Exercícios: O método das tangentes

Seja $f$ uma função derivável e $x_0$ uma primeira aproximação de um zero de $f$. O método de Newton consiste em tomar como nova aproximação $x_1$ o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0, f(x_0))$ com o eixo $Ox$.

1. a) Explica, com as tuas palavras, por que razão $x_1$ é, em geral, uma melhor aproximação do zero do que $x_0$.
2. b) Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_0$.
3. c) Fazendo $y = 0$ na equação da alínea anterior, mostra que se obtém $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$.

Para aproximar $\sqrt{5}$, aplica-se o método de Newton à função $f(x) = x^2 - 5$.

1. a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ para esta função.
2. b) Partindo de $x_0 = 2$, calcula $x_1$ e $x_2$, apresentando $x_2$ com quatro casas decimais.
3. c) Compara $x_2$ com o valor de $\sqrt{5}$ dado pela calculadora. Quantas casas decimais coincidem?

Considera a função $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência do método de Newton para esta função.
2. b) Partindo de $x_0 = 1$, calcula $x_1$ e $x_2$, com quatro casas decimais.
3. c) Calcula $f(x_2)$ e comenta a proximidade de $x_2$ ao zero de $f$.

Nos exercícios anteriores aproximaste o zero de $f(x) = x^3 + x - 1$ pelo método da bisseção (a partir do intervalo $[0, 1]$) e pelo método de Newton (a partir de $x_0 = 1$).

1. a) Quantas iterações do método da bisseção são necessárias para garantir um erro inferior a $0{,}01$?
2. b) Com o método de Newton, quantas iterações bastaram para obter uma aproximação com erro inferior a $0{,}01$?
3. c) Compara a rapidez dos dois métodos e explica, com base na construção geométrica de cada um, por que razão o método de Newton converge, em geral, mais depressa.
4. d) Indica uma situação em que o método de Newton pode falhar, relacionando-a com o valor de $f'(x_n)$.