Exercícios: Experimentos aleatórios

Classifique as seguintes experiências como determinísticas ou aleatórias, justificando brevemente a sua resposta em cada caso:

1. a) Largar um smartphone de uma altura de um metro e observar se cai ao chão.
2. b) Abrir uma lista de reprodução no modo aleatório e anotar qual é a primeira canção que toca.
3. c) Calcular o tempo que um carro demora a percorrer $200$ km se circular a uma velocidade constante de $100$ km/h.
4. d) Perguntar à primeira pessoa que encontrar na rua em que mês nasceu.
5. e) Retirar uma carta de um baralho de $40$ cartas e observar o seu naipe.

Um estudante tem no seu estojo três canetas de cores diferentes: Azul (A), Preto (N) e Vermelho (R). Decide retirar duas canetas de forma consecutiva e sem repor a primeira no estojo.

1. a) Escreva o espaço de resultados $E$ desta experiência.
2. b) Indique quantos acontecimentos elementares formam esse espaço de resultados.
3. c) Defina o acontecimento composto $S = \text{"retirar a caneta azul em qualquer posição"}$.

Considera-se a experiência aleatória que consiste em lançar um dado tetraédrico (4 faces) com as faces numeradas de $1$ a $4$, e uma moeda de $1$ euro. Anota-se o número da face inferior do dado e se a moeda mostra cara $(C)$ ou coroa $(X)$.

1. a) Utilize um diagrama em árvore para representar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço de resultados $E$.
3. c) Determine os elementos do acontecimento $A = \text{"obter um número par no dado e cara na moeda"}$.

Numa turma do 12.º ano, analisam-se as subscrições de plataformas de streaming. Chamamos $A$ ao acontecimento "ser subscritor da Netflix" e $B$ ao acontecimento "ser subscritor do Spotify". Expressa por palavras o significado dos seguintes acontecimentos relacionados com as operações com conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (ou evento complementar de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Um jogo eletrónico de RPG permite criar uma personagem escolhendo entre duas fações: Guerreiro (G) ou Mago (M). Além disso, a personagem pode ser de três raças: Humano (H), Elfo (E) ou Anão (D).

Escolhe-se uma personagem ao acaso do servidor de jogo.

1. a) Escreva o espaço de resultados $E$ utilizando a nomenclatura das iniciais (por exemplo, $GH$ para Guerreiro Humano).
2. b) Descreva o acontecimento $S = \text{"o personagem não é um Mago"}$.
3. c) Se chamarmos $A$ ao acontecimento $\text{"o personagem é um Elfo"}$, indique quais os elementos que compõem o acontecimento contrário $\bar{A}$.

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Dados os acontecimentos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, determine os seguintes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifique se se cumpre a Primeira Lei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Observa o seguinte diagrama de Venn que representa a distribuição de alunos que praticam Basquetebol ($B$) e Futebol ($F$) num centro desportivo municipal.

A partir do gráfico, define mediante operações de acontecimentos as seguintes regiões:

1. a) Alunos que praticam ambos os desportos.
2. b) Alunos que praticam basquetebol, mas não futebol.
3. c) Alunos que praticam pelo menos um dos dois desportos.
4. d) Alunos que não praticam nenhum dos dois desportos mencionados.

Retiramos uma bola de uma urna que contém $5$ bolas numeradas de $1$ a $5$. Indique se os seguintes acontecimentos são possíveis, certos ou impossíveis:

1. a) $A = \text{"obter um número maior que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obter o número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obter um número par"}$.
4. d) $D = \text{"obter um número menor ou igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obter um número negativo"}$.

Hugo, estudante do 2.º ano de Bacharelato, analisa o controlo de qualidade de componentes eletrónicos numa fábrica do setor automóvel em Navarra. Para cada componente selecionado ao acaso, define os acontecimentos $A$: «o componente apresenta defeito elétrico» e $B$: «o componente apresenta defeito mecânico». Ao redigir o relatório técnico, Hugo afirma: «O acontecimento consistente em um componente não apresentar nenhum dos dois defeitos exprime-se formalmente como $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Encontra o erro conceptual cometido por Hugo e explica com precisão que tipo de componentes estão realmente representados pela reunião $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corrige a sua proposta escrevendo de forma matematicamente rigorosa o acontecimento «o componente não apresenta nenhum dos dois defeitos» de duas formas equivalentes: primeiro como uma interseção de acontecimentos e depois aplicando as Leis de De Morgan a partir de uma reunião.

Num estudo sobre a pontualidade do transporte público da Comunidade de Madrid, analisa-se a linha C-4 de Cercanías entre as estações de Cantoblanco Universidad e Nuevos Ministerios. Considera as seguintes três situações associadas a um trajeto:\n1. Medir a distância exata em quilómetros do traçado ferroviário entre ambas as estações.\n2. Registar se um comboio programado para as $14{,}15\text{ h}$ chega ao seu destino com um atraso superior a $3$ minutos relativamente ao horário oficial.\n3. Calcular o tempo exato que demorará um comboio sabendo de antemão que circulará a uma velocidade constante fixada de forma automática por computador de $60\text{ km/h}$ sobre um troço retilíneo de $15\text{ km}$.\na) Classifica fundamentadamente cada uma das três situações como experiência determinista ou aleatória.\nb) Para a situação 2, descreve formalmente o seu espaço amostral $E_1$. Se se observar o comboio durante dois dias úteis consecutivos anotando se sofre atraso superior a $3$ minutos ($R$) ou se chega a horas ($P$), escreve o espaço amostral composto $E_2$ e enumera os acontecimentos elementares que formam o acontecimento $S$: «o comboio sofre atraso no máximo num dos dois dias».

Numa experiência aleatória, o espaço de resultados é formado por um conjunto de números inteiros positivos $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Definem-se três acontecimentos $A$, $B$ e $C$ sobre os quais se conhece a seguinte informação:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ é um acontecimento incompatível com $A$ ($A \cap C = \emptyset$), mas compatível com $B$, verificando-se que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. O número de acontecimentos elementares que formam $C$ é igual a $3$.\na) Reconstrói fundamentadamente os conjuntos que definem os acontecimentos $A$, $B$, $C$ e o espaço de resultados completo $E$, determinando o valor do cardinal $n$.\nb) Exprime mediante operações formais entre conjuntos (reuniões, interseções ou complementares) e escreve explicitamente os elementos do acontecimento: «ocorre exatamente um dos três acontecimentos ($A$, $B$ ou $C$)».

Uma equipa de analistas de dados de uma plataforma de comércio eletrónico com sede em Espanha classifica cada reclamação segundo dois fatores: o canal de entrada (Telefone, Web, App móvel) e o departamento de resolução atribuído (Logística, Faturação, Garantias, Apoio ao cliente). A experiência aleatória consiste em registar ambos os fatores para a próxima reclamação recebida.\na) Sem escrever a lista detalhada de casos, faz uma estimativa intuitiva de quantos resultados elementares compõem o espaço de resultados $E$ e quantos acontecimentos distintos no total (subconjuntos de $E$) se podem definir teoricamente nesta experiência. Verifica as tuas estimativas calculando o cardinal de $E$ através do princípio multiplicativo e o cardinal do conjunto das partes $\mathcal{P}(E)$. Comenta se a magnitude do número total de acontecimentos corresponde à tua intuição inicial.\nb) Definem-se os acontecimentos $A$: «a reclamação não entra pela App móvel» e $B$: «a reclamação é atribuída a Logística ou Faturação». Descreve com precisão o significado verbal do acontecimento $\overline{A \cup B}$, transforma-o aplicando as Leis de De Morgan e determina quantos acontecimentos elementares o compõem.\nc) Justifica analiticamente se os acontecimentos $A$ e $\overline{B}$ são compatíveis ou incompatíveis.

Num ambiente de desenvolvimento de aplicações móveis, um programador está a testar a segurança de um sistema de acesso. Define-se uma experiência aleatória que consiste em gerar uma chave aleatória de 4 dígitos usando unicamente os números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Consideram-se os seguintes acontecimentos:

• $A$: "A chave contém pelo menos dois dígitos iguais consecutivos".

• $B$: "A soma dos dígitos da chave é um número primo maior que 15".

• $C$: "A chave é capicua (lê-se igual da esquerda para a direita e da direita para a esquerda)".

Descreve detalhadamente o espaço de resultados $E$ indicando o seu cardinal e utiliza a álgebra de acontecimentos para expressar simbolicamente os seguintes acontecimentos:

1. a) A chave não é capicua ou a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. b) A chave é capicua e tem pelo menos dois dígitos iguais consecutivos, mas a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. c) Demonstra se os acontecimentos $A$ e $C$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando a tua resposta com um exemplo de um elemento do espaço de resultados.

Um satélite de comunicações envia rajadas de dados compostas por sequências binárias de comprimento $n=3$. Devido ao ruído cósmico, cada bit tem uma probabilidade de ser alterado. Definimos o espaço de resultados $E$ como o conjunto de todas as ternas binárias possíveis. Sejam os acontecimentos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando as Leis de De Morgan, simplifique ao máximo a expressão do acontecimento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Uma vez simplificado, descreva por palavras que característica comum têm as sequências que formam esse acontecimento $S$ em relação ao número de "uns" presentes na rajada.

Num laboratório de genética, estuda-se a mutação de uma cadeia de ADN representada por quatro bases nitrogenadas consecutivas $\{A, C, G, T\}$. A experiência consiste em observar uma cadeia de 3 posições. Consideram-se os acontecimentos:

• $M$: "A cadeia contém pelo menos uma base $G$".

• $N$: "A cadeia começa por $A$ ou termina por $T$".

Determine o número de elementos dos seguintes acontecimentos utilizando técnicas de contagem:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Explique fundamentadamente se o conjunto de acontecimentos $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ forma uma partição do espaço de resultados $E$.

Consideremos uma experiência aleatória cujo espaço de resultados é o conjunto dos números inteiros positivos, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Definimos os acontecimentos:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ é múltiplo de } k\}$ para cada $k \in \{2, 3, 5\}$.

Expressa em função de $A_2$, $A_3$ e $A_5$ os seguintes acontecimentos e determina os seus cinco elementos mais pequenos:

1. a) "O número é múltiplo de 2 e de 3, mas não de 5".

1. b) "O número é múltiplo de apenas um dos três valores $\{2, 3, 5\}$".

1. c) "O número não é múltiplo de nenhum dos três valores".

Um sistema robótico de triagem de encomendas comete erros de forma aleatória. Ao analisar o histórico de 1000 encomendas, definem-se os acontecimentos:

• $A$: "A encomenda tem um peso incorreto".

• $B$: "A encomenda tem um código de barras ilegível".

• $C$: "A encomenda foi enviada para uma rota errada".

Sabe-se que nenhuma encomenda apresenta os três erros simultaneamente ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Se designarmos por $n(X)$ o número de encomendas no acontecimento $X$, tem-se:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ e $n(B \cap C) = 5$.

Calcule o número de elementos dos seguintes acontecimentos e exprima-os mediante operações com conjuntos:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Realiza-se uma experiência aleatória que consiste em lançar um dardo a um alvo circular de raio $R$. O resultado da experiência é a distância $d$ do centro do alvo até ao ponto de impacto. Definem-se os acontecimentos:

• $S_1$: "O dardo acerta a uma distância $d < \frac{R}{3}$".

• $S_2$: "O dardo acerta a uma distância $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$".

Utilizando a notação de intervalos para o valor de $d$:

1. Defina o espaço de resultados $E$.

2. Determine os intervalos correspondentes aos acontecimentos $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ e $S_1 - S_2$.

3. Encontre o acontecimento contrário de $S_1 \cup S_2$ e explique o seu significado físico no contexto do jogo.

Sejam $A, B$ e $C$ três acontecimentos quaisquer de uma experiência aleatória. Demonstre formalmente, utilizando as propriedades da álgebra dos acontecimentos (distributiva, complementaridade, etc.), a seguinte identidade:

Explique que nome essa operação recebe na teoria dos conjuntos e represente o acontecimento resultante mediante um diagrama de Venn sombreado.

Num torneio de e-sports, três jogadores ($P_1, P_2, P_3$) defrontam-se em partidas eliminatórias "1 vs 1". A experiência consiste em registar o vencedor de cada partida até que um jogador vença duas partidas consecutivas ou tenham sido jogadas no máximo 4 partidas.

1. Desenhe o diagrama de árvore que representa esta experiência aleatória, sabendo que na primeira partida jogam $P_1$ contra $P_2$, e o perdedor é substituído pelo jogador que esperava ($P_3$).

2. Escreva explicitamente todos os elementos do espaço de resultados $E$.

3. Defina o acontecimento $X$: "O jogador $P_3$ joga pelo menos duas partidas" e o acontecimento $Y$: "O torneio termina na terceira partida". $X$ e $Y$ são acontecimentos incompatíveis? Justifique analisando a sua interseção.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Num novo jogo de tabuleiro estratégico, um jogador deve lançar um dado tetraédrico (faces numeradas de $1$ a $4$) e, simultaneamente, retirar uma carta de um baralho reduzido que contém apenas os quatro ases e os quatro reis do baralho espanhol.

Considerando a experiência aleatória de registar o número do dado e o valor da carta (Ás ou Rei):

1. a) Descreva o espaço de resultados $E$ da experiência.
2. b) Sejam os acontecimentos:

$A$ = "Obter um número par no dado".

$B$ = "Obter um Ás de qualquer naipe".

$C$ = "Obter um número menor que $3$ no dado e que a carta seja um Rei".

Determine os elementos que compõem os acontecimentos $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Uma empresa de cibersegurança analisa as tentativas de acesso a um servidor. Considera o espaço de resultados $\Omega$ formado por todos os acessos possíveis, que, segundo o seu estado, se classificam em: $L$ (Legítimo), $S$ (Suspeito) e $M$ (Malicioso). Sabe-se que um sistema de filtragem automática classifica os acessos em duas categorias: $F$ (Filtrado) e $P$ (Permitido).

Utilizando diagramas de Venn, represente a situação e defina simbolicamente os seguintes acontecimentos:

1. a) O acesso é malicioso ou suspeito, mas foi permitido.
2. b) O acesso não é malicioso e foi filtrado.
3. c) Verifica-se a segunda lei de De Morgan para os acontecimentos "Acesso Malicioso" ($M$) e "Acesso Filtrado" ($F$).

Num laboratório de robótica, estão a ser testados dois sensores independentes, $S_1$ e $S_2$. A experiência consiste em verificar se cada sensor se ativa ($1$) ou não ($0$) perante um estímulo.

1. a) Escreva o espaço de resultados $E$.
2. b) Descreva o acontecimento complementar de $A$, sendo $A$ = "Pelo menos um dos sensores se ativa".
3. c) Se definirmos o acontecimento $B$ = "Os dois sensores atuam de forma idêntica", determine $A \cap B$ e o acontecimento diferença $B - A$.

Um adolescente decide organizar a sua lista de reprodução para estudar. Tem $3$ canções de género Lo-fi, $2$ de Jazz e $2$ de Indie. A experiência consiste em escolher duas canções ao acaso, uma a seguir à outra, sem repetição (sem reposição).

1. a) Representa a experiência através de um diagrama em árvore, indicando em cada ramo os possíveis géneros resultantes.

1. b) Calcula o número total de resultados possíveis do espaço de resultados (considerando as canções como elementos distinguíveis).

1. c) Descreve o acontecimento composto "As duas canções escolhidas são de género diferente".

Consideramos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado octaédrico (faces de $1$ a $8$) e um dado cúbico convencional (faces de $1$ a $6$). Definimos os seguintes acontecimentos:

$A$ = "A soma dos pontos é um número primo".

$B$ = "O produto dos pontos é múltiplo de $10$".

1. a) $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis ou incompatíveis? Justifique a resposta indicando pelo menos um elemento da interseção, se existir.
2. b) Calcule o número de elementos do acontecimento contrário de $B$.

Realiza-se um estudo sobre o uso de redes sociais numa escola do ensino secundário. Escolhem-se dois alunos ao acaso e pergunta-se se utilizam habitualmente a rede $X$ e a rede $Y$. Seja $x_i$ o acontecimento "o aluno $i$ usa a rede $X$" e $y_i$ o acontecimento "o aluno $i$ usa a rede $Y$".

Expressa simbolicamente, utilizando as operações de união, interseção e complementação, os seguintes acontecimentos:

1. a) Apenas o primeiro aluno usa ambas as redes sociais.
2. b) Pelo menos um dos dois alunos usa a rede $X$, mas nenhum usa a rede $Y$.
3. c) Os dois alunos têm exatamente os mesmos hábitos de uso em relação a estas duas redes sociais.

Um globo de lotaria contém $10$ bolas numeradas de $0$ a $9$. Extraem-se três bolas sucessivamente e sem reposição para formar um número de três algarismos (a primeira bola corresponde às centenas, a segunda às dezenas e a terceira às unidades; admitem-se resultados que começam por $0$, como $047$).

1. a) Quantos elementos tem o espaço de resultados $E$?
2. b) Descreva o acontecimento $S$ = "O número formado é capicua".
3. c) Descreva o acontecimento $M$ = "O número formado é múltiplo de $5$ e maior que $700$".

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Consideramos os acontecimentos $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ e $C = \{1, 2, 3\}$.

Determine os conjuntos resultantes das seguintes operações e verifique se existe alguma relação de inclusão entre eles:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Nota: $C^c$ representa o acontecimento contrário de $C$.

O Instituto Nacional de Estatística (INE) concebe um estudo sobre hábitos de mobilidade sustentável no qual classifica os cidadãos segundo três acontecimentos compatíveis: $A$ («utiliza habitualmente a bicicleta»), $B$ («utiliza habitualmente o transporte público») e $C$ («desloca-se habitualmente a pé»). Para um relatório técnico, um analista formula a seguinte condição de inclusão de utilizadores:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nPara simplificar $S$ e deduzir a que acontecimento equivale de forma irredutível, propõem-se dois caminhos:\n- Método 1 (Álgebra direta de acontecimentos): Aplicar propriedades distributivas, associativas e de complementaridade ($X \cup \overline{X} = E$).\n- Método 2 (Complementação e De Morgan): Negar duas vezes a expressão total ($\overline{\overline{S}}$) e transformar as reuniões em interseções de complementares.\na) Desenvolve completamente o Método 1, indicando de forma explícita que propriedade algébrica justifica cada passo até obteres a expressão mínima de $S$.\nb) Apresenta o início do Método 2, analisa fundamentadamente as dificuldades algébricas que surgem face ao Método 1 e justifica qual dos dois procedimentos é mais eficiente e menos suscetível a erros para simplificar este tipo de expressões.\nc) Utilizando a expressão reduzida obtida em (a), simplifica o acontecimento $\overline{S \cup B}$ aplicando rigorosamente as Leis de De Morgan e interpreta o seu significado sociológico no contexto da mobilidade urbana.

A Rede Elétrica Nacional modela a segurança do abastecimento elétrico entre uma central de produção renovável $G$ e um parque industrial $P$. A rede dispõe de três disjuntores automáticos: $I_1$, $I_2$ e $I_3$. A corrente flui de $G$ para $P$ se se mantiver pelo menos uma via fechada: uma via direta que depende exclusivamente do disjuntor $I_1$, e uma via alternativa formada pelos disjuntores $I_2$ e $I_3$ ligados em série (devem funcionar ambos em simultâneo para que a via alternativa conduza energia).\nConsideram-se os acontecimentos de avaria em cada disjuntor perante uma sobrecarga: $F_1$ («falha o disjuntor $I_1$»), $F_2$ («falha o disjuntor $I_2$») e $F_3$ («falha o disjuntor $I_3$»).\na) Modela em termos de $F_1$, $F_2$ e $F_3$, mediante operações de acontecimentos ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- O acontecimento $C$: «interrompe-se totalmente o abastecimento elétrico entre $G$ e $P$».\n- O acontecimento $O$: «o abastecimento elétrico entre $G$ e $P$ permanece operacional».\nb) Demonstra formalmente, mediante as Leis de De Morgan e as propriedades distributivas da álgebra de acontecimentos, que a tua expressão de $O$ é rigorosamente igual ao complementar de $C$ (isto é, $O = \overline{C}$).\nc) Supõe que os disjuntores $I_1$ e $I_2$ dispõem de um sistema físico diferencial partilhado que impede que ambos falhem em simultâneo, de modo que $F_1$ e $F_2$ são acontecimentos incompatíveis ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Justifica se esta restrição técnica permite simplificar a expressão booleana do acontecimento de corte total $C$ e determina se os acontecimentos $F_1$ e $(F_2 \cup F_3)$ são ou não compatíveis sob essa condição.