Função logarítmica

Determine o domínio de definição da função logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Exprima o resultado utilizando intervalos.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Preste especial atenção aos pontos que anulam o numerador, o denominador e o argumento do logaritmo.

Utilizando as propriedades dos logaritmos, desenvolva a seguinte expressão para a escrever como soma e subtração de logaritmos mais simples:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Considera a função logarítmica $f(x) = \log_2(x - 3)$.

1. a) Sem utilizares a calculadora, estima entre que dois números inteiros consecutivos se situa o valor de $f(25)$. Justifica a tua previsão enquadrando o argumento entre duas potências consecutivas de base $2$ e argumenta se o valor estará mais próximo do número inteiro menor ou do maior.
2. b) Calcula o valor numérico de $f(25)$ com a calculadora através da fórmula da mudança de base (utilizando logaritmos decimais ou de base natural), arredonda o resultado às centésimas e verifica se confirma a tua estimação.
3. c) Um estudante afirma que se $f(x)$ toma um valor negativo, então $x$ deve ser necessariamente negativo. Resolve de forma exata a equação $f(x) = -2$ e utiliza o resultado para desmentir essa afirmação, verificando que a solução pertence ao domínio da função.

Dada a função $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ cujo domínio é o intervalo $x \in (-1, 1)$, demonstre analiticamente, utilizando as propriedades dos logaritmos, que se cumpre a identidade $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ para quaisquer valores $a$ e $b$ pertencentes ao domínio que façam com que a expressão tenha sentido.

Determine os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo das abcissas e eixo das ordenadas, se existirem) da função $g(x) = \ln(x - 2)$.

Dada a função $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indique fundamentadamente se é uma função crescente ou decrescente em todo o seu domínio e calcule o valor exato de $h(1)$ e $h(4)$.

Descreva de forma precisa quais as transformações geométricas (deslocamentos) que devem ser aplicadas ao gráfico da função elementar $f(x) = \ln(x)$ para obter o gráfico da função $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Ao calcular o domínio e a assíntota vertical da função $f(x) = \log_5(8 - 2x)$, o Tomás escreve no seu exame:

«Passo 1: Para que o logaritmo exista, o seu argumento não pode ser negativo, pelo que proponho $8 - 2x \geq 0 \implies 8 \geq 2x \implies x \leq 4$. O domínio é $(-\infty, 4]$.»

«Passo 2: Como o logaritmo se anula ou tende para infinito no extremo do domínio, a reta $x = 4$ é a sua assíntota vertical, e a curva interseta essa assíntota no ponto $(4, 0)$.»

1. a) Identifica os dois erros conceptuais cometidos pelo Tomás e explica por que razão são contraditórios entre si de acordo com a definição de assíntota vertical.
2. b) Corrige a resolução: escreve o domínio correto sob a forma de intervalo, calcula fundamentadamente a equação da assíntota vertical e determina o ponto de interseção real do gráfico com o eixo das abcissas.

Determina a expressão algébrica de uma função logarítmica da forma $f(x) = \log_a(x + b) + c$, sabendo que cumpre simultaneamente as seguintes condições:

1. O seu domínio de definição é o intervalo $(-3, +\infty)$ e a reta $x = -3$ é a sua assíntota vertical.

2. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto $(5, 0)$.

3. O gráfico passa pelo ponto $(1, -1)$.

Para resolver:

1. a) Deduz de forma fundamentada o valor do parâmetro $b$ a partir da informação sobre o domínio e a assíntota.
2. b) Modela um sistema de equações com as condições 2 e 3 e resolve-o utilizando as propriedades dos logaritmos para encontrar os valores exatos da base $a$ e do termo independente $c$.
3. c) Justifica se a função obtida é estritamente crescente ou decrescente no seu domínio e calcula as coordenadas do ponto de interseção do seu gráfico com o eixo das ordenadas.

Determine os valores numéricos dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função logarítmica $f(x) = \ln(ax + b)$ cumpra simultaneamente duas condições: ter uma assíntota vertical na reta de equação $x = -3$ e passar pelo ponto de coordenadas $(2, 0)$.

Escreva a expressão analítica da função inversa (ou recíproca) $f^{-1}(x)$ da função exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

A partir da seguinte representação gráfica da função $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determine analiticamente o seu domínio, o seu contradomínio, a equação da sua assíntota vertical e as coordenadas exatas dos pontos de interseção com os eixos X e Y.

O valor contabilístico de um servidor de alta capacidade deprecia-se com o tempo segundo a função exponencial $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, onde $V$ é o valor em euros e $t$ é o tempo decorrido em anos desde a sua compra. Determine a expressão analítica da função inversa $t(V)$ e explique brevemente que grandeza esta nova função permite calcular.

Analisa a relação de simetria entre as funções $f(x) = e^{x-1}$ e $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa o gráfico ao lado que mostra ambas as curvas e a bissetriz dos quadrantes ímpares. Demonstra analiticamente que são funções inversas calculando a composição $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Uma função logarítmica da forma $f(x) = \log_a(b \cdot x + c)$, com base $a>0$, $a \neq 1$ e coeficiente $b>0$, tem como função inversa a função exponencial $f^{-1}(x) = \frac{3^x - 7}{4}$.

1. a) Determina fundamentadamente os valores exatos das constantes $a$, $b$ e $c$. Para isso, isola a variável independente a partir da expressão de $f^{-1}$ utilizando a definição de logaritmo e a propriedade de reciprocidade entre funções inversas.
2. b) Determina com rigor o domínio e o contradomínio de $f(x)$, bem como a equação da sua assíntota vertical. Explica de que modo estes elementos se correspondem com o contradomínio e o domínio de $f^{-1}(x)$ através da simetria gráfica em relação à reta $y = x$.
3. c) Obtém as expressões algébricas simplificadas das funções compostas $(f \circ f^{-1})(x)$ e $(f^{-1} \circ f)(x)$. Justifica para que conjunto de números reais é válida cada uma delas e explica por que razão o facto de os seus domínios não coincidirem não contradiz a definição de funções inversas.

Resolve a seguinte equação logarítmica aplicando a definição de logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Resolva a seguinte equação logarítmica, verificando a validade das soluções obtidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Determine os valores de $x$ e $y$ que satisfazem o seguinte sistema de equações não lineares:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Resolva a seguinte equação logarítmica. Certifique-se de que verifica as possíveis soluções na equação original para rejeitar raízes falsas:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

Resolve o seguinte sistema que combina equações exponenciais e logarítmicas, determinando os valores de $x$ e $y$:

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

Para resolver a equação logarítmica $\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2$, propõem-se três estratégias de trabalho:

• Método 1 (Agrupamento por produto): Aplicar a propriedade da soma de logaritmos para transformar a equação em $\log_2((x+2)(x-1)) = 2$, passar à forma exponencial $(x+2)(x-1) = 2^2$ e resolver a equação quadrática resultante.

• Método 2 (Igualação de argumentos): Escrever o termo independente como $2 = \log_2(4)$, agrupar o primeiro membro num único logaritmo e igualar diretamente os argumentos: $(x+2)(x-1) = 4$.

• Método 3 (Isolamento e quociente): Isolar um logaritmo, $\log_2(x+2) = 2 - \log_2(x-1)$, transformar o segundo membro em $\log_2(4) - \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{4}{x-1}\right)$, e igualar os argumentos: $x+2 = \frac{4}{x-1}$.

1. a) Resolve a equação desenvolvendo todos os passos algébricos através do Método 1 e do Método 3.
2. b) Nos três métodos surge a solução algébrica $x = -3$. Explica de forma rigorosa por que razão essa solução é espúria (não válida), detalhando em que passo exato da manipulação algébrica se alarga o domínio de validade relativamente ao domínio original da equação.
3. c) Compara os três métodos analisando qual deles é algebricamente mais seguro para evitar introduzir erros de cálculo ou denominadores nulos, e justifica que verificação indispensável deve ser sempre realizada, independentemente do método escolhido.

Estude a continuidade da seguinte função definida por ramos no ponto $x = 1$. Se existir alguma descontinuidade, classifique-a indicando de que tipo é.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

A lei de decaimento radioativo do Carbono-14 é dada pela função $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, onde $N_0$ é a quantidade inicial do isótopo, $N(t)$ é a quantidade restante no instante $t$ (em anos) e $\lambda$ é a constante de decaimento. Sabendo que o período de meia-vida (tempo necessário para que a quantidade inicial se reduza exatamente a metade) é de $5730$ anos, calcule o valor exato da constante $\lambda$. Posteriormente, determine a idade aproximada de um fóssil ósseo que conserva apenas $15\%$ do seu Carbono-14 original.

Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura $T$ de um corpo num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é a temperatura ambiente constante e $T_0$ é a temperatura inicial do corpo. Uma chávena de chá a $90^\circ\text{C}$ é deixada em repouso numa sala cuja temperatura é de $20^\circ\text{C}$. Se, decorridos $10$ minutos, a temperatura do chá desceu para $60^\circ\text{C}$, determine o valor exato da constante de arrefecimento $k$. Em seguida, calcule quanto tempo total deve decorrer desde o início para que a temperatura desça para $35^\circ\text{C}$.

Em química, o pH de uma solução é definido pela expressão $pH = -\log[H^+]$, em que $[H^+]$ representa a concentração de iões de hidrogénio em mol por litro. Calcule o pH de um sumo de laranja cuja concentração de iões de hidrogénio é $[H^+] = 10^{-3,2}$.

O nível de intensidade sonora $\beta$, medido em decibéis (dB), é calculado através da fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, onde $I$ é a intensidade do som em $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ é o limiar padrão de audição. Se a descolagem de um avião a jato gera um nível de ruído de $140 \text{ dB}$, qual é a intensidade $I$ desse som em $\text{W/m}^2$?

Na escala sismológica de Richter, a magnitude $M$ de um sismo relaciona-se com a energia libertada $E$ (em erg) através da equação empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcule quantas vezes é maior a energia libertada por um sismo de magnitude $7,0$ em comparação com a energia libertada por um de magnitude $5,0$.

Em Espanha, a Lei 37/2003 do Ruído regula os níveis de poluição sonora nas cidades. O nível de pressão sonora $L$, medido em decibéis ($\text{dB}$), é modelado através da função logarítmica:

onde $I$ é a intensidade física do som em watts por metro quadrado ($\text{W/m}^2$) e $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ representa o limiar mínimo de audição humana.

Durante as obras de remodelação de uma avenida em Valência, medem-se separadamente duas fontes de emissão acústica contínua: o tráfego rodoviário, que gera uma intensidade $I_1 = 10^{-5}\text{ W/m}^2$, e um compressor de obra, que gera $I_2 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$.

1. a) Calcula o nível sonoro em decibéis produzido por cada fonte separadamente, $L(I_1)$ e $L(I_2)$, aplicando a definição de logaritmo sem usar calculadora.
2. b) Uma associação de moradores sustenta que, quando ambas as fontes funcionam em simultâneo, o nível sonoro total será a soma dos decibéis de cada uma ($L(I_1) + L(I_2)$). Sabendo que as intensidades físicas se somam diretamente ($I_{\text{total}} = I_1 + I_2$), demonstra através das propriedades dos logaritmos por que razão a soma de decibéis é matematicamente incorreta e calcula o nível de ruído real conjunto $L(I_{\text{total}})$. (Dado: $\log_{10}(1{,}1) \approx 0{,}041$).
3. c) Se o limite legal permitido para essa zona em horário diurno é de $85\text{ dB}$, fundamenta se as obras estão dentro da legalidade ou se a violam.