Método iterativo do ponto fixo

Ponto fixo de uma função

Chama-se ponto fixo de uma função $g$ a um número $x$ tal que $g(x) = x$. A função "deixa-o ficar onde está".

Graficamente, os pontos fixos são as abcissas dos pontos de interseção do gráfico de $g$ com a reta $y = x$ (a bissetriz dos quadrantes ímpares).

Como saber que existe um ponto fixo num intervalo? Define $h(x) = g(x) - x$. Os zeros de $h$ são exatamente os pontos fixos de $g$. Se $g$ é contínua em $[a, b]$ e $h(a)$ e $h(b)$ têm sinais contrários, o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy) garante um zero de $h$ em $]a, b[$.

Iterar: aproximar o ponto fixo

Muitas vezes não é possível resolver $g(x) = x$ algebricamente. A ideia do método é simples: escolher um valor inicial $x_0$ e repetir a função.

Os valores $x_1, x_2, x_3, \dots$ chamam-se iterados. Se a sucessão $(x_n)$ convergir para um valor $p$ e $g$ for contínua, então $p$ é ponto fixo. De facto, passando ao limite em $x_{n+1} = g(x_n)$ obtém-se $p = g(p)$.

O que se passa pode ver-se no gráfico. A partir de $x_0$ sobe-se até ao gráfico de $g$ (obtém-se $g(x_0)$), depois anda-se na horizontal até à reta $y = x$ (esse valor passa a ser o novo $x$), e repete-se. A figura mostra o caso de $g(x) = \dfrac{x+3}{2}$ com $x_0 = 1$.

Transformar uma equação em x = g(x)

Para usar o método numa equação $f(x) = 0$, é preciso escrevê-la na forma $x = g(x)$. Isto pode fazer-se de muitas maneiras, e nem todas funcionam igualmente bem.

Considera $x^3 + x - 1 = 0$. Pondo $x$ em evidência: $x(x^2 + 1) = 1$, ou seja,

Como $x^2 + 1 \neq 0$, estas passagens são reversíveis: as duas equações são equivalentes e a raiz procurada é ponto fixo de $g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$.

Compara com o método de Newton para $f(x) = x^3 + x - 1$, em que $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ e $f'(x) = 3x^2 + 1$. A partir de $x_0 = 1$: $x_1 = 1 - \dfrac{1}{4} = 0{,}75$ e $x_2 = 0{,}75 - \dfrac{0{,}171875}{2{,}6875} \approx 0{,}686$. Em apenas duas iterações já se está muito perto de $0{,}68$, enquanto o ponto fixo, em quatro, ainda oscila. O método de Newton é, de facto, um método do ponto fixo com uma escolha muito inteligente de $g$.

Quando é que o método converge?

Vimos que a sucessão converge para $3$ com $g(x) = \frac{x+3}{2}$, mas oscila com $\frac{1}{x^2+1}$. E com $g(x) = x^2 - 2$? Os pontos fixos resolvem $x^2 - 2 = x$, isto é, $x^2 - x - 2 = 0$, logo $x = 2$ ou $x = -1$. Com $x_0 = 1{,}5$ obtém-se (quatro casas decimais):

A sucessão não se aproxima de nenhum dos pontos fixos: anda aos saltos. O que distingue este caso dos anteriores?

Perto de um ponto fixo $p$, a função comporta-se como a sua reta tangente: $g(x) - p = g(x) - g(p) \approx g'(p)\,(x - p)$. Por isso, em cada iteração, a distância ao ponto fixo fica multiplicada, aproximadamente, por $|g'(p)|$:

Verifica nos exemplos:

No caso $g(x) = \frac{1}{x^2+1}$ tem-se $g'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}$ e, na raiz $p \approx 0{,}68$, $|g'(p)| \approx 0{,}6$: converge, e o sinal negativo explica a oscilação. No método de Newton, $|g'(p)| = 0$ na raiz, e daí a convergência muito rápida.

Voltando ao início: repetir $x \mapsto \sqrt{x}$ aproxima-nos de $1$ porque $1$ é ponto fixo de $g(x) = \sqrt{x}$, com $g'(1) = \frac12$, de módulo menor que $1$. E $x \mapsto \sqrt{x+2}$ assenta em $2$, com $|g'(2)| = 0{,}25$.

Em resumo

• Ponto fixo: $p$ tal que $g(p) = p$; são as abcissas dos pontos em que o gráfico de $g$ cruza $y = x$.

• Para garantir um ponto fixo em $[a, b]$, aplica-se o teorema dos valores intermédios a $h(x) = g(x) - x$ (contínua, com sinais contrários nos extremos).

• Método iterativo: $x_{n+1} = g(x_n)$. Se converge para $p$ e $g$ é contínua, então $p$ é ponto fixo.

• Para resolver $f(x) = 0$, reescreve-se a equação na forma $x = g(x)$, garantindo equivalência; há muitas escolhas possíveis de $g$.

• Convergência local: $|g'(p)| < 1$ converge (tanto mais depressa quanto menor); $|g'(p)| > 1$ diverge. O método de Newton é o caso $g'(p) = 0$.