Exercícios: Técnicas de contagem

Num clube de desportos eletrónicos (eSports) analisa-se a especialização dos seus 100 sócios. Sabe-se que 65 deles jogam habitualmente League of Legends (acontecimento $L$), 40 jogam Valorant (acontecimento $V$) e 15 jogam ambos os videojogos.

Calcula a probabilidade de que, ao escolher um sócio ao acaso:

1. a) Jogue algum dos dois videojogos ($L \cup V$).

1. b) Não jogue nenhum dos dois.

1. c) Jogue apenas League of Legends.

Ilustra a situação através de um diagrama de Venn. Aqui tens o esquema de partida, que deves completar com o número de sócios de cada região:

Para melhorar a segurança de uma aplicação móvel, um programador decide criar códigos de acesso constituídos por uma letra maiúscula (considerando as 26 letras do alfabeto padrão) seguida de três dígitos (de 0 a 9).

• Quantos códigos diferentes podem ser criados se os dígitos puderem repetir-se?

• Quantos códigos diferentes haveria se os três dígitos tivessem de ser distintos entre si?

• Se for gerado um código ao acaso com dígitos repetíveis, qual é a probabilidade de a letra ser um 'Z'?

Uma urna contém 12 bolas de cristal para uma experiência de ótica: 5 são azuis, 4 são vermelhas e 3 são amarelas. Se extrairmos uma bola ao acaso, calcule as seguintes probabilidades utilizando a regra de Laplace:

• Que a bola seja vermelha ou amarela.

• Que a bola não seja azul.

• Que a bola seja branca.

Num laboratório de robótica, foram misturados numa caixa 8 sensores de proximidade em perfeito estado e 2 sensores defeituosos. Um aluno extrai dois sensores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro à caixa).

Calcule a probabilidade de:

• Ambos os sensores funcionarem corretamente.

• O primeiro ser defeituoso e o segundo estar em bom estado.

Foi realizado um inquérito aos 60 alunos do 12.º ano de uma escola tecnológica sobre a utilização de redes sociais para se informarem sobre notícias científicas. Os resultados são apresentados na seguinte tabela de contingência:

	Usam o X (Twitter)	Usam o Instagram	Total
Alunos	18	12	30
Alunas	10	20	30
Total	28	32	60

Se escolhermos um estudante ao acaso, calcule a probabilidade de:

• Ser uma aluna.

• Usar o Instagram para se informar.

• Sabendo que é um aluno, preferir informar-se através da rede social X.

Um estudante tem dois exames no mesmo dia: Matemática e Inglês. Pelo seu histórico de classificações, estima que a probabilidade de ser aprovado a Matemática ($M$) é de $0,7$, a de ser aprovado a Inglês ($I$) é de $0,8$ e a de ser aprovado a ambos é de $0,6$.

• Os acontecimentos "Aprovar a Matemática" e "Aprovar a Inglês" são independentes? Justifique a sua resposta matematicamente.

• Calcule a probabilidade de ser aprovado a pelo menos um dos dois exames.

No laboratório de um hospital, dois analisadores automáticos, $A$ e $B$, processam as amostras de sangue. O analisador $A$ processa $60 \%$ das amostras e o $B$ os $40 \%$ restantes. Sabe-se que $2 \%$ das amostras do analisador $A$ devem ser repetidas por erro de leitura, enquanto no $B$ essa percentagem é de $5 \%$.

Desenha o diagrama de árvore correspondente e calcula a probabilidade de que uma amostra escolhida ao acaso deva ser repetida.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Uma turma de engenharia tem de escolher uma comissão de 3 representantes. Se na turma houver 20 alunos, calcule:

• De quantas formas se pode escolher a comissão se os três cargos (delegado, subdelegado e secretário) forem distintos?

• De quantas formas se pode escolher se os três representantes tiverem o mesmo cargo e a ordem não importar?

• Se houver 12 rapazes e 8 raparigas, qual é a probabilidade de a comissão (sem cargos diferenciados) ser formada apenas por raparigas? (Formule a fração por meio de números combinatórios).

Numa escola secundária, a comissão de delegados do 12.º ano é composta por 10 estudantes: 6 raparigas e 4 rapazes. Para formar uma comissão de convivência, escolhe-se por sorteio um grupo de 3 delegados.

O Marcos quer calcular a probabilidade de a comissão ser formada por exatamente 2 raparigas e 1 rapaz, e raciocina da seguinte maneira:

«Para a primeira rapariga há 6 opções, para a segunda há 5 opções, e para o rapaz há 4 opções. Portanto, os casos favoráveis são $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Como os casos possíveis de escolher 3 pessoas por ordem de entre as 10 são $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, a probabilidade procurada é $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifica com precisão o erro conceptual do Marcos ao calcular os casos favoráveis e explica por que razão a sua abordagem distorce o cálculo do espaço de resultados.
2. b) Resolve o problema corretamente utilizando combinações $\binom{n}{r}$ através da regra de Laplace e compara o teu resultado com o obtido pelo Marcos.

Num grupo de 15 estudantes do 12.º ano que frequentam Matemática II encontram-se três amigos inseparáveis: a Leonor, o Tomás e a Beatriz. O departamento vai selecionar ao acaso uma equipa de 4 estudantes para representar a escola nas Olimpíadas de Matemática da universidade local.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, faz uma estimativa qualitativa e intuitiva: achas que a probabilidade de pelo menos dois dos três amigos coincidirem na equipa de 4 pessoas é superior a $50\,\%$, situa-se em torno de $15\,\%-20\,\%$ ou é um acontecimento muito improvável (inferior a $5\,\%$)? Justifica brevemente a intuição na qual te baseias.
2. b) Modela o problema através de técnicas combinatórias e calcula o valor exato dessa probabilidade como fração irredutível e em percentagem.
3. c) Contrasta o valor obtido com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a intuição humana sobre coincidências grupais costuma falhar neste tipo de sorteios.

Para melhorar a segurança de uma plataforma de desportos eletrónicos, exige-se que os utilizadores criem uma palavra-passe de acesso de 6 caracteres. Os dois primeiros devem ser letras maiúsculas do alfabeto espanhol (27 letras) e os quatro restantes devem ser dígitos de $0$ a $9$.

Calcule quantas palavras-passe diferentes podem ser geradas se:

1. a) Forem permitidas repetições de letras e números.
2. b) Não for permitido repetir nenhuma letra, mas sim os números.
3. c) As letras deverem ser distintas e os números deverem formar uma sequência estritamente crescente (por exemplo: $1258$, mas não $1225$ nem $4321$).

No estudo de desempenho de um novo processador gráfico, definem-se os acontecimentos $A$: "o processador supera $100$ FPS em ultra" e $B$: "o processador mantém uma temperatura inferior a $70^\circ$C". Conhecem-se as seguintes probabilidades:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Determina, de forma fundamentada:

1. a) A probabilidade de ocorrerem ambos os acontecimentos ao mesmo tempo.
2. b) A probabilidade de ocorrer apenas o acontecimento $A$.
3. c) Os acontecimentos $A$ e $B$ são independentes? Justifica a tua resposta.

Um laboratório de robótica tem duas caixas de componentes. A Caixa 1 contém $8$ sensores de proximidade e $4$ atuadores. A Caixa 2 contém $5$ sensores de proximidade e $7$ atuadores. Escolhe-se uma caixa ao acaso e extraem-se sucessivamente dois componentes sem reposição.

1. a) Calcule a probabilidade de os dois componentes extraídos serem atuadores.
2. b) Se sabemos que os dois componentes extraídos foram sensores de proximidade, qual é a probabilidade de serem provenientes da Caixa 1?

Uma empresa de desenvolvimento de software utiliza três servidores para alojar a sua API: o servidor $S_1$ gere $45\%$ do tráfego, o $S_2$ $35\%$ e o $S_3$ o restante. Devido à carga, o servidor $S_1$ falha (erro 500) em $2\%$ dos pedidos, $S_2$ em $3\%$ e $S_3$ em $5\%$.

1. a) Se um utilizador fizer um pedido, qual é a probabilidade de o servidor devolver um erro?
2. b) Se um pedido falhou, qual é a probabilidade de ter sido gerido pelo servidor $S_3$?

Um engenheiro de telecomunicações estima que a probabilidade de um pacote de dados se perder durante uma transmissão sem fios em condições de interferência é de $0,15$. É enviada uma rajada de $10$ pacotes de forma independente.

1. a) Qual é a probabilidade de se perderem exatamente $3$ pacotes?
2. b) Calcule a probabilidade de se perderem pelo menos $2$ pacotes.
3. c) Qual é o valor esperado do número de pacotes perdidos e o seu desvio padrão?

O tempo de compilação de um projeto complexo de engenharia segue uma distribuição normal com média de $120$ segundos e desvio padrão de $15$ segundos.

1. a) Calcule a probabilidade de o projeto ser compilado em menos de $100$ segundos.
2. b) Calcule a probabilidade de o tempo de compilação estar entre $110$ e $140$ segundos.
3. c) Que tempo de compilação é superado apenas por $5\%$ dos processos mais lentos?

Num exame de certificação técnica, as pontuações seguem uma distribuição $N(70, 12)$. A instituição decide conceder uma "Menção de Excelência" aos alunos que obtiverem uma nota situada no percentil $90$.

1. a) Qual é a nota mínima para obter essa menção?
2. b) Se $250$ alunos realizarem o exame, quantos se espera que obtenham a menção?
3. c) Se escolhermos dois alunos ao acaso, qual é a probabilidade de ambos obterem a menção?

Uma rede social deteta que $10\%$ das contas criadas são "bots". Se numa hora forem registadas $400$ contas novas:

1. a) Explique por que razão se pode aproximar o número de bots por meio de uma distribuição normal.
2. b) Calcule, realizando a aproximação à normal com correção de continuidade, a probabilidade de haver entre $35$ e $50$ bots (ambos inclusive).
3. c) Calcule a probabilidade de o número de bots ser superior a $45$.

Um centro de saúde rural do distrito de Bragança dispõe de um quadro de 11 profissionais de urgência entre pessoal médico de família e pessoal de enfermagem. Para organizar o piquete noturno do fim de semana, escolhe-se ao acaso uma equipa de piquete formada por 3 profissionais do total de 11.

Sabe-se com certeza que a probabilidade de a equipa de piquete ser composta por 2 médicos e 1 enfermeiro é exatamente o dobro da probabilidade de ser composta por 1 médico e 2 enfermeiros.

1. a) Se denotarmos por $m$ o número de médicos do quadro (com $2 \le m \le 9$), formula a equação combinatória que modela a condição dada a partir da regra de Laplace.
2. b) Resolve algebricamente essa equação para averiguar a composição exata do quadro (quantos médicos e quantos enfermeiros há no centro).
3. c) Com o quadro já determinado, calcula a probabilidade de o piquete noturno ser constituído exclusivamente por profissionais de um mesmo grupo profissional de saúde.

O sistema ordinário de matrícula de veículos da Dirección General de Tráfico (DGT) em Espanha atribui a cada automóvel um código composto por 4 dígitos (desde o 0000 até ao 9999) seguidos de um bloco de 3 letras consoantes do alfabeto espanhol, tendo-se excluído as 5 vogais (A, E, I, O, U) para evitar acrónimos e palavras desapropriadas, bem como as letras Ñ e Q por possíveis confusões visuais. Deste modo, dispõe-se de um conjunto de 20 consoantes admissíveis.

1. a) Modela a atribuição de matrículas e calcula quantos veículos diferentes podem ser matriculados no total. Justifica as técnicas de contagem aplicadas em cada bloco da matrícula.
2. b) Uma câmara de controlo de trânsito regista a matrícula de um infrator, mas a imagem está parcialmente desfocada: o agente verifica que o bloco numérico é uma capicua de quatro algarismos com o primeiro e o segundo algarismos distintos (por exemplo, 7337), e que as três letras são distintas entre si e surgem em estrita ordem alfabética ascendente (por exemplo, CFX). Quantas matrículas do parque teórico da DGT satisfazem este padrão?
3. c) Se for escolhido um veículo ao acaso de entre todos os possíveis do sistema, determina a probabilidade de a sua matrícula não conter nenhum dígito repetido e também não conter nenhuma consoante repetida. Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível e com quatro casas decimais.

Uma empresa de cibersegurança gera senhas de acesso mediante a permutação dos caracteres da palavra BLOCKCHAIN. Escolhe-se uma dessas senhas ao acaso.

1. a) Calcule a probabilidade de a senha escolhida começar e terminar por vogal.
2. b) Determine a probabilidade de todas as vogais aparecerem juntas na senha.
3. c) Se se sabe que a senha começa por B, qual é a probabilidade de a segunda letra ser um L?

Um servidor de armazenamento de dados recebe pedidos de três tipos de clientes: Bronze ($50\%$), Prata ($30\%$) e Ouro ($20\%$). Devido à saturação, o servidor pode rejeitar pedidos. Sabe-se que a probabilidade de um pedido ser rejeitado é de $10\%$ para clientes Bronze, de $5\%$ para clientes Prata e de $1\%$ para clientes Ouro.

1. a) Se for selecionado um pedido ao acaso e ele for rejeitado, qual é a probabilidade de ser proveniente de um cliente do tipo Bronze?
2. b) Após uma atualização do sistema, a probabilidade total de rejeição desceu para $4\%$. Se as probabilidades dos clientes Prata e Ouro se mantiverem iguais, qual é a nova probabilidade de rejeição para os clientes Bronze?

Dispõe-se de uma urna $A$ com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, e uma urna $B$ com 7 bolas brancas e 3 pretas. Lança-se um dado equilibrado: se sair um número menor ou igual a 2, extrai-se uma bola da urna $A$ e ela é introduzida na $B$, para depois extrair uma bola de $B$. Se sair um número maior que 2, extrai-se uma bola da urna $B$ e ela é introduzida na $A$, para depois extrair uma bola de $A$.

Calcule a probabilidade de a bola extraída em segundo lugar ser branca.

Um sistema de mira laser para cirurgia ocular tem um erro de desvio $X$, medido em micrómetros, que segue uma função densidade dada por:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{nos demais casos} \end{cases}$$

1. a) Determine o valor da constante $k$ para que $f(x)$ seja uma função densidade legítima.
2. b) Calcule a probabilidade de o desvio ser superior a 1 micrómetro.
3. c) Obtenha o valor médio do desvio. Qual é o significado desse valor no contexto da cirurgia?

Um sistema de comunicação por satélite transmite pacotes de dados. Cada pacote tem uma probabilidade $p = 0,002$ de se corromper durante a transmissão, de forma independente. Para assegurar a receção, envia-se um bloco de $2500$ pacotes.

1. a) Justifique por que razão se pode aproximar o número de pacotes corrompidos por uma distribuição normal.
2. b) Calcule a probabilidade de se corromperem entre 4 e 8 pacotes (ambos inclusive).
3. c) Se o sistema de correção de erros só pode reparar até 10 pacotes por bloco, qual é a probabilidade de o bloco ser irreparável?

O tempo de resposta de um sensor industrial segue uma distribuição normal $N(\mu, \sigma)$. Sabe-se que $15,87\%$ das respostas demoram mais de $82$ milissegundos, e que apenas $2,28\%$ das respostas são mais rápidas que $58$ milissegundos.

1. a) Calcule os parâmetros $\mu$ e $\sigma$ do tempo de resposta.
2. b) Se o fabricante garante que o sensor responde em menos de $85$ ms, qual a percentagem de sensores que não cumprirá a garantia?

Num teste de engenharia com 100 alunos, as notas seguem uma distribuição normal de média $6,2$ e desvio padrão $1,5$. O professor decide que $10\%$ dos alunos com melhores notas obterão a menção de "Excelente", enquanto aqueles cuja nota estiver abaixo de um desvio padrão da média ficarão reprovados.

1. a) Qual é a nota mínima para obter "Excelente"?
2. b) Quantos alunos se espera que sejam reprovados no teste?
3. c) Se escolhermos três alunos ao acaso, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ter nota superior a 7?

Um dispositivo eletrónico consiste em dois componentes críticos, $C_1$ e $C_2$, ligados em paralelo (o dispositivo funciona se pelo menos um dos dois funcionar). A probabilidade de $C_1$ falhar num ano é $0,15$, e a de $C_2$ falhar é $0,20$. No entanto, as falhas não são independentes: se $C_1$ falhar, a probabilidade de $C_2$ também falhar aumenta para $0,60$.

1. a) Calcule a probabilidade de o dispositivo falhar antes de um ano.
2. b) Os acontecimentos "Falha de $C_1$" e "Falha de $C_2$" são dependentes? Justifique a sua resposta com cálculos.
3. c) Se o dispositivo falhou, qual é a probabilidade de o componente $C_1$ ter falhado?

Numa auditoria técnica de cibersegurança analisam-se 18 servidores de dados pertencentes a uma entidade bancária. Foi detetado que 4 deles apresentam uma falha crítica de segurança sem correção aplicada, enquanto os restantes 14 são completamente seguros. A equipa auditora seleciona ao acaso uma amostra de 5 servidores para os submeter a um teste de penetração. Pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento $A$: «na amostra extraída há pelo menos dois servidores vulneráveis».

1. a) Desenvolve o cálculo de $P(A)$ através de dois caminhos analíticos distintos:

• Caminho 1 (Contagem direta): particionar os casos favoráveis segundo o número exato de servidores vulneráveis encontrados.

• Caminho 2 (Passagem ao acontecimento contrário): calcular a probabilidade do acontecimento complementar $A^c$.

Verifica que ambos os procedimentos conduzem à mesma fração irredutível.

1. b) Se a dimensão do lote aumentasse para 30 servidores e a amostra a extrair fosse de 10 servidores, analisa qual dos dois métodos oferece uma vantagem operacional real face a erros de cálculo e justifica-o com base na estrutura combinatória das partições.
2. c) Um assistente da equipa propõe calcular os casos favoráveis do acontecimento $A$ do seguinte modo: «Escolhemos primeiro 2 servidores vulneráveis de entre os 4 disponíveis de $\binom{4}{2}$ formas; depois, escolhemos os 3 servidores restantes de entre os 16 que sobram no lote de $\binom{16}{3}$ formas. Portanto, os casos favoráveis são $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demonstra analiticamente por que razão este raciocínio é erróneo e especifica se produz uma sobrestimação ou uma subestimação do número real de casos.

Para constituir um júri de exame de concurso público para docentes numa região, a administração convoca por sorteio rigoroso 5 vogais a partir de uma lista fechada de 30 candidatos qualificados, formada por 18 mulheres e 12 homens. A regulamentação da função pública exige o princípio de presença equilibrada: o júri não pode ter mais de $60\,\%$ de vogais do mesmo sexo (ou seja, o júri deve contar com pelo menos 2 mulheres e pelo menos 2 homens).

1. a) Modela a seleção do júri através de combinações e calcula a probabilidade de um júri extraído ao acaso cumprir diretamente a regulamentação de presença equilibrada.
2. b) Suponhamos que na lista de 30 pessoas figuram dois docentes concretos (um homem e uma mulher) que têm parentesco de primeiro grau, pelo que a lei do regime jurídico proíbe que ambos coincidam no mesmo júri. Se a administração descartar por sorteio prévio a possibilidade de ambos coincidirem, restringindo o espaço de resultados unicamente a júris onde não coincidam os dois familiares, determina se a probabilidade de o júri cumprir a paridade aumenta ou diminui em relação à obtida na alínea a). Justifica quantitativamente a tua conclusão.
3. c) Propõe-se como alternativa modificar o procedimento de sorteio: em vez de um único sorteio de 5 pessoas sobre os 30 candidatos, realizar duas urnas separadas (uma para mulheres e outra para homens) e sortear aleatoriamente 3 mulheres e 2 homens com probabilidade $0,5$, ou 2 mulheres e 3 homens com probabilidade $0,5$. Justifica matematicamente se este novo mecanismo mantém ou altera a probabilidade individual de cada docente ser selecionado em relação ao sorteio equiprovável original.