Exercícios: Regras de derivação e função derivada de funções usuais

Um foguete de fogo de artifício descola verticalmente de uma plataforma de lançamento. A altura $h$ em metros em relação ao tempo $t$ em segundos é dada pela função polinomial $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcule a função derivada $h'(t)$, que representa a velocidade instantânea do foguete em qualquer instante $t$.

Uma conta de uma rede social analisou o seu crescimento e determinou que o número de seguidores $S$ evolui segundo a função exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, onde $t$ é o tempo decorrido em meses desde a sua criação. Determine a função derivada $S'(t)$ para conhecer o ritmo de crescimento de seguidores.

Calcule a função derivada das seguintes funções aplicando as regras de derivação das funções elementares (potências e raízes):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Dada a função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, pede-se:

1. a) Determinar a função derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular o valor do declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto $P$ de abcissa $x = 4$ (marcado na figura).

Determine a função derivada das seguintes funções transcendentais utilizando a tabela de derivadas de funções usuais:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Uma mola oscila seguindo um movimento harmónico simples descrito pela função $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, onde $y$ é a posição em centímetros e $x$ é o tempo. Obtenha a expressão da função derivada $y'(x)$, que representa a velocidade de oscilação da mola.

Calcule a derivada das seguintes funções compostas simples utilizando a regra da cadeia de forma direta:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Dada a função $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcule a sua função derivada $f'(x)$ e simplifique o resultado, expressando a raiz novamente em forma radical.

Num exame de 2.º de Bacharelato, o Marcos tem de calcular a função derivada de $f(x) = \sin^3(2x)$. Na sua folha de respostas escreve o seguinte:

«Como é uma potência, desço o expoente e derivo o seno:

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x)$».

1. a) Identifica com precisão que passo fundamental da regra da cadeia o Marcos omitiu ao decompor as camadas da função composta. Explica por que razão o seu raciocínio é erróneo.
2. b) Corrige o exercício escrevendo a cadeia completa de derivação passo a passo, identificando cada uma das funções elementares que compõem $f$ (desde a mais exterior até à mais interior), e obtém a expressão simplificada correta de $f'(x)$.

Pretende-se calcular a função derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ para todo o $x \in \mathbb{R}$. Dois alunos propõem estratégias distintas:

• Caminho A (Derivação direta): Aplicar imediatamente a fórmula $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, calculando previamente a derivada da fração através da regra do quociente e da regra da cadeia para o denominador.

• Caminho B (Simplificação prévia com logaritmos): Utilizar as propriedades dos logaritmos ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ e $\ln(e^u) = u$) para decompor $f(x)$ numa soma e subtração de termos simples antes de derivar.

1. a) Compara ambos os caminhos e justifica de forma fundamentada qual dos dois é preferível em termos de menor carga operatória e menor probabilidade de cometer erros de sinal ou de simplificação.
2. b) Aplica o caminho mais eficiente para calcular $f'(x)$ e exprime o resultado como uma única fração algébrica irredutível.

Calcule a função derivada da seguinte função composta, aplicando a regra da derivação da função composta e simplificando o resultado ao máximo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Dada a função racional que envolve logaritmos neperianos:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Encontra a expressão da sua derivada $g'(x)$ e determina os valores de $x$ para os quais o declive da reta tangente ao gráfico de $g(x)$ é igual a zero.

Um drone de vigilância segue uma trajetória cuja altura em metros é dada pela função $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, onde $t$ é o tempo em segundos desde a descolagem.

1. a) Calcula a função que representa a velocidade vertical do drone, $v(t) = h'(t)$.

1. b) Qual é a velocidade vertical do drone no instante $t = 5$ segundos?

Determine os valores dos parâmetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que a função $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ satisfaça as seguintes condições simultaneamente:

• Passe pelo ponto $(0, 3)$.

• A sua derivada na origem seja $f'(0) = 2$.

Utilize a técnica da derivação logarítmica para obter a derivada da seguinte função potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Calcula a equação da reta tangente à curva $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ no ponto de abcissa $x = 2$.

A figura mostra o gráfico de $f$, as suas assíntotas horizontais e o ponto $P$ da curva cuja abcissa é $x = 2$.

Dada a função $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtenha:

1. a) A primeira derivada $f'(x)$.
2. b) A segunda derivada $f''(x)$, simplificando o resultado utilizando funções trigonométricas usuais.

Calcule a derivada da seguinte função simplificando o resultado final o máximo possível mediante identidades trigonométricas:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calcule a derivada da função $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ e simplifique a expressão resultante. A que função mais simples corresponde esta derivada?

Utilizando a técnica de derivação logarítmica, determine a derivada da função $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ para $x > 0$.

Numa estação meteorológica do IPMA em Évora durante uma onda de calor estival, a temperatura ambiente $T(t)$ em graus Celsius ($^{\circ}\text{C}$) ao longo de um dia de 24 horas ajusta-se ao modelo:

$T(t) = 31 - 9 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot (t - 4)}{12}\right)$,

onde $t$ representa o tempo em horas decorrido desde a meia-noite ($t \in [0, 24]$).

1. a) Determina a função derivada $T'(t)$, indicando com clareza cada uma das regras de derivação utilizadas (constante por função, função composta e trigonométrica).
2. b) Calcula o valor exato e aproximado com duas casas decimais de $T'(10)$ (às 10:00 h) e de $T'(16)$ (às 16:00 h).
3. c) Interpreta o significado físico e contextual dos valores e sinais obtidos na alínea anterior (indicando as unidades de medida correspondentes à derivada) e determina a que hora do dia a temperatura sobe com a máxima rapidez.

Considera a função transcendente $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Sem calcular a função derivada de forma analítica, realiza uma estimativa do valor do declive da reta tangente em $x = 0$ calculando a taxa de variação média (TVM) no intervalo $[0;\, 0,1]$ com a ajuda da calculadora (em modo radianos). A partir do resultado, esperas que a função seja crescente ou decrescente numa vizinhança imediata de $x = 0$?
2. b) Aplica as regras de derivação para obter a expressão algébrica simplificada da função derivada $f'(x)$.
3. c) Avalia o valor exato de $f'(0)$, compara-o com o valor estimado obtido na alínea (a) e valida de forma fundamentada se a tua hipótese prévia sobre a monotonia local da função fica confirmada.

Dada a função transcendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utilize a técnica da derivação logarítmica para calcular a sua função derivada $f'(x)$. Uma vez obtida, calcule o valor exato do declive da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$.

Determina os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja derivável em todo o seu domínio:

Explica de forma fundamentada a relação entre a continuidade e a derivabilidade no ponto de ruptura $x = 1$.

Encontre a expressão geral da derivada de ordem n ($f^{(n)}(x)$) para a função racional:

Dica: Decomponha a função em frações simples antes de começar a derivar sucessivamente.

Considere a curva definida de forma implícita pela equação:

1. a) Determine a expressão da derivada $y'$ em função de $x$ e $y$ por derivação implícita.
2. b) Determine a equação da reta normal à curva no ponto $P(3, 1)$.

Seja a função $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demonstra que $f(x)$ é bijetiva em todo o $\mathbb{R}$ (podes apoiar-te no estudo do seu crescimento).

1. b) Sabendo que $f(1) = 4$, calcula o valor da derivada da função inversa nesse ponto, isto é, $(f^{-1})'(4)$.

Um drone de vigilância desloca-se seguindo a trajetória dada pela função $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Um operador situado no ponto $A(2, 0)$ observa o drone.

Calcula o ponto da trajetória onde o drone se encontra à distância mínima do operador.

Nota: Para minimizar a distância $d$, basta minimizar o quadrado da distância $d^2$. Deverás derivar a função resultante da distância.

Calcule a derivada da seguinte função composta e simplifique o resultado ao máximo utilizando identidades trigonométricas:

Que curiosidade observas no resultado final simplificado?

Num laboratório de biotecnologia, o volume de uma população de bactérias (em $mm^3$) cresce segundo a função $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, onde $t$ é o tempo em horas. Ao mesmo tempo, o raio da placa de cultura circular onde crescem as bactérias expande-se de tal forma que a área ocupada pela população é $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Supondo que a espessura da camada bacteriana seja constante e igual a $0,1 mm$ (de modo que $V = A \cdot h$), calcule a taxa de variação instantânea do raio da população no instante $t = 2$ horas.

Para dimensionar corretamente uma viga de aço submetida à torção assimétrica, um engenheiro precisa de otimizar uma função de tensão dada por $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ para $x > 1$. Aplique o método de derivação logarítmica para obter a expressão simplificada da derivada $E'(x)$.

Um oscilador harmónico num sistema mecânico tem uma posição dada por $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calcule a velocidade $v(t) = x'(t)$ e a aceleração $a(t) = x''(t)$, e verifique se ela satisfaz a equação diferencial $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Uma função desconhecida $f(x)$, derivável e estritamente positiva no intervalo $(0, +\infty)$, satisfaz que a sua derivada logarítmica é dada pela expressão:

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

Além disso, sabe-se que o gráfico de $f$ passa pelo ponto $(1, 1)$.

1. a) Justifica por que razão a expressão $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coincide formalmente com a derivada da função composta $\ln(f(x))$.
2. b) Deduz fundamentadamente a expressão da função $g(x) = \ln(f(x))$ identificando uma função cuja derivada seja $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Para isso, decompõe o quociente na soma de duas frações e reconhece-as como derivadas de funções elementares ou de potências de $\ln x$.
3. c) A partir da condição $f(1) = 1$, encontra a constante correspondente e isola a função original $f(x)$, exprimindo-a na forma exponencial-potencial $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Verifica o teu resultado derivando diretamente a função $f(x)$ obtida mediante a técnica de derivação logarítmica e comprovando que se reproduz fielmente o quociente de partida.

Dada a função $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, definida no intervalo aberto $I = \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$:

Consideram-se duas vias de resolução para calcular a sua função derivada $f'(x)$:

• Via 1 (Propriedades algébricas dos logaritmos): Reescrever primeiro $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ e derivar como subtração de logaritmos naturais aplicando a regra da cadeia.

• Via 2 (Simplificação trigonométrica prévia): Transformar o radicando utilizando as identidades do ângulo duplo ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ e $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) antes de aplicar qualquer regra de derivação.

1. a) Desenvolve por completo a Via 2 para encontrar $f'(x)$ na sua expressão mais compacta, expressa como quociente em função de uma única razão trigonométrica de ângulo duplo. Justifica por que razão o sinal dentro da raiz quadrada não gera ambiguidade no intervalo $I$.
2. b) Desenvolve a Via 1 e mostra detalhadamente todos os passos algébricos e trigonométricos necessários para simplificar a soma de frações resultante até obteres exatamente a mesma expressão que na Via 2.
3. c) Compara criticamente ambas as vias: analisa qual minimiza a probabilidade de erro algébrico e conclui que critério geral de simplificação prévia convém adotar ao enfrentar este tipo de derivadas nos exames nacionais.