima do operador.

Nota: Para minimizar a distância $d$, basta minimizar o quadrado da distância $d^2$. Deverás derivar a função resultante da distância.

Num laboratório de biotecnologia, o volume de uma população de bactérias (em $mm^3$) cresce segundo a função $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, onde $t$ é o tempo em horas. Ao mesmo tempo, o raio da placa de cultura circular onde crescem as bactérias expande-se de tal forma que a área ocupada pela população é $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Supondo que a espessura da camada bacteriana seja constante e igual a $0,1 mm$ (de modo que $V = A \cdot h$), calcule a taxa de variação instantânea do raio da população no instante $t = 2$ horas.

Um oscilador harmónico num sistema mecânico tem uma posição dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcule a velocidade $v(t) = x'(t)$ e a aceleração $a(t) = x''(t)$, e verifique se ela satisfaz a equação diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Utilize a técnica da derivação logarítmica para obter a derivada da seguinte função potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Utilizando a técnica de derivação logarítmica, determine a derivada da função $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

Dada a função transcendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utilize a técnica da derivação logarítmica para calcular a sua função derivada $f'(x)$. Uma vez obtida, calcule o valor exato do declive da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$.

Para dimensionar corretamente uma viga de aço submetida à torção assimétrica, um engenheiro precisa de otimizar uma função de tensão dada por $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ para $x > 1$. Aplique o método de derivação logarítmica para obter a expressão simplificada da derivada $E'(x)$.

Uma função desconhecida $f(x)$, derivável e estritamente positiva no intervalo $(0, +\infty)$, satisfaz que a sua derivada logarítmica é dada pela expressão:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

Além disso, sabe-se que o gráfico de $f$ passa pelo ponto $(1, 1)$.

1. a) Justifica por que razão a expressão $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincide formalmente com a derivada da função composta $\ln(f(x))$.
2. b) Deduz fundamentadamente a expressão da função $g(x) = \ln(f(x))$ identificando uma função cuja derivada seja $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Para isso, decompõe o quociente na soma de duas frações e reconhece-as como derivadas de funções elementares ou de potências de $\ln x$.
3. c) A partir da condição $f(1) = 1$, encontra a constante correspondente e isola a função original $f(x)$, exprimindo-a na forma exponencial-potencial $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Verifica o teu resultado derivando diretamente a função $f(x)$ obtida mediante a técnica de derivação logarítmica e comprovando que se reproduz fielmente o quociente de partida.

Calcula a equação da reta tangente à curva $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ no ponto de abcissa $x = 2$.

A figura mostra o gráfico de $f$, as suas assíntotas horizontais e o ponto $P$ da curva cuja abcissa é $x = 2$.

Calcule a derivada da função $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ e simplifique a expressão resultante. A que função mais simples corresponde esta derivada?

Determina os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja derivável em todo o seu domínio:

Explica de forma fundamentada a relação entre a continuidade e a derivabilidade no ponto de ruptura $x = 1$.

Encontre a expressão geral da derivada de ordem n ($f^{(n)}(x)$) para a função racional:

Dica: Decomponha a função em frações simples antes de começar a derivar sucessivamente.

Considere a curva definida de forma implícita pela equação:

1. a) Determine a expressão da derivada $y'$ em função de $x$ e $y$ por derivação implícita.
2. b) Determine a equação da reta normal à curva no ponto $P(3, 1)$.

Seja a função $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demonstra que $f(x)$ é bijetiva em todo o $\mathbb{R}$ (podes apoiar-te no estudo do seu crescimento).

1. b) Sabendo que $f(1) = 4$, calcula o valor da derivada da função inversa nesse ponto, isto é, $(f^{-1})'(4)$.