Operações com números complexos na forma algébrica

Realize as seguintes operações de adição e subtração com números complexos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ e $z_3 = 5i$, calcule na forma binómica o resultado da expressão $z_1 - z_2 + z_3$.

Dado o número complexo $z = -7 + 8i$, determine o seu conjugado $\bar{z}$ e o seu oposto $-z$. Em seguida, efetue a operação $z + \bar{z}$ e verifique algebricamente que o resultado é um número real.

Determine os valores dos números reais $x$ e $y$ para que se verifique a seguinte igualdade entre números complexos:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Encontra o valor do número real $x$ para que o produto dos números complexos $(x - 3i)$ e $(2 + 5i)$ resulte num número imaginário puro (ou seja, com parte real igual a zero).

Multiplique os seguintes números complexos expressos na forma binómica e simplifique o resultado agrupando a parte real e a parte imaginária: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Calcule o valor numérico do polinómio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ quando avaliado no número complexo $z = 2 + i$.

No desenvolvimento de um jogo eletrónico 2D, a posição de uma personagem no plano é representada pelo número complexo $z = 5 + 2i$. Para aplicar uma rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário em relação à origem e, posteriormente, uma translação definida pelo vetor $(-1, 3)$, o motor gráfico realiza a operação $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calcule a nova posição $z'$ da personagem.

Efetue a seguinte divisão de números complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exprima o resultado final na forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

O Lucas tenta simplificar a fração de números complexos $\dfrac{5+2i}{2-i}$ para a expressar na forma algébrica. No seu exame, escreve o seguinte procedimento:

1. a) Localiza fundamentadamente o erro conceptual cometido pelo Lucas no denominador e explica por que razão o seu cálculo de $(2-i)(2+i)$ contradiz a regra de multiplicar pelo conjugado.
2. b) Resolve a operação de forma correta e expressa o resultado final na forma algébrica $a + bi$.

Determine o valor do parâmetro real $k$ para que o resultado do seguinte quociente seja um número real puro (ou seja, a sua parte imaginária seja nula):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

Simplifique as seguintes potências da unidade imaginária $i$ aplicando a periodicidade dos seus valores:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Desenvolva e simplifique a expressão $(1 - i)^4$ operando exclusivamente na forma binómica. Pode utilizar o desenvolvimento do binómio de Newton ou aplicar propriedades das potências $( (1-i)^2 )^2$.

Num algoritmo de geração de fractais, a posição de cada novo nó no plano complexo é calculada a partir da soma de potências consecutivas. Calcule a posição do nó dada pela soma dos 10 primeiros termos da progressão geométrica:

$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$

Aplique a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica e expresse o resultado final na forma binómica.

Resolva a seguinte equação do segundo grau no conjunto dos números complexos $\mathbb{C}$ e expresse as suas duas soluções:

$x^2 + 25 = 0$

Pretende-se construir um polinómio do segundo grau $P(x) = x^2 + bx + c$ com coeficientes reais ($b, c \in \mathbb{R}$) tal que uma das suas raízes seja o número complexo $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Justifica, sem efetuar operações algébricas, qual deve ser necessariamente a segunda raiz $z_2$ deste polinómio, apoiando-te nas propriedades explicadas sobre as equações com coeficientes reais.
2. b) Obtém os valores exatos dos coeficientes $b$ e $c$ desenvolvendo o produto de fatores $(x - z_1)(x - z_2)$ na forma algébrica e substituindo $i^2 = -1$.

Na teoria do controlo de sistemas dinâmicos, um sistema é considerado estável se todas as raízes do seu polinómio característico têm parte real negativa. Dada a equação característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:

1. Verifique, substituindo algebricamente, se $z_1 = 1 + i$ é uma solução da equação.

2. Sabendo que os polinómios com coeficientes reais têm raízes complexas conjugadas, encontre as outras duas soluções da equação.

3. Conclua se o sistema descrito é estável ou instável.

Uma aluna sustenta na aula a seguinte afirmação: «Como para qualquer equação quadrática com soluções complexas estas surgem em pares conjugados, então na equação $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sabendo que uma solução é $x_1 = 1+2i$, a outra solução tem de ser obrigatoriamente a sua conjugada $x_2 = 1-2i$».

1. a) Verifica através de substituição direta e operações na forma algébrica se $x_1 = 1+2i$ e a sua suposta conjugada $1-2i$ satisfazem a equação quadrática dada.
2. b) Explica o erro de raciocínio da aluna: que condição indispensável indicada nos apontamentos não é cumprida por esta equação para que não se aplique a propriedade das raízes conjugadas?
3. c) Utilizando as relações entre coeficientes e raízes para a soma ($x_1 + x_2 = 3+i$), calcula a verdadeira segunda raiz $x_2$ na forma algébrica e verifica que o produto $x_1 \cdot x_2$ coincide com o termo independente $4+3i$.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares onde as incógnitas $z$ e $w$ são números complexos. Expresse ambas as soluções na forma binómica:

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Encontra os números complexos $z = x + yi$ que são raízes quadradas do número complexo $-5 + 12i$. Para isso, formula a equação $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala as partes reais e as partes imaginárias para formar um sistema de equações não linear e resolve-o em $\mathbb{R}$.

Encontra todos os números complexos $z$ que satisfazem a equação não linear $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ e resolve o sistema resultante analisando os diferentes casos possíveis para $x$ e $y$.

Num modelo matemático simplificado de mecânica quântica, o estado de uma partícula é descrito por meio da amplitude de probabilidade $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Verifique se esse estado cumpre a condição de normalização, a qual exige que o produto do número complexo pelo seu conjugado seja exatamente a unidade ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

Demonstre algebricamente, definindo os números complexos na forma binómica como $z = a + bi$ e $w = c + di$, que o conjugado do produto de dois números complexos é idêntico ao produto dos seus respetivos conjugados. Ou seja, prove passo a passo que $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.

Determina o lugar geométrico dos afixos dos números complexos $z = x + yi$ tais que a expressão $\frac{z - 2}{z + i}$ seja um número imaginário puro (ou seja, com parte real nula e parte imaginária diferente de zero).

1. a) Obtém a equação do lugar geométrico em função de $x$ e $y$.

1. b) Identifica a curva: indica o seu centro e o seu raio.

1. c) Indica que pontos dessa curva é necessário excluir e porquê.

No estudo dos fractais e do conjunto de Mandelbrot, analisa-se o comportamento da sucessão iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partindo da condição inicial $z_0 = 0$. Para a constante complexa $c = -1 + i$:

1. Calcule os termos $z_1$, $z_2$ e $z_3$ operando na forma binómica.

2. Determine o módulo $|z_3|$ e verifique se ele supera o valor limite de escape (ou seja, se $|z_3| > 2$).

Efetue as operações combinadas indicadas a seguir, respeitando a sua hierarquia, e expresse o resultado final na forma binómica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

Considera a multiplicação dos números complexos $z_1 = 5 + 0,2i$ e $z_2 = 4 - 0,1i$.

1. a) Antes de efetuar o cálculo de forma exata, estima fundamentadamente o valor aproximado da parte real e da parte imaginária de $z_1 \cdot z_2$. Justifica a tua estimativa analisando quais dos quatro termos do produto distributivo $(ac - bd) + (ad + bc)i$ terão um impacto significativo e quais resultarão quase desprezáveis.
2. b) Realiza a multiplicação completa na forma algébrica substituindo $i^2 = -1$.
3. c) Compara o valor exato com a tua estimativa inicial, calcula a diferença na parte real e fundamenta em que situações práticas (como cálculos com tolerâncias de medição) pode ser admissível prescindir do termo $-bd$.

Para calcular na forma algébrica o inverso do número complexo $z = \dfrac{1+2i}{3-i}$, dois colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• O Álvaro propõe calcular primeiro a divisão $\dfrac{1+2i}{3-i}$ multiplicando pelo conjugado do denominador e, uma vez obtido o resultado $A + Bi$, calcular o seu inverso como $\dfrac{1}{A+Bi}$ multiplicando novamente pelo seu conjugado.

• A Beatriz propõe inverter primeiro algebricamente a fração, escrevendo $z^{-1} = \dfrac{3-i}{1+2i}$, e resolver em seguida uma única divisão multiplicando pelo conjugado deste novo denominador.

1. a) Compara ambos os caminhos: justifica se ambos são válidos matematicamente e qual deles minimiza as operações aritméticas e o risco de erro.
2. b) Aplica o método escolhido para calcular $z^{-1}$ e expressa o resultado na forma $a + bi$.

Num circuito elétrico de corrente alternada, dois componentes estão ligados em paralelo. As suas impedâncias complexas são dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ e $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcule a impedância equivalente do circuito, expressa na forma binómica, utilizando a fórmula física:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

No estudo do fluxo de fluidos ideais ao redor de um obstáculo cilíndrico, a função de potencial complexo é dada pela expressão $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sabendo que a velocidade do fluido é $V = 2$ e o parâmetro $m = 8$, avalie o potencial no ponto $z = 2 + 2i$. Expresse o resultado final $W(2+2i)$ na forma $a + bi$.

Num projeto de engenharia industrial numa central fotovoltaica em Faro, ligam-se dois ramos em paralelo cuja impedância equivalente é dada por $Z_p = \dfrac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$. O primeiro ramo apresenta uma impedância $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, enquanto o segundo ramo tem uma impedância $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, onde $R > 0$ é uma resistência óhmica ajustável em ohms.

Os técnicos precisam de ajustar $R$ para que o circuito entre em ressonância paralela, o que significa que a impedância global $Z_p$ deve ser um número real puro (a sua parte imaginária deve ser nula), evitando desfasamentos entre a tensão e a corrente.

1. a) Desenvolve a expressão de $Z_p$ na forma algébrica em função do parâmetro $R$, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado adequado.
2. b) Iguala a zero a parte imaginária obtida para calcular o valor exato da resistência $R$ que deve ser selecionada.
3. c) Com esse valor de $R$, determina o valor final da resistência equivalente $Z_p$ do circuito.