Exercícios: Probabilidade total e teorema de Bayes

Em uma escola, os alunos do 2º ano do Ensino Médio podem escolher entre duas plataformas para realizar seus trabalhos na nuvem: $65\%$ utiliza Google Workspace e o restante utiliza Microsoft 365. Sabe-se que $20\%$ dos usuários do Google utiliza ferramentas de Inteligência Artificial para redigir rascunhos, enquanto no Microsoft esse valor é de $15\%$.

Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso utilizar Inteligência Artificial para os seus rascunhos.

Uma rede de supermercados vende iogurtes de dois fornecedores distintos. $40\%$ provém do Fornecedor A e $60\%$ do Fornecedor B. O controlo de qualidade indica que $5\%$ dos iogurtes do Fornecedor A apresentam defeitos de embalagem, enquanto no Fornecedor B esse defeito aparece apenas em $2\%$ dos casos.

Se comprarmos um iogurte e verificarmos que tem um defeito de embalagem, qual é a probabilidade de proceder do Fornecedor A?

Um criador de conteúdos do TikTok observa que os seus vídeos curtos são visualizados de duas formas: por meio do Algoritmo de recomendações ($80\%$ das vezes) ou por meio de Pesquisa direta ($20\%$). A probabilidade de um utilizador gostar do vídeo é de $0,10$ se o vídeo chegar por recomendação, e de $0,30$ se o utilizador o tiver procurado diretamente.

Determina a probabilidade de um utilizador qualquer que visualize o vídeo gostar dele.

Num torneio de eSports, um jogador chega à final. Ele pode escolher entre duas estratégias: Ofensiva (escolhe-a $70\%$ das vezes) ou Defensiva ($30\%$). Se jogar de forma ofensiva, ganha a partida com uma probabilidade de $0,6$, enquanto se jogar de forma defensiva, a sua probabilidade de vitória é de $0,4$.

Sabendo que o jogador ganhou a partida, calcule a probabilidade de ele ter utilizado uma estratégia defensiva.

Um serviço de entregas utiliza três rotas para distribuir encomendas numa cidade: Rota Norte ($50\%$), Rota Sul ($30\%$) e Rota Centro ($20\%$). Os atrasos na entrega ocorrem $2\%$ das vezes na rota Norte, $4\%$ na Sul e $10\%$ na rota Centro.

Determine a percentagem total de pacotes que são entregues com atraso nesta cidade.

Realiza-se um estudo sobre uma nova aplicação de treino físico. Estima-se que $1\%$ dos adolescentes de uma cidade a utilize. A aplicação tem uma função de "desafio diário" que é concluída com sucesso $95\%$ das vezes se o utilizador for constante, mas se não for ($99\%$ da população não usa a aplicação), a probabilidade de concluir um desafio semelhante por acaso é de apenas $0,05$.

Se selecionarmos um jovem ao acaso e virmos que concluiu o desafio com sucesso, qual é a probabilidade de que seja um utilizador constante da aplicação?

Numa empresa de design, $60\%$ dos funcionários são Designers Seniores e $40\%$ são Juniores. Na última campanha publicitária, $90\%$ dos Seniores utilizaram software de design vetorial, enquanto entre os Juniores apenas $70\%$ o fez.

Se escolhermos um funcionário ao acaso, calcule a probabilidade de que não tenha utilizado software de design vetorial.

Um stand de automóveis elétricos vende três modelos: Compacto ($40\,\%$), Berlina ($35\,\%$) e SUV ($25\,\%$). Observou-se que precisam de uma revisão de software no primeiro mês $3\,\%$ dos Compactos, $2\,\%$ das Berlinas e $5\,\%$ dos SUV. A figura mostra o diagrama de árvore da situação.

Se um cliente telefona porque o seu carro precisou de uma revisão de software no primeiro mês, qual é o modelo que é mais provável que tenha comprado? Justifica a resposta calculando as probabilidades correspondentes.

O Marcos está a resolver um problema de controlo de qualidade para uma cooperativa de olivicultores de Évora. O fornecimento de azeitona provém de duas herdades: a herdade $F_1$ fornece $60\,\%$ da colheita e a herdade $F_2$ $40\,\%$. A percentagem de azeitona não apta para produzir azeite virgem extra é de $5\,\%$ na herdade $F_1$ e de $10\,\%$ na herdade $F_2$. O enunciado pede para calcular a probabilidade de uma azeitona não apta proceder da herdade $F_1$. O Marcos escreve no seu exame:

«$P(F_1 | \text{Não apta}) = P(F_1) \cdot P(\text{Não apta} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Portanto, há $3\,\%$ de probabilidade de vir da herdade $F_1$. Faz sentido porque é um número menor do que $1$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente os dois erros conceptuais que o Marcos cometeu (um relacionado com a confusão entre interseção e probabilidade condicionada, e outro com o Teorema de Bayes).
2. b) Corrige o exercício calculando de forma rigorosa a probabilidade pedida.

Segundo os relatórios de mobilidade de passageiros num corredor ferroviário de Portugal, $50\,\%$ dos utilizadores viaja em serviços Alfa Pendular/Intercidades, $30\,\%$ em Regional e os $20\,\%$ restantes em Urbanos/Suburbanos. Os registos de pontualidade indicam que a probabilidade de sofrer um atraso superior a $15$ minutos é de $2\,\%$ no Alfa Pendular/Intercidades, de $6\,\%$ no Regional e de $10\,\%$ nos Urbanos/Suburbanos.

1. a) Justifica que os tipos de comboio formam um sistema completo de acontecimentos e define com clareza os acontecimentos que intervêm.
2. b) Calcula a probabilidade de um passageiro escolhido ao acaso nesse corredor chegar ao seu destino com mais de $15$ minutos de atraso.
3. c) Se um passageiro selecionado ao acaso sofreu um atraso superior a $15$ minutos, calcula a probabilidade de a sua viagem ter sido em Alfa Pendular/Intercidades. Comenta o resultado: por que razão esta probabilidade é relativamente baixa apesar de metade dos bilhetes vendidos corresponderem a esse serviço?

Num centro de alto rendimento para e-sports, os jogadores treinam em três plataformas distintas: PC, consola e dispositivos móveis. $50\ \%$ dos jogadores usa PC, $30\ \%$ usa consola e o restante, dispositivos móveis. Observou-se que o rendimento diminui por fadiga visual em $8\ \%$ dos jogadores de PC, em $5\ \%$ dos de consola e em $12\ \%$ dos que usam telemóveis.

1. a) Calcule a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso apresentar fadiga visual.

1. b) Se selecionarmos um jogador e verificarmos que sofre de fadiga visual, qual é a probabilidade de treinar habitualmente com um dispositivo móvel?

Uma empresa de cibersegurança analisa o tráfego de e-mail de uma startup tecnológica. $70\ \%$ dos e-mails recebidos são internos, $20\ \%$ provêm de clientes conhecidos e o $10\ \%$ restante são e-mails externos de origem desconhecida. O filtro de segurança marca como "suspeito" $1\ \%$ dos e-mails internos, $4\ \%$ dos e-mails de clientes e $25\ \%$ dos e-mails desconhecidos.

1. a) Determine a probabilidade de um e-mail escolhido ao acaso ser marcado como suspeito pelo sistema.

1. b) Se um funcionário receber uma notificação de e-mail suspeito, qual é a probabilidade de o e-mail ser realmente de origem desconhecida?

Numa fábrica de montagem de baterias para carros elétricos, utilizam-se duas linhas de produção, $L_1$ e $L_2$. A linha $L_1$ produz $60\ \%$ das baterias e a $L_2$, o restante. Sabe-se que $2\ \%$ das baterias de $L_1$ apresentam defeitos na selagem, enquanto na $L_2$ este defeito aparece em $5\ \%$ das unidades.

1. a) Se for escolhida uma bateria ao acaso da produção total, qual é a probabilidade de não ser defeituosa?

1. b) Se, ao realizar um controlo de qualidade, for detetada uma bateria defeituosa, qual linha tem maior probabilidade de a ter fabricado? Justifica a tua resposta calculando ambas as probabilidades a posteriori.

Um estudo sobre mobilidade sustentável numa cidade indica que $45\ \%$ dos trajetos são realizados em transporte público, $35\ \%$ em bicicleta ou trotinete elétrica e $20\ \%$ em carro particular. Estima-se que a probabilidade de chegar atrasado ao trabalho seja de 0,15 se for usado transporte público, de 0,05 se for usada bicicleta/trotinete e de 0,30 se for usado carro particular (devido aos engarrafamentos).

1. a) Calcule a probabilidade de um cidadão escolhido ao acaso chegar pontual ao seu local de trabalho.

1. b) Sabendo que um trabalhador chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter viajado no seu carro particular?

Um laboratório farmacêutico desenvolve um teste rápido para detetar uma deficiência vitamínica que afeta $5\ \%$ da população jovem. Os ensaios clínicos mostram que o teste dá positivo em $96\ \%$ das pessoas que realmente têm a deficiência. No entanto, também dá um "falso positivo" em $2\ \%$ das pessoas saudáveis.

1. a) Qual é a percentagem da população total que dará positivo no teste?

1. b) Se um jovem realizar o teste e o resultado for positivo, qual é a probabilidade real de ele sofrer de tal deficiência vitamínica? Comente se o resultado lhe parece alto ou baixo em relação à fiabilidade do teste.

Em uma disciplina do 2º ano do Ensino Médio, os alunos podem optar por realizar um projeto final de três temáticas: Robótica, Programação ou Energias Renováveis. $25\ \%$ escolhe Robótica, $40\ \%$ Programação e $35\ \%$ Energias Renováveis. A probabilidade de obter a nota Excelente é de 0,20 em Robótica, 0,15 em Programação e 0,10 em Energias Renováveis.

1. a) Determine a probabilidade de um aluno da turma, escolhido ao acaso, não obter a nota Excelente.

1. b) Sabendo que um aluno obteve a nota Excelente, qual é a probabilidade de o seu projeto ter sido sobre Robótica?

Um serviço de streaming de música classifica os seus utilizadores em três categorias: "Free" (com anúncios), "Premium" e "Family". $60\ \%$ são utilizadores Free, $30\ \%$ Premium e $10\ \%$ Family. Sabe-se que $80\ \%$ dos utilizadores Free ouvem mais de 2 horas diárias, enquanto essa percentagem é de $90\ \%$ para os Premium e de $95\ \%$ para os Family.

1. a) Escolhido um utilizador ao acaso, qual é a probabilidade de ele ouvir música 2 horas ou menos por dia?

1. b) Se selecionarmos um utilizador que ouve mais de 2 horas diárias de música, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade "Premium"?

Num exame de acesso ao ensino superior, um estudante depara-se com uma questão de escolha múltipla com 4 respostas possíveis, das quais apenas uma é verdadeira. A probabilidade de o estudante saber a resposta correta é de 0,6. Se souber, responde corretamente com certeza. Se não souber, escolhe uma das 4 opções ao acaso.

1. a) Qual é a probabilidade de o estudante responder corretamente à questão?

1. b) Se o professor classificador observar que a resposta assinalada é a correta, qual é a probabilidade de o estudante realmente saber a matéria e não ter respondido ao acaso?

Numa campanha preventiva de trânsito da GNR em vias interurbanas, estima-se que $1\,\%$ dos condutores circula tendo consumido substâncias não permitidas ($S$). O teste preliminar de saliva utilizado nas operações de fiscalização tem uma sensibilidade de $98\,\%$ (se um condutor consumiu, dá positivo com probabilidade $0{,}98$), mas apresenta uma taxa de falsos positivos de $4\,\%$ (em condutores que não consumiram, o teste dá positivo por erro com probabilidade $0{,}04$).

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico: se um condutor der positivo na fiscalização, estima de forma intuitiva e fundamenta brevemente se a probabilidade de ter realmente consumido estará mais próxima de $90\,\%$, de $50\,\%$ ou abaixo de $25\,\%$.
2. b) Aplica o Teorema de Bayes para calcular com rigor $P(S | \text{Positivo})$.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa da alínea a). Explica que fenómeno probabilístico provoca este resultado e por que motivo a regulamentação exige o envio de uma segunda amostra para um laboratório toxicológico antes de processar a sanção.

Um centro logístico de encomendas situado na Margem Sul do Tejo distribui os seus envios através de duas linhas automatizadas de triagem, $L_1$ e $L_2$. A linha $L_1$ assume uma proporção $p$ do volume total de encomendas ($0 < p < 1$), enquanto a linha $L_2$ classifica a fração restante ($1-p$). Devido ao desgaste mecânico, a linha $L_1$ danifica $1\,\%$ das encomendas que processa, enquanto a linha $L_2$, de tecnologia mais antiga, danifica $4\,\%$.

1. a) Exprime em função de $p$ a probabilidade de uma encomenda selecionada ao acaso no final do processo estar danificada, $P(D)$.
2. b) A direção técnica estabelece que, para não sobrecarregar o departamento de peritagem da linha $L_1$, de todas as encomendas que se detetem danificadas, no máximo $20\,\%$ devem proceder dessa linha ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Apresenta a inequação correspondente e determina que percentagem mínima do tráfego total de encomendas deve ser atribuída à linha $L_2$ para satisfazer este critério de qualidade.

Uma empresa de cibersegurança utiliza três sistemas de inteligência artificial ($S_1$, $S_2$ e $S_3$) para detetar tentativas de acesso não autorizado numa rede empresarial. O sistema $S_1$ gere $45 \%$ dos alertas, o $S_2$ $35 \%$ e o $S_3$ o resto.

Sabe-se por auditorias prévias que, entre os alertas emitidos por cada sistema, são falsos alarmes (dá-se como ataque um acesso legítimo) $2 \%$ dos de $S_1$, $5 \%$ dos de $S_2$ e $8 \%$ dos de $S_3$. O resto dos alertas de cada sistema correspondem a ataques reais. Por outro lado, a probabilidade de um sistema ignorar um ataque real (falso negativo) é de $1 \%$ em todos os casos; é um dado de que não vais precisar para este problema.

Num determinado momento, dispara um alerta no painel de controlo a indicar um ataque.

1. a) Representa a situação através de um diagrama em árvore, detalhando as probabilidades de cada ramo.

1. b) Calcula a probabilidade de o alerta emitido ser realmente um falso alarme.

1. c) Se se confirmar que o alerta era um falso alarme, qual é a probabilidade de ter sido gerado pelo sistema $S_3$?

Uma linha de montagem automatizada produz drones de corrida. A fábrica utiliza dois tipos de motores: o motor Alpha, que é instalado em $60 \%$ dos drones, e o motor Beta, que é instalado nos restantes. Devido à elevada precisão exigida, alguns motores apresentam falhas de calibração.

Sabe-se que $5 \%$ dos motores Alpha são defeituosos. Após a realização de um teste de qualidade no final da linha, observa-se que a probabilidade total de encontrar um drone com motor defeituoso é de $4,4 \%$.

1. a) Calcule a probabilidade de um motor ser defeituoso sabendo que é do tipo Beta.
2. b) Escolhe-se um drone ao acaso e o teste de qualidade indica que o motor funciona corretamente. Qual é a probabilidade de o drone possuir um motor Alpha?

Num centro de alto rendimento desportivo, os atletas são submetidos a um controlo de dopagem. $1 \%$ dos atletas consome uma substância proibida. O teste utilizado tem uma fiabilidade de $98 \%$ (probabilidade de dar positivo se a substância tiver sido consumida). No entanto, o teste também produz $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo em atletas que não consumiram nada).

1. a) Se um atleta testar positivo no controlo, qual é a probabilidade de realmente ter consumido a substância?
2. b) O comité decide realizar um segundo teste independente ao mesmo atleta se o primeiro der positivo. Se este segundo teste (com a mesma fiabilidade) também resultar positivo, qual é a probabilidade agora de o atleta ser culpado? Justifique se a confiança no veredito aumentou significativamente.

Um estudo sobre o consumo de conteúdo em streaming revela que $70 \%$ dos jovens de uma cidade estão subscritos na Plataforma A, $40 \%$ na Plataforma B e $20 \%$ em ambas. Escolhe-se um jovem ao acaso.

1. a) Sabendo que está subscrito na Plataforma B, qual é a probabilidade de também o estar na Plataforma A? Os acontecimentos "Estar subscrito em A" e "Estar subscrito em B" são independentes?

1. b) Sabe-se que $15 \%$ dos utilizadores apenas da Plataforma A preferem os documentários, $25 \%$ dos utilizadores apenas da Plataforma B também os preferem, e entre os que estão em ambas as plataformas, essa preferência sobe para $50 \%$. Entre os jovens que não estão subscritos em nenhuma das duas plataformas, $10 \%$ preferem os documentários. Se um jovem escolhido ao acaso prefere os documentários, qual é a probabilidade de estar subscrito em ambas as plataformas?

Num laboratório de biotecnologia, manipulam-se três tipos de bactérias: $T_1$, $T_2$ e $T_3$. Há um recipiente que contém 100 amostras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ e 50 de $T_3$. A probabilidade de uma amostra desenvolver resistência antibiótica em 24 horas é de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ e um valor desconhecido $p$ para $T_3$.

Retira-se uma amostra ao acaso e observa-se que desenvolveu resistência após 24 horas. Sabendo que a probabilidade de tal amostra ser do tipo $T_2$ é de $0,375$:

1. a) Determine o valor da probabilidade $p$ associada às bactérias do tipo $T_3$.
2. b) Com o valor de $p$ obtido, calcule a probabilidade de, ao escolher uma amostra ao acaso, ela não desenvolver resistência.

Um canal de notícias utiliza três fontes distintas para obter informações: Agências ($A$), Correspondentes ($C$) e Redes Sociais ($R$). $50 \%$ das notícias provêm de $A$, $30 \%$ de $C$ e o restante de $R$.

A probabilidade de uma notícia ser falsa (fake news) é de $0,01$ se provier de $A$ e de $0,05$ se provier de $C$. Foi detetado que, se for escolhida uma notícia ao acaso e ela for falsa, a probabilidade de proceder das Redes Sociais é de $0,75$.

1. a) Calcule a probabilidade de uma notícia proveniente das Redes Sociais ser falsa.
2. b) Calcule a probabilidade total de uma notícia escolhida ao acaso neste canal ser verídica.

Três máquinas, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, fabricam peças de precisão. $M_1$ produz o dobro de peças que $M_2$, e $M_3$ produz o mesmo número que $M_1$ e $M_2$ juntas. A percentagem de peças defeituosas é de $2 \%$ para $M_1$ e de $4 \%$ para $M_2$.

Sabe-se que, ao retirar uma peça ao acaso da produção total, a probabilidade de ser defeituosa é de $2,5 \%$.

1. a) Calcule a percentagem de peças defeituosas que a máquina $M_3$ produz.
2. b) Se retirarmos uma peça e verificarmos que é defeituosa, qual é a máquina que tem maior probabilidade de a ter fabricado?

Num concurso público, o programa é constituído por 80 temas. O júri sorteia dois temas ao acaso (sem reposição) e o candidato deve escolher um deles para desenvolver. Um candidato preparou apenas 45 temas.

1. a) Qual é a probabilidade de o candidato poder escolher pelo menos um tema que estudou?
2. b) Suponhamos que o candidato é aprovado se o tema escolhido for um dos que preparou. Sabendo que o candidato foi reprovado porque não pôde escolher nenhum dos temas sorteados, qual é a probabilidade de que, se a prova tivesse consistido no sorteio de três temas em vez de dois, ele tivesse tido a oportunidade de escolher pelo menos um? Justifique matematicamente se a probabilidade de ser aprovado aumentaria significativamente.

Num programa de saúde pública do Serviço Nacional de Saúde (SNS) para a deteção precoce do cancro colorretal em pessoas com idades compreendidas entre os $50$ e os $69$ anos, a prevalência da doença nesse grupo demográfico é de $0{,}5\,\%$. O teste de sangue oculto nas fezes utilizado tem uma sensibilidade de $80\,\%$ (dá positivo em $80\,\%$ das pessoas doentes) e uma taxa de falsos positivos de $3\,\%$ (dá positivo em $3\,\%$ das pessoas saudáveis). Um utente dá positivo no rastreio e pretende-se calcular a probabilidade de que realmente padeça da doença, $P(E | +)$.

1. a) Método 1 (Álgebra de acontecimentos): Modela formalmente o sistema completo de acontecimentos, as probabilidades a priori, as verosimilhanças e determina $P(E | +)$ aplicando o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes.
2. b) Método 2 (Frequências naturais): Modela a situação a partir de uma coorte hipotética de $100\,000$ pessoas. Constrói uma tabela de contingência $2 \times 2$ com os números inteiros de indivíduos saudáveis/doentes e positivos/negativos, e deduz diretamente a partir dela o valor de $P(E | +)$.
3. c) Avaliação crítica: Compara ambos os métodos e justifica fundamentadamente por que motivo diversas investigações em psicologia cognitiva e educação matemática defendem que o Método 2 se revela muito mais transparente e reduz o enviesamento cognitivo de diagnóstico face à formulação algébrica abstrata do Método 1.

O departamento de auditoria informática de uma entidade bancária portuguesa supervisiona as transferências internacionais para prevenir a fraude. As operações têm origem através de três canais: Canal SEPA/UE ($70\,\%$ do volume total), Canal Internacional Ordinário ($20\,\%$) e Canal Internacional de Alto Risco ($10\,\%$). Por registos históricos, sabe-se que a probabilidade de uma transferência ser fraudulenta ($F$) é de $0{,}1\,\%$ no canal SEPA, de $0{,}5\,\%$ no Internacional Ordinário e de um valor desconhecido $k$ ($0 < k \le 1$) no de Alto Risco.

1. a) Se a probabilidade global de uma transferência escolhida ao acaso no banco ser fraudulenta é exatamente de $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$), calcula o valor do parâmetro $k$ através do teorema da probabilidade total.
2. b) Se o sistema de segurança intercetar uma transferência e se comprovar que é fraudulenta, determina através do Teorema de Bayes de que canal é mais provável que provenha.
3. c) Justifica a seguinte questão teórica: Supõe que se mantêm inalteradas as taxas de fraude intrínsecas de cada canal (as percentagens condicionadas $P(F|\text{canal})$ do enunciado). Seria possível modificar unicamente a repartição do volume de operações entre os três canais de modo que, perante uma transferência que sabemos ser fraudulenta, seja mais provável que proceda do Canal SEPA do que dos outros dois juntos ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Justifica a tua resposta deduzindo que condição algébrica deveriam cumprir as novas quotas de mercado dos canais.