Exercícios: Probabilidade condicionada

Numa convenção de aficionados do mundo do gaming, sorteia-se uma consola de última geração entre os participantes. Participam 120 pessoas de Lisboa, 80 do Porto e 50 de Coimbra. Além disso, sabe-se que 60 % dos participantes totais são menores de 18 anos. Se se escolher um vencedor ao acaso, calcula:

1. a) O espaço de resultados associado à origem dos participantes.

1. b) A probabilidade de o vencedor ser de Lisboa.

1. c) A probabilidade de o vencedor ser maior de idade.

Um analista de redes sociais estuda o comportamento dos adolescentes em duas plataformas: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Depois de inquirir uma turma do ensino secundário, obtém que a probabilidade de um aluno usar TikTok é $P(T) = 0,75$, a de usar Instagram é $P(I) = 0,60$ e a de usar ambas as plataformas é $P(T \cap I) = 0,45$.

O diagrama de Venn reúne estes dados; as regiões marcadas com «?» são probabilidades que ainda não se conhecem.

Calcula a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso:

1. a) Use TikTok ou Instagram.
2. b) Use TikTok mas não Instagram ($T - I$).
3. c) Não use nenhuma das duas plataformas.

Numa escola de idiomas, 40% dos alunos estão inscritos no curso de Alemão ($A$). Dos alunos inscritos em Alemão, 30% também frequentam aulas de conversação ($C$). Se for selecionado um aluno da escola ao acaso, determine:

1. a) A probabilidade de um aluno estar inscrito em Alemão e frequentar aulas de conversação.
2. b) Sabendo que um aluno está em Alemão, qual é a probabilidade de não frequentar aulas de conversação?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos independentes associados a uma experiência aleatória, tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$. Determine as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Foi realizado um estudo sobre a posse de animais de estimação num grupo de 100 pessoas. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela de contingência:

1. a) Complete a tabela de contingência.
2. b) Se escolhermos uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha cão e gato?
3. c) Sabendo que a pessoa escolhida tem cão, qual é a probabilidade de que também tenha gato?

Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se sucessivamente duas bolas com reposição (devolve-se a primeira antes de retirar a segunda). Represente a situação através de um diagrama em árvore e calcule:

1. a) A probabilidade de ambas as bolas serem brancas.
2. b) A probabilidade de a primeira ser preta e a segunda branca.
3. c) A probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor.

Num centro de saúde, estima-se que a probabilidade de um paciente ter gripe seja $P(G) = 0,15$. Sabe-se que, se um paciente tem gripe, a probabilidade de apresentar febre é de $0,90$, enquanto, se não tem gripe, a probabilidade de apresentar febre se reduz a $0,10$.

Se for escolhido um paciente ao acaso e ele apresentar febre, que nome recebe a probabilidade condicionada $P(G|F)$ e qual é o teorema utilizado habitualmente para a calcular? (Não é necessário realizar o cálculo numérico final, apenas identificar os conceitos).

Lançam-se simultaneamente dois dados equilibrados de seis faces. Calcule a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) Obter uma soma de pontos igual a 7.
2. b) Sabendo que no primeiro dado saiu um número par, qual é a probabilidade de que a soma seja 7?
3. c) Os acontecimentos "soma igual a 7" e "primeiro dado par" são independentes? Justifique a sua resposta comparando $P(S=7|Par)$ com $P(S=7)$.

Numa escola secundária foram recolhidos dados de 200 estudantes do 2.º ano de Bachillerato sobre dois acontecimentos: $A$ (passar no exame de Matemática) e $B$ (frequentar habitualmente a biblioteca do centro). O registo mostra que 120 frequentam a biblioteca, 90 passam no exame e 60 fazem ambas as coisas.

O Marcos quer calcular a probabilidade de um aluno passar a Matemática sabendo que frequenta a biblioteca, e escreve no seu exame:

1. a) Identifica com precisão que probabilidade calculou realmente o Marcos e explica qual é o erro conceptual da sua abordagem relativamente à definição de probabilidade condicionada e à mudança de espaço amostral.
2. b) Corrige o cálculo determinando o valor correto de $P(A|B)$.
3. c) Justifica formalmente se, para este grupo de estudantes, frequentar a biblioteca e passar a Matemática são acontecimentos estatisticamente independentes.

Segundo dados da Direção-Geral de Viação sobre a obtenção da carta de condução de categoria B num distrito, $40\%$ dos candidatos passam no exame prático na sua primeira tentativa (acontecimento $A$). Por outro lado, $30\%$ dos candidatos realizam previamente um curso intensivo em simulador (acontecimento $S$), e sabe-se que $20\%$ do total de candidatos realizam o curso em simulador e além disso passam à primeira.

1. a) Modela a situação definindo os acontecimentos com a sua notação de probabilidade correspondente e indica o valor de $P(A)$, $P(S)$ e $P(A \cap S)$.
2. b) Se se escolher ao acaso um candidato que tenha realizado o curso em simulador, calcula a probabilidade de que passe no exame prático à primeira.
3. c) Tendo em conta os resultados, realizar o curso em simulador altera a probabilidade de passar à primeira ou são acontecimentos independentes? Justifica a tua resposta comparando $P(A|S)$ com $P(A)$.

Numa plataforma de streaming, $60\%$ dos utilizadores vê séries de ficção científica (acontecimento $S$) e $45\%$ vê documentários (acontecimento $D$). Sabe-se que $20\%$ dos utilizadores gosta de ambos os géneros. Se selecionarmos um utilizador ao acaso que sabemos que vê séries de ficção científica, calcule a probabilidade de também ver documentários. Os acontecimentos "ver séries de ficção científica" e "ver documentários" são independentes? Justifique a resposta.

Um centro de treino desportivo analisa o rendimento dos seus 120 atletas. Observa-se que 65 deles seguem uma dieta específica, 70 realizam treinos de alta intensidade e 40 cumprem ambas as condições.

1. Organize os dados numa tabela de contingência.

2. Se escolhermos um atleta ao acaso e ele não realizar treinos de alta intensidade, qual é a probabilidade de seguir a dieta específica?

3. Se o atleta escolhido não seguir a dieta, qual é a probabilidade de também não realizar treinos de alta intensidade?

Uma aplicação de música tem duas listas de reprodução. A lista $A$ contém 8 músicas de pop e 4 de rock. A lista $B$ contém 5 músicas de pop e 7 de rock. Lançamos um dado equilibrado: se sair um número menor que 3, a aplicação reproduz uma música ao acaso da lista $A$; caso contrário, reproduz da lista $B$.

1. Calcule a probabilidade de a música reproduzida ser de rock.

2. Se a música reproduzida for de pop, qual é a probabilidade de provir da lista $A$?

Num controlo de qualidade de uma fábrica de componentes eletrónicos, sabe-se que o acontecimento $F$ (o componente tem uma falha de soldadura) tem probabilidade $P(F) = 0,08$, e o acontecimento $C$ (o componente tem uma falha de carcaça) tem probabilidade $P(C) = 0,12$. Se ambos os acontecimentos forem independentes, calcule:

1. A probabilidade de um componente ter ambas as falhas.

2. A probabilidade de ter alguma falha.

3. A probabilidade de não ter nenhuma falha.

4. Sabendo que o componente tem uma falha de carcaça, qual é a probabilidade de não ter falha de soldadura?

Um teste para detetar uma vulnerabilidade de segurança em servidores informáticos dá positivo em $98\%$ dos servidores que realmente estão infetados. No entanto, dá um "falso positivo" (positivo em servidores saudáveis) em $2\%$ dos casos. Estima-se que numa rede empresarial $1\%$ dos servidores estejam infetados.

1. Se um servidor der positivo no teste, qual é a probabilidade de realmente estar infetado?

2. Interprete se o teste é fiável para uso massivo nessa rede com base no resultado anterior.

Extraem-se sucessivamente e sem reposição duas cartas de um baralho de 40 cartas. Calcule as seguintes probabilidades:

1. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira foi um Ás.

2. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira também foi um Rei.

3. Que as duas cartas sejam figuras (Valete, Dama ou Rei).

4. Sabendo que a segunda carta foi de Ouros, qual é a probabilidade de a primeira também ter sido de Ouros?

Uma empresa de logística distribui pacotes em três distritos: Norte ($40\%$), Centro ($35\%$) e Sul ($25\%$). A percentagem de entregas com atraso é de $5\%$ no Norte, $8\%$ no Centro e $12\%$ no Sul.

1. Se selecionarmos um pacote ao acaso, qual é a probabilidade de ter sido entregue a tempo?

2. Se um pacote foi entregue com atraso, qual é a probabilidade de ter sido destinado ao distrito Sul?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ e $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcule $P(A \cap B)$.

2. Calcule $P(B)$.

3. Calcule $P(A|B)$.

4. Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis e se são independentes. Justifique as suas conclusões.

Numa região pecuária aplica-se um teste de diagnóstico para detetar uma infeção bacteriana cuja prevalência é muito baixa: apenas $2\%$ do gado está infetado (acontecimento $E$). O teste veterinário tem uma sensibilidade de $95\%$ (probabilidade de dar positivo estando infetado, $P(+|E) = 0,95$) e uma taxa de falsos positivos de $5\%$ (probabilidade de dar positivo num animal saudável, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Antes de calcular o que quer que seja, faz uma estimativa intuitiva: se for escolhida uma rês ao acaso e o seu teste der positivo, achas que a probabilidade de estar realmente infetada estará acima de $80\%$, perto de $50\%$ ou abaixo de $30\%$? Redige a tua estimativa justificando a tua primeira impressão numa ou duas linhas.
2. b) Modela o problema através do teorema da probabilidade total e calcula com rigor a probabilidade condicionada $P(E|+)$.
3. c) Compara o resultado matemático obtido com a tua estimativa prévia. Justifica por que razão o resultado é contraintuitivo para muitas pessoas e explica como é que a prevalência global da infeção condiciona a fiabilidade final do resultado positivo.

Nos exames nacionais de acesso ao ensino superior de um distrito analisam-se as inscrições em duas disciplinas de opção: Desenho Técnico ($D$) e Física ($F$). A partir das pautas oficiais constata-se que a probabilidade de um aluno escolher Desenho Técnico é $P(D) = 0,35$ e a probabilidade de escolher pelo menos uma das duas disciplinas é $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Formula uma equação e determina que valor exato deveria ter a probabilidade a priori de se inscrever em Física, $P(F)$, para que a escolha de ambas as disciplinas fosse totalmente independente.
2. b) A realidade do distrito mostra que não são independentes e que a probabilidade condicionada de escolher Desenho sabendo que se escolheu Física é $P(D|F) = 0,40$. Calcula a probabilidade real de inscrição em Física, $P(F)$, e a probabilidade condicionada inversa $P(F|D)$.
3. c) Com os dados da alínea b), constrói a tabela de contingência completa de probabilidades para os acontecimentos $D$, $\overline{D}$, $F$ e $\overline{F}$.

Num laboratório de biotecnologia investiga-se a resistência de uma bactéria a dois tipos de antibióticos, $A$ e $B$. Sabe-se que a probabilidade de a bactéria ser resistente ao antibiótico $A$ é $P(A) = 0,65$ e a probabilidade de ser resistente ao antibiótico $B$ é $P(B) = 0,48$. Além disso, determinou-se que a probabilidade de não ser resistente a nenhum dos dois é de $12\%$.

Calcule fundamentadamente:

1. a) A probabilidade de a bactéria ser resistente a $A$ sabendo que é resistente a $B$.
2. b) A probabilidade de ser resistente a apenas um dos dois antibióticos.
3. c) Os acontecimentos "ser resistente a $A$" e "ser resistente a $B$" são independentes? Justifique a sua resposta por meio de cálculos.

Uma empresa de entregas utiliza três rotas distintas ($R_1, R_2, R_3$) para distribuir pacotes numa grande cidade. $30\%$ dos envios são atribuídos à rota $R_1$, $45\%$ à rota $R_2$ e o restante à rota $R_3$. Sabe-se por experiências passadas que as probabilidades de um pacote chegar com atraso em cada rota são de $4\%$, $6\%$ e $2\%$, respetivamente.

Se selecionarmos um pacote ao acaso e observarmos que chegou com atraso, qual é a probabilidade de NÃO ter seguido a rota $R_2$?

Um sistema de segurança para um servidor crítico é composto por dois componentes, $C_1$ e $C_2$, ligados em paralelo, o que significa que o sistema funciona se pelo menos um dos componentes funcionar. A probabilidade de o componente $C_1$ falhar num ano é de $0,05$ e a de falhar $C_2$ é de $0,08$. As falhas dos componentes são acontecimentos independentes.

Calcule:

1. a) A probabilidade de o sistema funcionar corretamente durante um ano.
2. b) Sabendo que o sistema funcionou corretamente, qual é a probabilidade de o componente $C_1$ ter falhado?

Num torneio de e-sports, um jogador tem de superar duas fases. A probabilidade de superar a primeira fase é de $0,7$. Se superar a primeira, a probabilidade de superar a segunda é de $0,5$. No entanto, se não superar a primeira, tem uma oportunidade de repescagem na qual a probabilidade de passar diretamente à final (saltando a segunda fase) é de apenas $0,2$.

1. a) Calcule a probabilidade de o jogador chegar à final (seja superando as duas fases ou pela repescagem).
2. b) Se o jogador chegou à final, qual é a probabilidade de ter conseguido por meio da repescagem?

Dispomos de duas urnas com bolas coloridas. A urna $U_1$ contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. A urna $U_2$ contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extrai-se uma bola ao acaso da urna $U_1$ e, sem lhe ver a cor, coloca-se na urna $U_2$. Em seguida, extrai-se uma bola da urna $U_2$.

Calcule:

1. a) A probabilidade de a bola extraída da segunda urna ser branca.
2. b) Sabendo que a bola extraída da segunda urna é branca, qual é a probabilidade de a bola transferida da primeira para a segunda ter sido preta?

Foi realizado um teste de diagnóstico para detetar uma vulnerabilidade num software de gestão. $5\%$ das aplicações analisadas contêm essa vulnerabilidade. O teste dá positivo em $98\%$ dos casos em que a vulnerabilidade está presente, mas também dá $2\%$ de falsos positivos (dá positivo quando a aplicação é segura).

1. a) Se o teste der positivo, qual é a probabilidade de a aplicação realmente ter a vulnerabilidade?
2. b) Se o teste der negativo, qual é a probabilidade de a aplicação ser realmente segura?
3. c) Interprete os resultados: o teste é mais fiável para confirmar a vulnerabilidade ou para a descartar?

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que as probabilidades condicionadas verificam $P(A|B) = 0,25$ e $P(B|A) = 0,4$. Sabendo que a probabilidade da união de ambos é $P(A \cup B) = 0,55$, calcule os valores de $P(A)$ e $P(B)$.

Num centro de alto rendimento desportivo, $40\%$ dos atletas treina natação ($N$), $30\%$ treina ciclismo ($C$) e o restante treina corrida ($R$). A probabilidade de sofrer uma lesão muscular ao longo da época é de $0,15$ para os nadadores, $0,20$ para os ciclistas e $0,35$ para os corredores.

1. a) Determine a probabilidade de um atleta escolhido ao acaso sofrer uma lesão muscular.
2. b) Se um atleta não sofreu nenhuma lesão, qual é a probabilidade de a sua especialidade ser a natação?
3. c) Os acontecimentos "treinar ciclismo" e "sofrer uma lesão" são independentes? Justifique.

Um relatório de cibersegurança sobre pequenas e médias empresas espanholas avalia a eficácia de uma firewall perante intrusões externas. Conhecem-se três factos:

• $8\%$ das empresas sofre uma tentativa séria de intrusão mensal (acontecimento $I$).

• Se uma empresa sofrer uma tentativa de intrusão, a firewall gera um alerta com probabilidade $P(A|I) = 0,90$.

• Se a empresa não sofrer qualquer intrusão, existe uma probabilidade de $3\%$ de falso alarme por falhas do sistema, isto é, $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

A equipa de gestão necessita de conhecer a probabilidade de, tendo o alarme soado, se tratar na verdade de um falso alarme ($P(\overline{I}|A)$), bem como a probabilidade de o sistema permanecer em silêncio e não haver intrusão ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Resolve o problema aplicando dois métodos diferentes:

• Método 1: Diagrama em árvore e cálculo com fórmulas formais de probabilidade condicionada e teorema da probabilidade total.

• Método 2: Tabela de contingência com frequências absolutas projetadas sobre uma população hipotética de $10\,000$ empresas.

1. b) Analisa e compara ambos os métodos: qual dos dois reduz com maior eficácia o risco de confundir $P(A|\overline{I})$ com $P(\overline{I}|A)$ ao interpretar os resultados? Justifica a tua resposta argumentando a forma como cada técnica representa o novo espaço de resultados reduzido.

A partir dos microdados do Inquérito ao Emprego numa região, estudam-se dois acontecimentos laborais na faixa etária de jovens dos 18 aos 24 anos: frequentar estudos oficiais ($E$) e ter um emprego remunerado ($T$). As taxas estimadas são $P(E) = 0,55$ e $P(T) = 0,30$.

Um estudante afirma: «Como estudar a tempo inteiro e trabalhar são situações dificilmente compatíveis, os acontecimentos são incompatíveis e, por isso, são também independentes porque um não depende do outro».

1. a) Demonstra formalmente que dois acontecimentos $A$ e $B$ com probabilidades não nulas ($P(A) > 0$ e $P(B) > 0$) nunca podem ser incompatíveis e independentes ao mesmo tempo. Explica por palavras o erro conceptual do estudante.
2. b) Se os dados do inquérito indicarem que $40\%$ dos jovens não estuda nem trabalha ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$), calcula a probabilidade de um jovem ter emprego sabendo que frequenta estudos, $P(T|E)$, aplicando as leis de De Morgan e as propriedades da probabilidade condicionada.
3. c) Perante o valor de $P(T|E)$ comparado com $P(T)$, determina fundamentadamente se a condição de frequentar estudos favorece, prejudica ou é independente relativamente à probabilidade de estar empregado nessa população.