Árvores de probabilidades e tabelas de contingência

Um estudante do 2º ano do Ensino Médio faz uma prova final de Física. Sabe-se que $70\%$ dos alunos que estudaram com a plataforma digital da escola aprovaram, enquanto apenas $40\%$ dos que não a usaram conseguiram a aprovação. Estima-se que $60\%$ da turma utilizou a referida plataforma.

Utilizando um diagrama de árvore, determine:

1. a) A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter tido positiva no teste.
2. b) Se sabemos que um aluno chumbou, qual é a probabilidade de não ter usado a plataforma digital?

Temos duas urnas preparadas para um sorteio. A Urna A contém $3$ bolas verdes e $2$ vermelhas. A Urna B contém $1$ bola verde e $4$ vermelhas. A experiência consiste em lançar uma moeda: se sair cara, retiramos uma bola da Urna A; se sair coroa, retiramos da Urna B.

1. a) Represente a situação por meio de um diagrama de árvore.
2. b) Calcule a probabilidade de a bola retirada ser vermelha.

Uma caixa de material informático contém $8$ ratos sem fios de cor branca e $4$ de cor preta. Se forem extraídos sucessivamente dois ratos sem reposição:

1. a) Desenhe o diagrama em árvore que descreva todos os resultados possíveis, indicando as probabilidades em cada ramo.
2. b) Calcule a probabilidade de os dois ratos extraídos serem da mesma cor.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

João e Clara preparam uma tômbola de beneficência de final de ano com uma urna que contém exatamente $10$ pens USB aparentemente idênticas: $3$ são de $64\text{ GB}$ e $7$ são de $128\text{ GB}$. O jogo consiste em extrair duas pens consecutivamente sem reposição. O João quer calcular a probabilidade de que ambas as pens sejam de $64\text{ GB}$ e escreve no quadro:

$$P(\text{ambas de } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Quando a Clara o avisa de que o resultado está errado, o João defende-se dizendo: «A proporção de pens de $64\text{ GB}$ na caixa é de $3$ em cada $10$; essa probabilidade é uma propriedade fixa das pens e não pode mudar pelo simples facto de eu tirar uma».

1. a) Explica fundamentadamente o erro conceptual do João. Que regra dos diagramas de árvore ele violou e o que significa neste contexto que os ramos da segunda etapa tenham escritas probabilidades condicionadas ao que já ocorreu?
2. b) Modela a experiência descrevendo os ramos que sairiam de cada nó num diagrama de árvore correto (com as suas probabilidades precisas).
3. c) Calcula a probabilidade real de que ambas as pens sejam de $64\text{ GB}$ e a probabilidade de que pelo menos uma das duas seja de $128\text{ GB}$.

Num curso técnico há $10$ alunos a realizar o estágio em empresa, dos quais $6$ estão em empresas tecnológicas e $4$ em empresas industriais. Escolhem-se dois alunos ao acaso, de forma consecutiva e sem reposição.

1. a) Desenhe o diagrama em árvore indicando as probabilidades em cada ramo.
2. b) Calcule a probabilidade de os dois alunos escolhidos estarem no mesmo tipo de empresa.
3. c) Calcule a probabilidade de pelo menos um estar numa empresa tecnológica.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa escola de idiomas, os alunos dividem-se segundo o curso que frequentam: $50\%$ estuda Inglês, $30\%$ Francês e $20\%$ Alemão. Além disso, sabe-se que a percentagem de mulheres em cada curso é de $60\%$, $55\%$ e $45\%$, respetivamente.

Se um estudante for escolhido ao acaso, construa uma tabela de contingência (considerando um total hipotético de 1000 estudantes) e calcule:

1. a) A probabilidade de o aluno ser rapaz.
2. b) Sabendo que o aluno é rapaz, a probabilidade de estudar Inglês.

Numa empresa de fabrico de componentes eletrónicos, utilizam-se duas máquinas, $M_1$ e $M_2$, para produzir chips. A máquina $M_1$ produz $60\%$ dos chips e o restante é produzido pela $M_2$. $2\%$ dos chips de $M_1$ são defeituosos, enquanto para a $M_2$ a percentagem de defeituosos é de $5\%$.

1. a) Construa o diagrama em árvore associado a este processo de produção.
2. b) Se for selecionado um chip ao acaso e este for defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido fabricado pela máquina $M_1$?

Uma empresa tecnológica fabrica componentes para drones em três fábricas diferentes: $F_1$, $F_2$ e $F_3$. $40 \%$ da produção total vem de $F_1$, $35 \%$ de $F_2$ e o restante de $F_3$. O controlo de qualidade indica que a percentagem de componentes defeituosos é de $3 \%$ em $F_1$, de $2 \%$ em $F_2$ e de $5 \%$ em $F_3$.

1. a) Calcule a probabilidade de um componente escolhido ao acaso da produção global não ser defeituoso.
2. b) Se um cliente compra um componente e este se revela defeituoso, em que fábrica é mais provável que tenha sido fabricado? Justifique o resultado aplicando o Teorema de Bayes.

Um algoritmo de recomendação de uma plataforma de streaming de música utiliza três modelos diferentes ($M_1, M_2, M_3$) para sugerir músicas aos utilizadores. $40 \%$ das vezes usa $M_1$, $35 \%$ usa $M_2$ e o restante das vezes usa $M_3$.

A probabilidade de um utilizador dar "gosto" numa música sugerida por $M_1$ é de $0,3$. Se a música for sugerida por $M_2$, a probabilidade é de $0,45$. Sabe-se que a probabilidade total de um utilizador dar "gosto" numa música escolhida ao acaso é de $0,4325$.

1. a) Calcule a probabilidade de um utilizador dar "gosto" numa música sugerida pelo terceiro modelo, $M_3$.

1. b) Se um utilizador deu "não gosto" (acontecimento contrário a "gosto") numa música, qual é a probabilidade de ter sido sugerida pelo modelo $M_1$?

1. c) Selecionam-se três músicas sugeridas de forma independente. Qual é a probabilidade de pelo menos uma delas receber um "gosto"?

Num torneio de eSports, a comissão organizadora realiza testes de desempenho aos jogadores. Estima-se que $5 \%$ dos participantes utilizem algum tipo de software proibido (batota). O teste utilizado para detetar essas batotas tem uma fiabilidade de $98 \%$ (deteta o software se o jogador fizer batota), mas tem $2 \%$ de "falsos positivos" (indica que há batota quando o jogador é honesto).

1. a) Se for escolhido um jogador ao acaso, qual é a probabilidade de o teste dar um resultado positivo (indicando batota)?
2. b) Se o teste de um jogador deu positivo, qual é a probabilidade real de ele estar a fazer batota? Interpreta o resultado obtido.

Uma aplicação de navegação GPS estima o tempo de chegada ao destino com base no trânsito. Se o trânsito for fluido (probabilidade $0,7$), a aplicação acerta o tempo estimado $90 \%$ das vezes. Se o trânsito for denso, acerta apenas $40 \%$ das vezes.

1. a) Calcule a probabilidade de a aplicação não acertar na sua estimativa de tempo.
2. b) Se hoje a aplicação falhou na sua previsão, qual é a probabilidade de o trânsito ter sido fluido?

Um laboratório farmacêutico está a analisar a eficácia de um novo teste de deteção de uma variante de vírus respiratório. Sabe-se que, na população atual, a prevalência da doença é de $5 \%$.

O teste tem uma particularidade: se for aplicado a uma pessoa doente, dá positivo em $98 \%$ dos casos. Se for aplicado a uma pessoa saudável, dá negativo em $96 \%$ dos casos. Perante a suspeita de um erro numa campanha de testagem em massa, decide-se que todas as pessoas que derem positivo no primeiro teste se submetam a um segundo teste idêntico e independente do primeiro.

1. a) Represente a situação através de um diagrama em árvore para uma pessoa escolhida ao acaso da população que se submete ao processo completo, se necessário.

1. b) Qual é a probabilidade de uma pessoa da população dar positivo no segundo teste (sabendo que já deu positivo no primeiro)?

1. c) Se uma pessoa deu positivo nos dois testes, qual é a probabilidade de realmente estar doente? Comente o resultado, comparando-o com a probabilidade após um único teste positivo.

Num estudo sobre o uso de redes sociais numa escola de Lisboa, observou-se que, de um grupo de $100$ alunos do ensino secundário, $65$ utilizam habitualmente o TikTok e $45$ utilizam o Instagram. Além disso, sabe-se que $25$ alunos utilizam ambas as plataformas.

Representa estes dados numa tabela de contingência (com as linhas «TikTok» e «Não TikTok», as colunas «Instagram» e «Não Instagram», e os totais das linhas e das colunas) e calcula a probabilidade de que, ao escolher um aluno ao acaso:

1. a) Não utilize nenhuma das duas redes sociais.

1. b) Utilize o TikTok, sabendo que utiliza o Instagram.

Uma oficina de reparação de telemóveis recebe dispositivos com dois tipos de avarias principais: ecrã partido ou bateria defeituosa. No mês passado, dos $200$ telemóveis reparados, $120$ tinham o ecrã partido, $70$ tinham problemas de bateria e $30$ tinham ambas as avarias.

Organiza a informação numa tabela de contingência e responde:

1. a) Qual é a probabilidade de que um telemóvel escolhido ao acaso tenha apenas o ecrã partido?

1. b) Se o telemóvel tem a bateria defeituosa, qual é a probabilidade de que também tenha o ecrã partido?

Foi realizado um inquérito a $80$ pessoas sobre os seus hábitos de leitura em formato digital ou em papel. Os resultados mostram que $32$ pessoas leem exclusivamente em papel, $28$ pessoas leem em ambos os formatos e as restantes leem exclusivamente em digital.

1. a) Elabore uma tabela de contingência que resuma estes dados.
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ler em formato digital.
3. c) Sabendo que a pessoa lê em papel, qual é a probabilidade de também ler em digital?

Numa escola secundária de Lisboa realizou-se um inquérito sobre o uso de redes sociais nos anos do ensino secundário. Os dados foram organizados na seguinte tabela de contingência, embora alguns valores se tenham perdido:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Total
1.º ano do Ensino Secundário	$45$		$110$
2.º ano do Ensino Secundário		$60$
Total	$85$		$210$

1. a) Completa a tabela de contingência no teu caderno.
2. b) Se escolhermos um aluno ao acaso e se verificar que é do 2.º ano do Ensino Secundário, qual é a probabilidade de a sua rede preferida ser o Instagram?
3. c) Os acontecimentos "ser do 1.º ano do Ensino Secundário" e "preferir o TikTok" são independentes? Justifica a tua resposta matematicamente.

Em uma pesquisa realizada com os alunos do 2º ano do Ensino Médio sobre suas preferências de estudo após a escola, foram obtidos os seguintes dados representados parcialmente nesta tabela de contingência. As variáveis são o Gênero ($H$ para homem, $M$ para mulher) e a Área de Interesse ($I$ para Engenharia, $S$ para Saúde, $O$ para Outras).

Sabendo que os acontecimentos "ser rapariga" e "ter interesse em Engenharia" são independentes, e que há o mesmo número total de rapazes e de raparigas na amostra de 200 pessoas:

	Engenharia ($I$)	Saúde ($S$)	Outras ($O$)	Total
Rapaz ($H$)	40
Rapariga ($M$)		45
Total		75		200

1. a) Complete de forma fundamentada a tabela de contingência.

1. b) Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter interesse em Saúde ou ser rapaz.

1. c) Se escolhermos um aluno que não tem interesse em Engenharia, qual é a probabilidade de ser rapariga?

Numa escola secundária das Astúrias estão matriculados $200$ estudantes no 2.º ano de Bachillerato. Destes, $120$ frequentam a modalidade de Ciências e Tecnologia, enquanto os $80$ restantes frequentam Humanidades e Ciências Sociais. Entre os estudantes de Ciências, $30$ escolheram Francês como disciplina de opção. Por sua vez, entre os de Humanidades e Ciências Sociais, $40$ estudam Francês.

1. a) Colocam-se duas formas de organizar a informação: um diagrama em árvore sequencial ou uma tabela de contingência de dupla entrada ($2 \times 2$). Justifica qual das duas representações é mais direta, clara e adequada quando os dados descrevem características simultâneas de uma população fixa em vez de etapas temporais sucessivas.
2. b) Constrói uma tabela de contingência preenchendo todas as suas células interiores (interseções) e os seus totais marginais por linhas e colunas a partir dos dados fornecidos.
3. c) Utilizando exclusivamente as somas e células da tabela, calcula a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso frequentar o curso de Línguas e Humanidades, sabendo que não estuda Francês.

Uma plataforma de streaming oferece dois tipos de subscrições: Standard e Premium. Sabe-se que $60 \%$ dos utilizadores têm a subscrição Standard, enquanto os restantes têm a Premium. Dos utilizadores com subscrição Standard, $25 \%$ consomem conteúdo em resolução 4K, enquanto entre os utilizadores Premium, esta percentagem sobe para $80 \%$.

Representa a situação através de um diagrama em árvore e calcula:

1. a) A probabilidade de um utilizador escolhido ao acaso consumir conteúdo em 4K.

1. b) Sabendo que um utilizador está a ver um filme em 4K, qual é a probabilidade de ter uma subscrição Standard?

Um analista de dados estuda a relação entre o uso do transporte público e a pontualidade dos funcionários de um grande escritório. Após observar $500$ trabalhadores, conclui que $350$ usam o transporte público e os restantes vêm em veículo particular. Dos que usam o transporte público, $10 \%$ chegam atrasados, enquanto dos que vêm em veículo particular, $20 \%$ chegam atrasados.

1. a) Organize esta informação numa tabela de contingência de frequências absolutas.
2. b) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido ao acaso chegar a horas?
3. c) Se um trabalhador chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter vindo de transporte público?

Estuda-se o hábito de leitura de dois grupos de pessoas: Jovens (com menos de 25 anos) e Adultos. Sabe-se que $70 \%$ dos entrevistados são Adultos. $40 \%$ dos Jovens lê pelo menos um livro por mês, enquanto $60 \%$ dos Adultos o faz.

1. a) Construa a tabela de contingência de probabilidades associadas (frequências relativas).
2. b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ler pelo menos um livro por mês.
3. c) Se uma pessoa afirma que não lê nenhum livro por mês, qual é a probabilidade de ser Jovem?

No corredor ferroviário de alta velocidade Lisboa-Porto competem três operadores de transporte de passageiros: a CP, que gere $50\,\%$ das viagens diárias; a Operador A, que opera $30\,\%$; e a Operador B, que cobre os $20\,\%$ restantes. De acordo com dados de pontualidade, a probabilidade de um comboio sofrer um atraso superior a $15$ minutos é de $3\,\%$ para a CP, de $5\,\%$ para a Operador A e de $10\,\%$ para a Operador B.

1. a) Modela a escolha e a viagem de um passageiro escolhido ao acaso através de um diagrama de árvore no qual constem todos os acontecimentos simples, as suas probabilidades marginais e as probabilidades condicionadas de atraso.
2. b) Se um comboio selecionado ao acaso chega ao seu destino sem sofrer atraso (ou seja, pontual ou com menos de $15$ minutos de atraso), qual é a probabilidade de o serviço ter sido operado pela Operador B?
3. c) Uma associação de consumidores argumenta nas redes sociais: «Uma vez que a Operador B apresenta a maior taxa de atrasos com grande diferença ($10\,\%$), perante um comboio que chega com atraso à estação de Campanhã o mais provável é que pertença à Operador B». Demonstra formalmente, calculando as probabilidades a posteriori de cada empresa perante um comboio atrasado, se esta afirmação é verdadeira ou falsa, e fundamenta que peso exerce a quota de mercado na conclusão.

Um sistema de segurança informática de uma infraestrutura crítica em Portugal consiste em três barreiras de filtragem sequenciais para detetar tentativas de intrusão (ataques de força bruta).

1. A Barreira A deteta $95 \%$ dos ataques, mas deixa passar o restante.

2. A Barreira B recebe o que a Barreira A não detetou. Esta barreira tem uma probabilidade de acerto de $80 \%$.

3. A Barreira C é o último recurso e deteta $60 \%$ dos ataques remanescentes.

No entanto, o sistema não é perfeito e às vezes gera falsos alarmes (deteta um tráfego legítimo como ataque). Sabe-se que a probabilidade de um pacote de dados ser um ataque real é de $0,001$. As probabilidades de falso alarme são de $1 \%$ para a Barreira A, $2 \%$ para a Barreira B e $5 \%$ para a Barreira C.

Utilizando um diagrama de árvore, calcule:

1. a) A probabilidade de um pacote de dados ser bloqueado pelo sistema (ou seja, de ser detetado por qualquer uma das três barreiras).

1. b) Se o sistema acaba de bloquear um pacote de dados, qual é a probabilidade de se tratar realmente de um ataque informático e não de um falso alarme?

Numa prestigiada academia de e-sports, os jogadores são classificados segundo o seu rendimento em duas categorias: Elite ($E$) e Promessa ($P$). Foi realizado um estudo sobre o uso de teclados mecânicos ($M$) e teclados de membrana ($\bar{M}$).

Sabe-se que $30 \%$ dos jogadores são da categoria Elite. Além disso, entre os jogadores Promessa, a probabilidade de usarem teclado de membrana é o dobro da de usarem teclado mecânico. Por fim, sabe-se que a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso ser Elite e usar teclado mecânico é de $0,24$.

1. a) Construa a tabela de contingência completa com as probabilidades de cada acontecimento.

1. b) Calcule a probabilidade de um jogador usar teclado mecânico.

1. c) Se selecionarmos um jogador que utiliza teclado mecânico, qual é a probabilidade de ele pertencer à categoria Promessa?

1. d) Os acontecimentos "ser jogador Elite" e "usar teclado mecânico" são independentes? Justifique a sua resposta matematicamente.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa oficina de tecnologia, duas urnas contêm peças fabricadas com diferentes materiais para um projeto.

• A Urna A contém 6 peças de bioplástico (PLA) e 4 peças de resina.

• A Urna B contém 3 peças de PLA e 7 peças de resina.

A experiência consiste no seguinte: extrai-se uma peça ao acaso da Urna A e ela é introduzida na Urna B sem ver o seu material. A seguir, extraem-se duas peças simultaneamente da Urna B.

1. a) Calcule a probabilidade de as duas peças extraídas da Urna B serem de resina.

1. b) Sabendo que as duas peças extraídas da Urna B foram de resina, qual é a probabilidade de a peça transferida da Urna A ter sido de PLA?

Um robô de exploração autónoma em Marte tem dois sensores para detetar a presença de depósitos de gelo sob a superfície. O Sensor Principal deteta gelo com uma probabilidade de $0,9$ quando este existe, mas também dá um falso positivo (indica gelo quando não há) $5 \%$ das vezes.

Sabe-se que o robô explora uma zona onde a probabilidade a priori de encontrar gelo é de $15 \%$.

O robô está programado para enviar um sinal de confirmação apenas se o Sensor Principal detetar gelo. No entanto, para poupar energia, se o Sensor Principal detetar gelo, ativa-se automaticamente um Sensor de Reserva cuja probabilidade de acerto é de $95 \%$ (tanto para confirmar presença como para confirmar ausência).

1. a) Calcule a probabilidade de o robô enviar um sinal indicando que o Sensor Principal detetou gelo.

1. b) Se o Sensor Principal detetou gelo, qual é a probabilidade de o Sensor de Reserva não detetar gelo?

1. c) Qual é a probabilidade de realmente haver gelo se ambos os sensores deram positivo?

Dois amigos, Maria e Carlos, jogam um videojogo de estratégia por turnos. A Maria é mais experiente e ganha $60 \%$ das partidas individuais (esta é a probabilidade de que ganhe a primeira partida). Decidem jogar um torneio à melhor de três partidas (o primeiro que ganhar duas partidas ganha o torneio).

Devido ao cansaço e à aprendizagem durante o jogo, as probabilidades não são constantes:

• Se a Maria ganha uma partida, a probabilidade de que ganhe a seguinte aumenta para $0,7$.

• Se a Maria perde uma partida, a probabilidade de que ganhe a seguinte desce para $0,5$.

1. a) Desenha o diagrama de árvore que representa o desenvolvimento do torneio, indicando em cada ramo a sua probabilidade e, no final de cada caminho, quem ganha o torneio.

1. b) Calcula a probabilidade de que o Carlos ganhe o torneio.

1. c) Se o torneio durou exatamente três partidas, qual é a probabilidade de que a Maria o tenha ganho?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Num julgamento criminal realizado num Tribunal Judicial de comarca analisa-se uma amostra biológica encontrada no local do crime. O relatório pericial determina que o perfil genético encontrado coincide com o do arguido. O laboratório forense certifica que o teste tem uma sensibilidade de $100\,\%$ (se uma pessoa for culpada, o teste coincide sempre) e que a probabilidade de uma pessoa inocente apresentar este mesmo perfil por puro acaso genético é de $1$ em $10\,000$ ($P(\text{Coincidência} \mid \text{Inocente}) = 0,0001$).

Durante a sua alegação final, o Ministério Público expõe: «Meritíssimos Juízes, a probabilidade de uma pessoa inocente ter este perfil genético é de apenas $0,01\,\%$. Em consequência, a probabilidade de o arguido ser inocente é de apenas $0,01\,\%$, o que demonstra a sua culpa para além de qualquer dúvida razoável com uma probabilidade de $99,99\,\%$.»

Para contrastar esta afirmação, o tribunal delimita uma população de referência de $100\,000$ pessoas entre as quais se tem a certeza de que se encontra o único autor material do crime.

1. a) Identifica com precisão matemática o erro de raciocínio cometido pelo Ministério Público (conhecido como «falácia do acusador»). Escreve, empregando a notação formal de acontecimentos e probabilidade condicionada, que probabilidade é a que realmente fornece o relatório forense e que probabilidade é a que o Ministério Público garante ter demonstrado.
2. b) Modela a situação dos $100\,000$ suspeitos mediante uma tabela de contingência de $2 \times 2$ (Culpado / Inocente versus Coincidência / Não coincidência de ADN), deduzindo o número esperado de indivíduos que ocupará cada uma das quatro células interiores.
3. c) A partir dos valores da tabela de contingência, calcula a probabilidade real de o arguido ser culpado sabendo que o seu ADN coincide com a amostra, ou seja, $P(\text{Culpado} \mid \text{Coincidência})$.
4. d) Interpreta a diferença radical entre a percentagem invocada pelo Ministério Público e o valor obtido na alínea anterior. Explica que relação tem este fenómeno com a dimensão do grupo de suspeitos e por que razão uma coincidência técnica muito fiável não equivale automaticamente a culpa.