Exercícios: Propriedades das funções deriváveis. Teoremas de Rolle, do valor médio e de Cauchy

Dada a função polinomial $f(x) = x^2 - 6x + 8$, verifica se se verificam as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[2, 4]$. Em caso afirmativo, determina o valor do ponto $c \in (2, 4)$ cuja existência o teorema garante.

Considere a função $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determine o valor do parâmetro $k \in \mathbb{R}$ para que a função satisfaça a condição $f(1) = f(5)$ e se possa aplicar o Teorema de Rolle no intervalo $[1, 5]$. Uma vez encontrado $k$, calcule o valor de $c$ onde a derivada se anula.

Considera a função $f(x) = x^2 - x$ no intervalo $[0, 2]$. Na figura aparecem o seu gráfico e a reta secante que passa pelos pontos $A$ e $B$ do gráfico de abcissas $0$ e $2$.

1. a) Comprova que se cumprem as hipóteses do Teorema do Valor Médio (de Lagrange) em $[0, 2]$ e calcula o declive da reta secante $AB$.

1. b) Determina o valor do ponto $c \in (0, 2)$ cuja existência o teorema garante.

1. c) Explica graficamente que relação tem a reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa $c$ com a reta secante $AB$.

Um maratonista treina numa pista reta. A sua posição (em metros) em relação ao ponto de partida é dada pela função $s(t) = t^2 + 2t$, onde $t$ é o tempo em segundos. Utilize o Teorema do Valor Médio para demonstrar que, em algum instante entre $t=1$ e $t=4$ segundos, a sua velocidade instantânea foi exatamente igual à sua velocidade média nesse intervalo. Calcule esse instante.

Explica de forma fundamentada porque não se pode aplicar o Teorema de Rolle à função $f(x) = 1 - |x-1|$ no intervalo $[0, 2]$, apesar de $f(0) = f(2) = 0$. Que hipótese falha neste caso?

Dadas as funções $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$, verifique se são satisfeitas as condições do Teorema de Cauchy no intervalo $[1, 3]$. Em caso afirmativo, determine o valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Sabe-se que uma função $f(x)$ é contínua no intervalo fechado $[1, 5]$ e derivável no aberto $(1, 5)$. Se os valores da função nos extremos são $f(1) = 10$ e $f(5) = 30$, podemos garantir que existe algum ponto $c$ no intervalo onde o declive da reta tangente seja igual a $5$? Justifique a sua resposta utilizando o Teorema de Lagrange.

Dada a função $f(x) = \sin(x)$, resolve:

1. a) Verifica que se verificam as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[0, \pi]$.

1. b) Determina o valor de $c$ que satisfaz a tese do teorema.

1. c) Representa $c$ esquematicamente sobre o gráfico da função (podes copiar a figura) ou numa circunferência goniométrica. Se usares o gráfico, marca o ponto de abcissa $c$ e desenha a reta tangente nesse ponto.

O Tomás deve resolver num exame o seguinte exercício: «Verifica se a função $f(x) = 1 - |x|$ satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[-2, 2]$ e encontra o ponto $c$ previsto pelo teorema». Na sua folha de exame, o Tomás escreve:

«1. A função é contínua em $[-2, 2]$ por ser composta de funções contínuas.

1. Os valores nos extremos coincidem: $f(-2) = 1 - |-2| = -1$ e $f(2) = 1 - |2| = -1$.

2. Como se verificam as hipóteses, o Teorema de Rolle assegura que existe $c \in (-2, 2)$ com $f'(c) = 0$. Dado que a derivada vale $f'(x) = 1$ para $x < 0$ e $f'(x) = -1$ para $x > 0$, o ponto procurado é $c = 0$».

Identifica os dois erros conceptuais graves cometidos pelo Tomás (um ao verificar as hipóteses do teorema e outro ao determinar o valor da derivada em $c = 0$), explica detalhadamente por que invalidam a sua conclusão e determina se existe ou não algum ponto no referido intervalo onde a derivada se anule.

Encontra fundamentadamente os coeficientes $a, b \in \mathbb{R}$ de uma função quadrática da forma $f(x) = ax^2 + bx$ que satisfaça simultaneamente as seguintes condições:

1. Cumpre todas as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo fechado $[0, 6]$.

2. Atinge um extremo relativo no ponto interior cuja existência é garantida pelo teorema, sendo esse valor $f(c) = -18$.

Uma vez deduzidos os valores de $a$ e $b$, enuncia com precisão as hipóteses do Teorema de Rolle e verifica formalmente que a função obtida as cumpre em $[0, 6]$, calculando explicitamente o ponto $c \in (0, 6)$ resultante.

Dada a função definida por ramos:

Estuda se são satisfeitas as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo $[1, e+2]$ e, em caso afirmativo, determina o valor ou valores de $c \in (1, e+2)$ cuja existência o teorema assegura.

Um radar de trecho numa autoestrada espanhola deteta que um veículo entra no túnel de Guadarrama (ponto $A$) às 14:00:00 h e sai dele (ponto $B$) às 14:01:30 h. A distância entre ambos os pontos de controlo é de 3,5 km.

Se o limite de velocidade no túnel é de $120 \text{ km/h}$, utiliza o Teorema do Valor Médio de Lagrange para justificar se o condutor deveria receber uma multa por excesso de velocidade, independentemente de a sua velocidade na entrada e na saída ser legal.

Considera a função polinomial $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina o valor do parâmetro $k$ para que a função cumpra as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[-2, 1]$.
2. b) Para esse valor de $k$, calcula os pontos $c$ que verificam a tese do teorema.

Seja a função $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.

1. a) Verifica que $f(x)$ cumpre as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo $[0, 1]$.
2. b) Existe algum ponto nesse intervalo onde o declive da reta tangente seja igual a $1$? Justifica a tua resposta utilizando o teorema.

Aplica o Teorema de Cauchy às funções $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ no intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, isto é, com $a = 0$ e $b = \frac{\pi}{2}$. Encontra o valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisfaz a igualdade:

Explica a interpretação geométrica deste resultado em termos da curva paramétrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, com $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Na figura aparecem essa curva, os seus extremos $A = (g(a), f(a))$ e $B = (g(b), f(b))$, a reta secante $AB$ e os incrementos $g(b)-g(a)$ e $f(b)-f(a)$.

Utiliza os teoremas de Bolzano e de Rolle para demonstrar que a equação:

tem exatamente uma solução real no intervalo $[0, 1]$.

Considera-se a função $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Determine um ponto no gráfico da função onde a reta tangente seja paralela à corda que une os pontos da curva com abcissas $x=0$ e $x=4$. Que teorema garante que esse ponto existe? Enuncie as suas hipóteses e verifique se são cumpridas.

Dada a função $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 3}$, pode-se aplicar o Teorema de Rolle no intervalo $[1, 5]$ sabendo que $f(1) = f(5) = 0$?

Justifica a tua resposta analisando a continuidade e a derivabilidade da função no referido intervalo. Em caso negativo, explica se isso contradiz o teorema.

A Autoridade Nacional de Segurança Rodoviária (ANSR) tem instalado um radar de troço na autoestrada A6 para vigiar um percurso de $15\text{ km}$ onde a velocidade máxima legal está fixada em $100\text{ km/h}$. Um veículo ligeiro entra no troço às $11:00:00$ registando uma velocidade pontual de entrada de $90\text{ km/h}$, e sai do troço às $11:08:15$ registando uma velocidade pontual de saída de $95\text{ km/h}$.

1. a) Supondo que a função de posição do veículo $s(t)$ em função do tempo é contínua e diferenciável, calcula a velocidade média do percurso em $\text{km/h}$.
2. b) Enuncia o Teorema do Valor Médio de Lagrange e utiliza-o para justificar se a ANSR pode sancionar legalmente o condutor por excesso de velocidade, fundamentando se é necessário ou não dispor de uma fotografia instantânea intermédia do veículo a circular acima de $100\text{ km/h}$.

Considera a função $f(x) = \sqrt{x}$ definida no intervalo $[1, 9]$.

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo, faz uma estimativa fundamentada: sabendo que a função raiz quadrada tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio (ou seja, a sua primeira derivada é estritamente decrescente e os declives das tangentes vão diminuindo), o ponto $c \in (1, 9)$ no qual a reta tangente é paralela à secante que une os extremos estará situado à esquerda do ponto médio aritmético ($x = 5$), no próprio ponto médio ou à sua direita? Justifica qualitativamente a tua previsão.
2. b) Enuncia o Teorema de Lagrange, verifica que se cumprem as suas hipóteses em $[1, 9]$ e calcula o valor exato de $c$.
3. c) Verifica se o valor numérico obtido confirma a tua estimativa inicial e interpreta geometricamente o resultado.

Seja a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{se } x \le 1 \\ k \ln(x) & \text{se } x > 1 \end{cases}$

Calcula os valores dos parâmetros $a, b, k \in \mathbb{R}$ para que a função $f(x)$ cumpra as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[0, e]$. Depois de encontrares os parâmetros, determina o valor do ponto $c \in (0, e)$ cuja existência o teorema garante.

Demonstre, utilizando conjuntamente o Teorema de Bolzano e o Teorema de Rolle, que a equação:

possui uma única solução real para qualquer valor da constante $k \in \mathbb{R}$. Explique fundamentadamente porque é que a existência de mais de uma raiz entraria em contradição com o enunciado do Teorema de Rolle.

O sistema de registo GPS de um comboio de mercadorias mostra que ele passou pelo ponto quilométrico 150 de uma linha às 10:00:00 h e pelo ponto quilométrico 162 às 10:06:40 h. O limite de velocidade dessa linha é de $100 \text{ km/h}$.

1. a) Utilizando o Teorema do Valor Médio (Lagrange), justifique se o comboio superou em algum momento o limite de velocidade da linha.
2. b) Se a função que descreve a posição do comboio nesse troço é $s(t) = 150 + 2t - 0,03t^2$ (onde $s$ está em km e $t$ em minutos desde que passa pelo primeiro ponto quilométrico), determine o instante exato em que a velocidade instantânea coincide com a velocidade média do percurso.

Dadas as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = x^2 + 1$, aplique o Teorema de Cauchy (Teorema do Valor Médio Generalizado) no intervalo $[0, 2]$.

Determine o valor de $c \in (0, 2)$, correspondente ao ponto $P$ da figura, que satisfaz a tese do teorema:

Considere uma função $f(x)$ derivável em todo o $\mathbb{R}$. Sabe-se que a equação $f'(x) = 0$ tem exatamente duas soluções reais, $x_1 = -2$ e $x_2 = 3$.

Demonstre que a função $f(x)$ não pode ter mais de três raízes reais distintas. É possível que a função tenha apenas uma raiz real? Justifique a sua resposta com base nas interpretações geométricas dos teoremas de derivabilidade.

Utiliza o Teorema do Valor Médio para demonstrar a seguinte desigualdade para qualquer par de números reais $a$ e $b$ tais que $0 < a < b$:

Sugestão: Aplica o teorema à função $f(x) = \ln(x)$ no intervalo $[a, b]$.

Considera-se a função $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determine para que valores do parâmetro $m$ a função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle num intervalo da forma $[0, a]$ com $a > 0$.
2. b) Para $m = 0$, encontre o maior intervalo possível $[p, q]$ onde se possa aplicar o teorema e calcule o ponto $c$ cuja existência é garantida.

Dois corredores, Alba e Bruno, iniciam uma corrida de 100 metros com barreiras ao mesmo tempo e chegam à linha de chegada em empate técnico (mesmo tempo $T$). As suas funções posição são $s_A(t)$ e $s_B(t)$, ambas contínuas em $[0, T]$ e diferenciáveis em $(0, T)$.

Demonstra, utilizando o Teorema de Rolle sobre a função diferença $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que houve pelo menos um instante durante a corrida em que ambos os corredores tinham exatamente a mesma velocidade instantânea.

Pretende-se demonstrar com rigor que a equação $2x^3 + 3x - 4 = 0$ tem exatamente uma solução real no intervalo aberto $(0, 2)$. Para abordar este problema, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• Estratégia A (Bolzano e Monotonia): Demonstrar a existência de pelo menos uma raiz em $(0, 2)$ através do Teorema de Bolzano e, em seguida, demonstrar que a função associada é estritamente crescente em todo o $\mathbb{R}$, analisando o sinal de $f'(x)$ para deduzir a unicidade.

• Estratégia B (Bolzano e Teorema de Rolle): Demonstrar a existência de pelo menos uma raiz com Bolzano e, em seguida, supor por redução ao absurdo que existem duas raízes distintas $x_1 < x_2$ em $(0, 2)$, aplicando o Teorema de Rolle em $[x_1, x_2]$ para alcançar uma contradição com a equação $f'(x) = 0$.

Pedem-se:

1. a) Compara criticamente ambas as estratégias: argumenta por que ambas são válidas e explica qual das duas se revela metodologicamente mais direta quando a primeira derivada não tem raízes reais.
2. b) Escolhe uma das duas estratégias e redige a demonstração completa e rigorosa da existência e unicidade da raiz, verificando explicitamente todas as hipóteses necessárias dos teoremas que utilizares.

Dadas as funções $f(x) = \cos(x)$ e $g(x) = \operatorname{sen}(x)$ definidas no intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$:

1. a) Verifica formalmente se são satisfeitas todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio Generalizado (Teorema de Cauchy) no referido intervalo, justificando com rigor a condição sobre a anulação da derivada do denominador $g'(x)$ no intervalo aberto.
2. b) Encontra o valor exato do ponto $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ cuja existência é assegurada pelo teorema.
3. c) Aplica separadamente o Teorema do Valor Médio de Lagrange a $f(x)$ e a $g(x)$ no mesmo intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, determina analiticamente os pontos intermédios correspondentes $c_1$ e $c_2$, e demonstra que nenhum deles coincide com o valor $c$ obtido mediante o Teorema de Cauchy. Justifica conceptualmente por que razão o Teorema de Cauchy não equivale a aplicar Lagrange de forma independente a cada função.