Função exponencial
A Beatriz publica um vídeo e, de hora a hora, o número de visualizações multiplica-se por um fator fixo: não lhe somam sempre as mesmas 100 visualizações, multiplicam-no. Um café esquece-se em cima da mesa e arrefece cada vez mais devagar, aproximando-se da temperatura da sala. Nos dois casos, o tempo $t$ não está na base, está no expoente, e isso muda por completo a forma como a quantidade cresce ou decresce. É esta a função que vais estudar neste apartado.
A função exponencial
As propriedades das potências, para $a,b>0$ e $x,y\in\mathbb{R}$, são: $a^0=1$, $1^x=1$, $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$, $a^x\cdot b^x=(ab)^x$, $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$, $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ e $(a^x)^y=a^{xy}$.
Toda a função $f(x)=a^x$ passa pelo ponto $(0,1)$, porque $a^0=1$, e por $(1,a)$, porque $a^1=a$. Move o cursor e repara que estes dois pontos não saem do sítio.
Entre todas as bases possíveis, uma tem um papel especial: o número $e\approx2{,}71828\ldots$, um irracional que surge de forma natural em processos de crescimento contínuo (juros, decaimento radioativo, arrefecimento). A função $f(x)=e^x$ é a exponencial de referência e o seu valor escreve-se sempre como $e$, sem aproximar, a não ser que o problema peça um valor numérico.
Muitas vezes sabes o valor da função em dois pontos e queres descobrir a expressão.
Há ainda o domínio de expressões que contêm exponenciais: $e^x$ está definido para todo o $x$, por isso as restrições vêm de denominadores, raízes, etc. Por exemplo, em $g(x)=\dfrac{1}{e^x-e^3}$ exige-se $e^x\neq e^3$, ou seja, $x\neq3$, pelo que $D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
Dada a função exponencial $f(x) = 3^x$, calcule os valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Exprima os resultados de forma exata, utilizando…
Dada a função exponencial $f(x) = 3^x$, calcule os valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Exprima os resultados de forma exata, utilizando raízes ou frações se necessário.
Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 12)$.
Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 12)$.
Determine o domínio de definição da seguinte função: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determine o domínio de definição da seguinte função:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crescimento e decrescimento
A razão: ao passar de $x$ para $x+1$, o valor multiplica-se sempre por $a$, isto é, $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$ para qualquer $x$. Se esse fator é maior do que $1$, cada passo aumenta o valor; se é menor do que $1$, cada passo diminui-o.
Quando o expoente vem com sinal negativo, inverte-se a base.
Para associar gráficos a expressões, usa os dois pontos fixos e a monotonia: todas passam por $(0,1)$, as de base maior do que $1$ sobem (e as maiores sobem mais depressa), as de base entre $0$ e $1$ descem, e $-a^x$ é o reflexo de $a^x$ no eixo $Ox$ (fica toda abaixo do eixo, passando por $(0,-1)$). Para resolver uma equação exponencial graficamente na calculadora gráfica, introduz o primeiro membro como $y_1$ e o segundo como $y_2$, ajusta a janela de visualização e usa a opção de interseção: a abcissa do ponto de interseção é a solução. Por exemplo, em $2^x=5$, a reta $y=5$ corta $y=2^x$ em $x\approx2{,}32$. Num gráfico com a reta $y=e$, a abcissa em que $e^x$ ou $e^{-x}$ cortam essa reta obtém-se resolvendo $e^x=e$ (logo $x=1$) ou $e^{-x}=e$ (logo $x=-1$).
Classifique as seguintes funções exponenciais em crescentes ou decrescentes, justificando a sua resposta em função do valor da sua base: $f(x) = 4^x$…
Classifique as seguintes funções exponenciais em crescentes ou decrescentes, justificando a sua resposta em função do valor da sua base:
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0,8^x$
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$i(x) = e^x$
Relacione cada um dos gráficos identificados com A, B, C e D na seguinte figura com a sua função exponencial correspondente. As funções são: $f(x) = 2^x$,…
Relacione cada um dos gráficos identificados com A, B, C e D na seguinte figura com a sua função exponencial correspondente. As funções são: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.
No gráfico ao lado mostram-se as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, junto com a reta horizontal $y = e$. Determine analiticamente as coordenadas do ponto de…
No gráfico ao lado mostram-se as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, junto com a reta horizontal $y = e$.
Determine analiticamente as coordenadas do ponto de interseção entre as funções $f(x)$ e $g(x)$. Em seguida, calcule a área exata do triângulo cujos vértices são esse ponto de interseção e os dois pontos onde as curvas intersetam a reta $y = e$.
Domínio, contradomínio, assíntota e zeros
Ao transladar o gráfico, a assíntota translada-se com ele, e podes obtê-la com um limite. Em $g(x)=a^{x-p}+q$:
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o expoente $x-p$ desloca a curva $p$ unidades na horizontal (translação horizontal);
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o $+q$ desloca-a $q$ unidades na vertical.
Se houver ainda um coeficiente $b\neq0$, isto é, $f(x)=b\cdot a^{x-c}+d$, a assíntota continua a ser $y=d$, o domínio é $\mathbb{R}$ e o contradomínio é $]d,+\infty[$ se $b>0$ ou $]-\infty,d[$ se $b<0$. A monotonia inverte-se quando $b<0$. Com $a>1$ e $b>0$, $f(x)\to d$ quando $x\to-\infty$ e $f(x)\to+\infty$ quando $x\to+\infty$. Com $b<0$, $f(x)\to-\infty$ quando $x\to+\infty$. Interseção com $Oy$: $f(0)=b\cdot a^{-c}+d$; com $Ox$: resolve $b\cdot a^{x-c}+d=0$.
Se $a>1$, quando $x\to-\infty$ o termo $a^{x-p}\to0^+$, logo $$\lim_{x\to-\infty} \left(a^{x-p}+q\right) = q.$$ A assíntota horizontal passa a ser $y=q$. (Se $0 Para a interseção com os eixos: com o eixo $Oy$ calcula $f(0)$; com o eixo $Ox$ resolve $f(x)=0$ (os zeros). Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal da função $f(x) = 2^x - 5$. Calcule analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas da função $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir da função $f(x) = 2^x$, explique detalhadamente quais as transformações geométricas que devem ser aplicadas ao seu gráfico para obter o gráfico da função $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal de $g(x)$.Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal da função $f(x) = 2^x - 5$.
Calcule analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas da função $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir da função $f(x) = 2^x$, explique detalhadamente quais as transformações geométricas que devem ser aplicadas ao seu gráfico para obter o gráfico da função…
Sinal, assíntotas e continuidade
Uma exponencial é sempre positiva: $e^{u}>0$ para qualquer $u$. Por isso, num produto como $p(x)\cdot e^{g(x)}$, o fator exponencial não influencia o sinal: ele é determinado só por $p(x)$.
Para as assíntotas de expressões com a exponencial no expoente, estuda o domínio e depois os limites nos extremos do domínio.
Para a continuidade: as funções exponenciais são contínuas em $\mathbb{R}$, tal como as suas somas, produtos e compostas com funções contínuas. Numa função definida por ramos, só tens de verificar os pontos onde o ramo muda: os limites laterais têm de ser iguais ao valor da função nesse ponto.
Dada a função $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realize um estudo analítico para determinar: O seu domínio de definição. Os pontos de interseção com os eixos coordenados. As…
Dada a função $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realize um estudo analítico para determinar:
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O seu domínio de definição.
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Os pontos de interseção com os eixos coordenados.
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As equações das suas assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
Determine analiticamente os intervalos de sinal constante (ou seja, os intervalos onde a função é estritamente positiva e onde é estritamente negativa) da função:…
Determine analiticamente os intervalos de sinal constante (ou seja, os intervalos onde a função é estritamente positiva e onde é estritamente negativa) da função:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$
Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o $\mathbb{R}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o $\mathbb{R}$:
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Equações exponenciais: igualar as bases
Há várias técnicas, da mais simples à mais geral. A primeira apoia-se numa propriedade da função.
Resolva a seguinte equação exponencial, igualando as bases em ambos os membros da igualdade: $5^{2x-1} = 125$
Resolva a seguinte equação exponencial, igualando as bases em ambos os membros da igualdade:
$5^{2x-1} = 125$
Expressa ambos os membros da equação como potências de base $2$ e resolve: $8^x = \frac{1}{4}$
Expressa ambos os membros da equação como potências de base $2$ e resolve:
$8^x = \frac{1}{4}$
O Marcos tem de resolver a equação exponencial $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento: $$3 \cdot 2^{x+1} = 48 \implies 6^{x+1} = 48…
O Marcos tem de resolver a equação exponencial $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:
$$3 \cdot 2^{x+1} = 48 \implies 6^{x+1} = 48 \implies x+1 = \frac{48}{6} \implies x+1 = 8 \implies x = 7$$- a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos nos dois primeiros passos da sua resolução.
- b) Resolve a equação corretamente passo a passo, indicando de forma explícita que propriedade das potências ou das funções exponenciais justifica cada transformação.
Fator comum e mudança de variável
Já sabes o suficiente para construir uma equação. Se queres que a equação em $t=2^x$ tenha as raízes $t=8$ (que dá $x=3$) e uma raiz negativa, por exemplo $t=-1$ (que não dá solução), escreves $(t-8)(t+1)=0$, isto é, $t^2-7t-8=0$, e a equação é $4^x-7\cdot2^x-8=0$. O termo independente é $-8$, inteiro negativo.
Resolve a seguinte equação exponencial fazendo uma mudança de variável adequada: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resolve a seguinte equação exponencial fazendo uma mudança de variável adequada:
$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Desenha uma equação exponencial que cumpra simultaneamente estas três condições: 1. Resolve-se realizando a mudança de variável $t = 2^x$, transformando-se numa equação…
Desenha uma equação exponencial que cumpra simultaneamente estas três condições:
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Resolve-se realizando a mudança de variável $t = 2^x$, transformando-se numa equação do segundo grau na variável $t$.
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Ao resolver a equação do segundo grau em $t$, obtêm-se duas raízes reais distintas, mas a equação exponencial original na variável $x$ tem uma única solução real, que deve ser exatamente $x = 3$.
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O termo independente da equação do segundo grau em $t$ deve ser um número inteiro estritamente negativo.
- a) Propõe a equação em $t$ e fundamenta que valor deve ter a segunda raiz para que não gere nenhuma solução real ao desfazer a mudança de variável.
- b) Escreve a equação exponencial completa na variável $x$, desenvolvida na forma $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ com $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
- c) Verifica analiticamente que, ao resolver a tua equação exponencial, a única solução real obtida é $x = 3$.
Resolva a seguinte equação exponencial, colocando o fator comum em evidência após aplicar as propriedades das potências: $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resolva a seguinte equação exponencial, colocando o fator comum em evidência após aplicar as propriedades das potências:
$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Logaritmos e sistemas exponenciais
Quando os membros não se igualam à mesma base, aplicam-se logaritmos. Aqui basta saber que $\log_a b$ é o expoente a que se eleva $a$ para obter $b$, que $\ln$ é o logaritmo de base $e$, que $\log$ é o de base $10$, e que $\log(a^x)=x\log a$. (As propriedades dos logaritmos estudam-se com pormenor na função logarítmica.)
Num sistema de equações exponenciais, usa uma mudança de variável para cada potência ($u=2^x$, $v=3^y$) e resolve o sistema linear que daí resulta. Lembra que $a^{x+1}=a\cdot a^x$ e $a^{y-1}=\dfrac{a^y}{a}$.
Resolva a seguinte equação exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresse o resultado de forma exata utilizando logaritmos e forneça também uma aproximação…
Resolva a seguinte equação exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresse o resultado de forma exata utilizando logaritmos e forneça também uma aproximação arredondada às centésimas.
Propõem-se as duas seguintes equações exponenciais: Equação 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$ Equação 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$ Dispões de três possíveis…
Propõem-se as duas seguintes equações exponenciais:
Equação 1: $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$
Equação 2: $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$
Dispões de três possíveis estratégias algébricas:
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Estratégia A: Aplicar logaritmos a ambos os membros como primeiro passo direto.
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Estratégia B: Colocar em evidência a potência de base $3$ de menor expoente.
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Estratégia C: Aplicar propriedades das potências para transformar a expressão através da mudança de variável $t = 3^x$.
- a) Justifica por que razão a Estratégia A é inviável como primeiro passo em ambas as equações, identificando o erro algébrico típico associado a $\log(u + v)$.
- b) Para cada equação, escolhe de forma fundamentada qual é a estratégia ótima entre a B e a C, indicando que estrutura algébrica específica da equação motiva a tua escolha.
- c) Resolve passo a passo ambas as equações, empregando em cada caso a estratégia que justificaste como ótima.
Resolva o seguinte sistema de equações exponenciais: $$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$
Resolva o seguinte sistema de equações exponenciais:
$$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$Modelos de crescimento e decaimento
Num crescimento ou decaimento exponencial, em cada período a quantidade multiplica-se pelo mesmo fator. Depois de $t$ períodos há $t$ multiplicações iguais, daí a potência.
Uma amostra com meia-vida $T$ reduz-se a metade a cada $T$ unidades de tempo.
Se o enunciado dá dois valores e pede o modelo, usa o método dos dois pontos. Por exemplo, uma população que passa de $P_0$ para $16P_0$ em $20$ anos tem $a^{20}=16=2^4$, logo $a=2^{4/20}=2^{1/5}$; a taxa de crescimento anual é $a-1\approx0{,}149$, isto é, cerca de $14{,}9\,\%$ ao ano.
Uma população de bactérias duplica a cada hora. Se inicialmente no cultivo há $150$ bactérias, escreva a função $P(t)$ que modela o número de bactérias em função do…
Uma população de bactérias duplica a cada hora. Se inicialmente no cultivo há $150$ bactérias, escreva a função $P(t)$ que modela o número de bactérias em função do tempo $t$ (expresso em horas). Quantas bactérias haverá no cultivo ao fim de $4$ horas?
O valor de avaliação de um carro utilitário comprado novo em Portugal por $16\,000$ € deprecia-se a cada ano $20\,\%$, de modo que o seu valor após $t$ anos é dado por…
O valor de avaliação de um carro utilitário comprado novo em Portugal por $16\,000$ € deprecia-se a cada ano $20\,\%$, de modo que o seu valor após $t$ anos é dado por $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$.
- a) Sem propor equações formais, estima de forma fundamentada entre que dois anos inteiros consecutivos o valor do carro descerá pela primeira vez abaixo de metade do seu preço original ($8\,000$ €). Para justificar a tua estimativa, calcula de forma simples e delimita os valores de $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ e $V(4)$.
- b) Verifica a tua estimativa calculando os valores numéricos exatos de $V(3)$ e $V(4)$ em forma decimal. A partir dos resultados, pondera se o carro perde a cada ano a mesma quantia absoluta de euros ou não, e explica como isso se relaciona com o decaimento exponencial.
Investem-se $5000$ euros num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $3\%$. Escreva a função que determina o capital acumulado $C(t)$ ao fim de $t$ anos.…
Investem-se $5000$ euros num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $3\%$.
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Escreva a função que determina o capital acumulado $C(t)$ ao fim de $t$ anos.
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Calcule o capital total acumulado após $10$ anos.
Mais modelos: meia-vida, taxa e crescimento populacional
Quando a incógnita é o próprio tempo, a equação $a^t=c$ resolve-se com logaritmos: $t=\dfrac{\ln c}{\ln a}$. Por exemplo, para uma máquina que perde $15\,\%$ ao ano, $V(t)=V_0\cdot0{,}85^t$, o tempo até metade do valor vem de $0{,}85^t=0{,}5$, isto é, $t=\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}85}\approx4{,}27$ anos.
Um isótopo radioativo tem um período de meia-vida (tempo que demora a reduzir a sua massa inicial para metade) de $8$ dias. Se partirmos de uma amostra inicial de $200$…
Um isótopo radioativo tem um período de meia-vida (tempo que demora a reduzir a sua massa inicial para metade) de $8$ dias. Se partirmos de uma amostra inicial de $200$ gramas:
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Escreve a função $M(t)$ que fornece a massa restante do isótopo em função do tempo $t$ em dias.
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Que massa desse isótopo restará após $24$ dias?
O valor de mercado de uma máquina industrial decresce exponencialmente com o tempo. Foi comprada por $40000$ euros e sabe-se que, em cada ano, perde $15\%$ do seu valor…
O valor de mercado de uma máquina industrial decresce exponencialmente com o tempo. Foi comprada por $40000$ euros e sabe-se que, em cada ano, perde $15\%$ do seu valor relativamente ao ano imediatamente anterior.
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Escreva a função $V(t)$ que dá o valor da máquina em função dos anos decorridos.
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Qual será o seu valor após $5$ anos?
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Quanto tempo exato deve decorrer para que o seu valor se reduza a metade?
Segundo os censos do Ministério do Ambiente (MITECO), a população de lince-ibérico na península ibérica passou de aproximadamente $100$ exemplares no ano $2002$ (…
Segundo os censos do Ministério do Ambiente (MITECO), a população de lince-ibérico na península ibérica passou de aproximadamente $100$ exemplares no ano $2002$ ($t = 0$) para cerca de $1\,600$ exemplares no ano $2022$ ($t = 20$). Assumindo um modelo de crescimento exponencial da forma $P(t) = P_0 \cdot a^t$, onde $t$ é o tempo em anos decorridos desde $2002$:
- a) Determina os valores exatos da constante $P_0$ e da base de crescimento anual $a$. Expressa a base $a$ como uma potência irredutível de base $2$.
- b) A partir do valor de $a$, calcula a taxa de crescimento percentual anual média prevista por este modelo, arredondando a $0,1\,\%$.
- c) Empregando unicamente propriedades das potências de base $2$ (sem recorrer a aproximações decimais nem a logaritmos), determina em que ano o modelo previa que a população atingisse os $6\,400$ linces. Explica por que razão um modelo puramente exponencial deixa de ser biologicamente realista se for projetado a muito longo prazo.
Arrefecimento e crescimento logístico
Dois modelos com $e$ aparecem com frequência.
A propagação de um vírus numa população isolada de $10000$ habitantes segue um modelo de crescimento logístico dado pela função: $P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$…
A propagação de um vírus numa população isolada de $10000$ habitantes segue um modelo de crescimento logístico dado pela função:
$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$
onde $P(t)$ é o número de pessoas infetadas e $t$ é o tempo decorrido em dias desde o início do surto.
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Calcule o número inicial de infetados no instante $t = 0$.
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Determine quantas pessoas estarão infetadas decorridos $10$ dias.
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Calcule o tempo exato necessário para que metade da população esteja infetada.
Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de um objeto num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é…
Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de um objeto num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é a temperatura ambiente e $T_0$ a temperatura inicial do objeto. Uma chávena de café a $90^\circ\text{C}$ é deixada numa sala que se mantém a uma temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Se após $10$ minutos a temperatura do café desceu para $60^\circ\text{C}$:
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Calcule o valor exato da constante de arrefecimento $k$.
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Determine o tempo total decorrido desde o início para que o café atinja uma temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Na estação do IPMA de Miranda do Douro (Bragança), durante uma noite de inverno a temperatura exterior mantém-se constante em $T_a = -5$ ºC. Um recipiente térmico com…
Na estação do IPMA de Miranda do Douro (Bragança), durante uma noite de inverno a temperatura exterior mantém-se constante em $T_a = -5$ ºC. Um recipiente térmico com líquido a uma temperatura inicial $T_0 = 75$ ºC é colocado no exterior. A sua temperatura evolui seguindo a lei de arrefecimento de Newton:
$$T(t) = T_a + (T_0 - T_a) \cdot a^t$$onde $t$ é o tempo decorrido em minutos e $a \in (0, 1)$ é a base de decaimento térmico por minuto.
- a) Aos $15$ minutos de exposição, a temperatura do líquido é de $35$ ºC. Calcula o valor exato da base $a$ sob a forma de potência irredutível e escreve a expressão analítica final de $T(t)$.
- b) Demonstra formalmente que $T(t)$ é uma função estritamente decrescente para todo o $t \ge 0$. Determina a assíntota horizontal da função quando $t \to +\infty$ e interpreta o seu significado físico no contexto da experiência.
- c) Um estudante afirma que, se se esperar o tempo suficiente, o termómetro marcará exatamente $-5$ ºC. Propõe a equação correspondente e demonstra, a partir do contradomínio da função exponencial, por que razão o modelo matemático contínuo nega essa afirmação. Explica brevemente por que razão surge esta diferença entre a previsão teórica e a realidade física da termodinâmica.
Volta ao princípio: se as visualizações do vídeo da Beatriz partem de $N_0$ e se multiplicam por $k$ a cada hora, o seu número evolui como $N(t)=N_0\cdot k^t$. E o café que arrefece segue $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}$, com uma assíntota horizontal na temperatura da sala.