Exercícios: Conceitos: Taxa de variação e derivada de uma função em um ponto

Calcula a taxa de variação média (TVM) da função $f(x) = x^2 - 4x + 5$ no intervalo $[1, 4]$. Explica graficamente o que representa o valor obtido em relação à reta secante que passa pelos pontos $A$ e $B$ da curva correspondentes aos extremos desse intervalo (estão marcados na figura).

Um atleta do ensino secundário treina para os 100 metros planos. A distância percorrida (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada pela expressão $s(t) = 0,5t^2 + 2t$.

Calcule a velocidade média do atleta entre os instantes $t = 2$ s e $t = 6$ s. Com que conceito matemático este valor coincide?

Dada a função $f(x) = 3x^2 - 1$, utilize a definição de derivada num ponto por meio do limite:

para encontrar o valor da derivada no ponto de abscissa $x = 2$.

Determine o declive da reta tangente ao gráfico da função $f(x) = \sqrt{x+1}$ no ponto em que $x = 3$, aplicando o limite da taxa de variação instantânea:

O número de seguidores de um novo canal do YouTube evolui segundo a função $S(t) = t^2 + 10t + 100$, onde $t$ é o tempo em dias desde a sua criação.

1. a) Calcule a taxa de variação média do número de seguidores entre o dia $t = 0$ e o dia $t = 10$.
2. b) Qual é a taxa de variação instantânea do número de seguidores exatamente no dia $t = 5$? (Calcule $S'(5)$ usando a definição).

Considere a função racional $f(x) = \frac{2}{x}$.

Demonstre, aplicando a definição de derivada como um limite, que o valor da taxa de variação instantânea em $x = 1$ é $f'(1) = -2$. Interprete o sinal do resultado obtido.

Observe o gráfico seguinte de uma função $f(x)$. Sem efetuar cálculos, ordene do menor para o maior os seguintes valores, justificando a sua resposta com base no declive das retas:

• A taxa de variação média no intervalo $[1, 3]$.

• A derivada da função no ponto $x = 1$.

• A derivada da função no ponto $x = 3$.

A temperatura de uma placa metálica (em graus Celsius) varia com o tempo $t$ (em minutos) seguindo o modelo $T(t) = 20 + 4t - 0,1t^2$.

Calcule a taxa de variação instantânea da temperatura no instante $t = 10$ minutos. Indique as unidades de medida do resultado e explique se nesse momento a placa está a aquecer ou a arrefecer.

Num exame de 2.º de Bacharelato, o Marcos deve analisar a derivabilidade em $x = 1$ da seguinte função definida por ramos:

O Marcos escreve na sua resolução:

«Derivo diretamente cada ramo: $f'(x) = 2x + 2$ para $x \le 1$, e $f'(x) = 4$ para $x > 1$.

Calculo as derivadas laterais substituindo $x = 1$:

$f'(1^-) = 2(1) + 2 = 4$

$f'(1^+) = 4$

Como as derivadas laterais existem e coincidem ($4 = 4$), concluo que a função é derivável em $x = 1$ e que a reta tangente nesse ponto tem declive $m = 4$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente o grave erro conceptual que o Marcos comete no seu raciocínio.
2. b) Utilizando a definição formal de derivada através do limite da taxa de variação pela direita, $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$, calcula o valor real desse limite e demonstra o que acontece verdadeiramente a $f$ em $x = 1$.
3. c) Corrige a conclusão do Marcos indicando se a função é contínua, se é derivável e se faz sentido falar de reta tangente em $x = 1$.

Lança-se verticalmente um foguete de modelismo infantil. A sua altura em relação ao solo em metros é descrita pela função $h(t) = 24t - 4t^2$, onde $t$ é o tempo decorrido em segundos desde o lançamento ($t \in [0, 6]$).

1. a) Sem realizar cálculos algébricos, estima de forma fundamentada o sinal que terá a taxa de variação média ($\text{TVM}$) no intervalo $[2, 4]$. Para isso, considera a forma parabólica da trajetória e localiza o instante em que o foguete atinge a sua altura máxima. Esperas que a $\text{TVM}[2, 4]$ seja positiva, negativa ou nula?
2. b) Calcula analiticamente a $\text{TVM}[2, 4]$ através da sua fórmula e verifica se a tua estimativa inicial estava correta. À vista do resultado, é correto deduzir que o foguete permaneceu parado durante esses dois segundos? Explica o significado físico e geométrico do valor obtido em relação à reta secante.
3. c) Através da definição de derivada como limite da taxa de variação, calcula a velocidade instantânea $h'(2)$. Verifica se o sinal e o valor obtidos são coerentes com a posição do foguete nesse instante.

O crescimento de seguidores de uma nova conta de uma conhecida rede social segue a função $S(t) = t^2 + 4t + 100$, onde $t$ é o tempo em dias desde a sua criação e $S(t)$ é o número de seguidores. A figura mostra o gráfico de $S$ e as retas que unem os pontos da curva correspondentes a $t=0$, $t=5$ e $t=10$.

1. a) Calcula a taxa de variação média (TVM) do número de seguidores nos intervalos $[0, 5]$ e $[5, 10]$.
2. b) Explica o significado dos resultados obtidos no contexto do crescimento da conta. Em que intervalo foi mais rápido o crescimento?

Calcule a derivada da função $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ no ponto de abscissa $x = 2$ utilizando estritamente a definição de derivada por meio do limite:

Considera-se a função $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determine o ponto do gráfico em que a reta tangente tem declive $m = 2$. Uma vez encontrado o ponto, escreva a equação completa dessa reta tangente na forma ponto-declive.

Dada a função definida por ramos:

Calcule os valores de $a$ e $b$ para que a função seja derivável no ponto $x = 1$. Lembre-se de que, para uma função ser derivável, primeiro tem de ser contínua.

Um patinador desloca-se por uma pista cuja posição (em metros) em relação ao início é dada pela expressão $e(t) = \sqrt{4t + 9}$, onde $t$ é o tempo em segundos.

1. a) Calcule a velocidade média do patinador entre os instantes $t = 0$ e $t = 4$ segundos.
2. b) Encontre a velocidade instantânea no momento $t = 4$ segundos utilizando a definição de derivada.

Determina a equação da reta tangente e da reta normal à curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ no ponto onde o gráfico interseta o eixo das ordenadas ($OY$).

Dada a função $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, pede-se:

1. a) Calcular a taxa de variação média no intervalo $[2, 4]$.
2. b) Determinar se existe algum ponto $c$ no intervalo $(2, 4)$ tal que a derivada $f'(c)$ seja igual à taxa de variação média calculada na alínea anterior.

A temperatura de um componente eletrónico durante as primeiras horas de funcionamento segue a função $T(t) = 20 + t \cdot e^{-t}$, onde $T$ é a temperatura em graus Celsius e $t$ é o tempo em horas.

Calcule a taxa de variação instantânea da temperatura quando tiver decorrido exatamente 1 hora ($t = 1$). A temperatura está a aumentar, a diminuir ou nenhuma das duas coisas nesse instante? Justifique a sua resposta com base no sinal da derivada.

Durante um episódio de calor extremo em Lisboa, o Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA) regista que a temperatura $T$ (em graus Celsius) durante as horas diurnas é modelada com grande exatidão de acordo com a função:

onde $t$ representa a hora solar do dia, com $t \in [10, 18]$ (desde as 10:00 até às 18:00).

1. a) Calcula a taxa de variação média da temperatura no intervalo $[10, 14]$. Expressa o resultado com as respetivas unidades e interpreta que informação fornece sobre a evolução térmica global durante essas quatro horas.
2. b) Aplicando estritamente a definição de derivada através do limite da taxa de variação, calcula a taxa de variação instantânea da temperatura exatamente às 14:00 ($t = 14$).
3. c) Compara numericamente a $\text{TVM}[10, 14]$ com $T'(14)$. Explica fundamentadamente por que razão a taxa instantânea às 14:00 é inferior à média das quatro horas anteriores, relacionando esta variação com a proximidade ao ponto de temperatura máxima da tarde.

Determina os coeficientes reais $a$, $b$ e $c$ de uma função polinomial do segundo grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ a partir da seguinte informação experimental sobre o seu gráfico:

1. O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $P(0, 2)$.

2. A taxa de variação média no intervalo $[0, 3]$ é $\text{TVM}[0, 3] = 5$.

3. A reta normal ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$ é a reta de equação $x + 3y - 10 = 0$.

1. a) A partir da equação da reta normal, deduz fundamentadamente o valor da ordenada $f(1)$ e o valor do declive da reta tangente $f'(1)$.
2. b) Obtém a expressão da derivada $f'(1)$ em função dos parâmetros aplicando a definição de derivada como limite da taxa de variação $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$, e formula o sistema de equações que permite determinar univocamente $a$, $b$ e $c$.
3. c) Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa $x = 1$.

Considera-se a função definida por partes:

Determine os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$ para que a função seja derivável no ponto $x = 2$. Para isso, deve assegurar-se primeiro a continuidade e, posteriormente, a existência das derivadas laterais finitas e iguais nesse ponto, utilizando a definição de derivada.

Calcule, fazendo uso exclusivo da definição de derivada como limite do quociente incremental, o valor do seguinte limite:

Indicação: Identifique este limite com a derivada de uma função conhecida num ponto determinado e resolva mediante as regras de derivação habituais para verificar o seu resultado.

Um drone de vigilância florestal segue uma trajetória de aproximação cuja altura $h$ (em metros) em relação ao tempo $t$ (em segundos) é dada pela função:

Pede-se:

1. Calcule a Taxa de Variação Média (TVM) da altura no intervalo $[0, 5]$. Explique o seu significado físico.

2. Utilizando a definição de derivada num ponto, obtenha a velocidade instantânea de ascensão no instante $t = 5$ segundos.

3. Verifique se existe algum instante $t > 0$ no qual a velocidade instantânea coincida exatamente com a TVM calculada no primeiro item.

Dada a função $f(x) = x \cdot |x - 3|$, estude a sua derivabilidade no ponto $x = 3$.

Para isso:

1. Expresse a função como uma função definida por ramos.

2. Calcule as derivadas laterais $f'(3^-)$ e $f'(3^+)$ através do limite do quociente incremental.

3. Interprete geometricamente o resultado obtido: o gráfico apresenta um ponto anguloso ou uma tangente suave em $x=3$? Justifique a sua resposta.

Encontre as equações das retas tangentes à curva $y = x^2 - 4x + 5$ que passam pelo ponto exterior $A(0, 0)$ (a figura mostra apenas uma delas).

Nota: Tenha em conta que o ponto A não pertence à curva. Deve igualar-se o declive da tangente num ponto genérico $(a, f(a))$ ao declive da reta que une esse ponto à origem.

Seja a função $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demonstre, aplicando a definição de derivada, que a sua função derivada é $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ para qualquer valor de $x$ pertencente ao seu domínio.

A partir desse resultado, determine as coordenadas dos pontos do gráfico onde a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes pares ($y = -x$).

Considere a função $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.

1. Estude a continuidade da função na origem ($x=0$).

2. Analise a derivabilidade em $x=0$ calculando o limite do quociente incremental.

3. Se o limite tende para infinito, que tipo de reta tangente a função apresenta nesse ponto? Descreva o comportamento visual do gráfico na proximidade da origem.

Num laboratório de biotecnologia, a população de uma colónia de bactérias (em milhões) é modelada pela função:

onde $t$ é o tempo em horas. Pede-se:

1. Encontrar a Taxa de Variação Instantânea (TVI) da população em $t = 1$ hora e em $t = 4$ horas.

2. Determinar em qual desses dois instantes a população está a crescer com maior rapidez.

3. Existe algum instante em que a velocidade de crescimento seja nula? Em caso afirmativo, calcule esse valor de $t$ e interprete o que acontece à população nesse momento.

Considera-se a função contínua $f(x) = \sqrt[3]{x - 2} + 1$. Dois estudantes de 2.º de Bacharelato debatem sobre a existência da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 2$:

• Lucía (Método das regras de derivação): Aplica a regra da potência e da cadeia, obtendo $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}$. Ao substituir $x = 2$, observa que o denominador se anula ($\frac{1}{0}$), pelo que conclui: «Como não existe um valor real para $f'(2)$, o gráfico não tem reta tangente em $x = 2$».

• David (Método da definição formal): Afirma que as regras mecânicas são insuficientes perante singularidades e formula o limite da taxa de variação:

1. a) Desenvolve o Método do David calculando esse limite quando $h \to 0^+$ e quando $h \to 0^-$. Que comportamento manifestam os declives das retas secantes ao aproximarem-se do ponto $(2, 1)$?
2. b) Compara ambos os métodos e avalia criticamente a conclusão da Lucía. É verdade que não existe reta tangente, ou existe uma tangente vertical? Escreve fundamentadamente a equação da reta tangente e a da reta normal nesse ponto.
3. c) Justifica em que tipo de funções ou pontos singulares é imprescindível recorrer ao método da definição formal em vez de se limitar a aplicar as regras mecânicas de derivação.

No projeto de traçado de uma linha ferroviária de alta velocidade, os engenheiros devem desenhar uma transição suave entre um troço retilíneo e um troço em curva parabólica para evitar acelerações bruscas na composição. O perfil do traçado é modelado através da função:

Para garantir a segurança e o conforto, o caderno de encargos exige três condições:

1. Que a ligação em $x = 1$ seja contínua e derivável (transição sem quinas).

2. Que no troço curvo, a taxa de variação média entre $x = 1$ e $x = 3$ seja nula: $\text{TVM}[1, 3] = 0$.

3. Que a reta tangente à curva em $x = 3$ seja perpendicular à reta $y = \frac{1}{2}x$.

1. a) Modela formalmente as três exigências do caderno de encargos: expressa a derivabilidade em $x = 1$ através da igualdade de derivadas laterais usando a definição da taxa de variação, traduz a condição da TVM e formula a condição de tangência perpendicular em $x = 3$.
2. b) Resolve o sistema formulado e determina os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$.
3. c) Fundamenta geometricamente por que razão, numa função polinomial do segundo grau, a condição $\text{TVM}[1, 3] = 0$ associada a $f'(3) = -2$ obriga necessariamente a que $f'(1^+) = 2$, fazendo com que a derivabilidade no ponto de junção fique automaticamente satisfeita sem necessidade de a impor de forma independente.