Exercícios: Ponto fixo

Considera a função $g(x) = \frac{x + 3}{2}$.

1. a) Mostra, estudando o sinal de $g(x) - x$ nos extremos do intervalo $[1, 5]$, que $g$ tem um ponto fixo nesse intervalo (um valor $x$ tal que $g(x) = x$).
2. b) Determina algebricamente o ponto fixo de $g$.
3. c) A partir de $x_0 = 1$, calcula os iterados $x_1, x_2, x_3$ e $x_4$ pela recorrência $x_{n+1} = g(x_n)$. Para que valor parece convergir a sucessão?

Considera a função $g(x) = \sqrt{x + 2}$.

1. a) Mostra que $g$ tem um ponto fixo no intervalo $]0, 4[$.
2. b) A partir de $x_0 = 0$, calcula $x_1, x_2, x_3$ e $x_4$, com três casas decimais.
3. c) Para que valor parece convergir a sucessão? Confirma que esse valor é, de facto, ponto fixo de $g$, resolvendo a equação $g(x) = x$.

A equação $x^3 + x - 1 = 0$ pode escrever-se na forma $x = g(x)$, com $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1. a) Verifica que as duas equações são equivalentes, ou seja, que têm as mesmas soluções.
2. b) A partir de $x_0 = 0{,}5$, calcula $x_1, x_2, x_3$ e $x_4$ pela recorrência $x_{n+1} = g(x_n)$, com três casas decimais.
3. c) Os iterados aproximam-se da raiz da equação (que é aproximadamente $0{,}68$)? Oscilam em torno dela? Descreve o comportamento da sucessão.
4. d) Compara este processo com o método de Newton aplicado à mesma equação (duas iterações a partir de $x_0 = 1$). Qual te parece mais eficiente?

Considera a função $g(x) = x^2 - 2$.

1. a) Determina algebricamente os pontos fixos de $g$.
2. b) A partir de $x_0 = 1{,}5$, calcula seis iterados pela recorrência $x_{n+1} = g(x_n)$, com quatro casas decimais, e descreve o comportamento da sucessão.
3. c) Nos exercícios anteriores, as sucessões convergiram para o ponto fixo; aqui não. Calcula $|g'(x)|$ nos pontos fixos desta função e nos pontos fixos das funções $g(x) = \frac{x+3}{2}$ e $g(x) = \sqrt{x+2}$. Que condição sobre $|g'(x)|$ parece distinguir a convergência da divergência do método iterativo?