Exercícios: Curvatura: Concavidade e convexidade. Ponto de inflexão

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realiza os seguintes passos para estudar a sua curvatura (chama-se côncava ($\cap$) à zona em que $f''(x)<0$ e convexa ($\cup$) à zona em que $f''(x)>0$):

1. a) Calcula a segunda derivada $f''(x)$.

1. b) Determina os intervalos de concavidade ($\cap$) e de convexidade ($\cup$).

1. c) Determina as coordenadas do ponto de inflexão.

Observe o gráfico seguinte de uma função $f(x)$ e identifique, visualmente, em que intervalos a função é convexa (concavidade voltada para cima, $\cup$) e em quais é côncava (concavidade voltada para baixo, $\cap$). Indique aproximadamente a abcissa $x$ onde considera que se situa o ponto de inflexão.

Um designer de pistas de skate está a modelar o perfil de uma rampa por meio da função $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, onde $x$ representa a distância horizontal em metros. O designer precisa de saber onde a rampa muda de "tipo montanha" (côncava) para "tipo vale" (convexa) para garantir a transição. Calcule o ponto de inflexão dessa trajetória.

Dada a função $f(x) = x^4 - 2x^3$, estude a sua curvatura. Esta função apresenta algum ponto onde a segunda derivada se anula mas não é um ponto de inflexão? Justifique a sua resposta analisando o sinal de $f''(x)$ de ambos os lados dos pontos singulares da segunda derivada.

Relaciona cada uma das seguintes condições sobre a segunda derivada com a forma do gráfico da função $f(x)$ num intervalo dado:

1. $f''(x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$

2. $f''(x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$

3. $f''(c) = 0$ e existe uma mudança de sinal de $f''(x)$ ao passar por $x = c$.

Utilize os termos: Côncava (concavidade para baixo, $\cap$), Convexa (concavidade para cima, $\cup$) e Ponto de Inflexão.

Encontra o valor do parâmetro $k$ para que a função $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenha um ponto de inflexão em $x = 2$. Uma vez encontrado $k$, indica se a função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo no ponto $x = 0$.

Determine os intervalos de curvatura da função exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. Esta função possui algum ponto de inflexão? Justifique a resposta com base no valor da segunda derivada.

Seja a função $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Embora seja uma função racional, o seu estudo da curvatura no domínio de definição é simples. Na figura aparecem o seu gráfico e as suas assíntotas.

1. Determina $f''(x)$.

2. Estuda o seu sinal nos intervalos correspondentes (tendo em conta que $x=1$ não pertence ao domínio) e relaciona-o com a curvatura que vês em cada ramo do gráfico.

3. Tem pontos de inflexão? Justifica se a mudança de curvatura na assíntota vertical se considera ponto de inflexão.

O Marcos tem de estudar a curvatura da função polinomial $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 2$. No seu exame, escreve o seguinte raciocínio:

«Primeira derivada: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x$.

Segunda derivada: $f''(x) = 12x^2 - 24x + 12 = 12(x - 1)^2$.

Igualo a zero: $12(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$.

Portanto, o gráfico da função muda de concavidade em $x = 1$ e apresenta um ponto de inflexão em $(1, 5)$.»

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro conceptual que o Marcos cometeu. A condição $f''(x_0) = 0$ é suficiente por si só para garantir a existência de um ponto de inflexão?
2. b) Corrige o exercício determinando os intervalos reais de concavidade ($\cap$) e convexidade ($\cup$) de $f(x)$, e conclui justificadamente se o gráfico tem ou não pontos de inflexão.

Delineia a expressão algébrica de uma função cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -5)$.

2. Apresenta um ponto de inflexão no ponto de coordenadas $(2, 3)$.

3. A reta tangente ao gráfico no referido ponto de inflexão tem declive igual a $-4$.

4. A função é côncava ($\cap$) em $(-\infty, 2)$ e convexa ($\cup$) em $(2, +\infty)$.

Calcula fundamentadamente os coeficientes $a, b, c$ e $d$, e verifica explicitamente através do sinal de $f''(x)$ que a condição de curvatura 4 se verifica de forma estrita com os valores que obtiveste.

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realiza um estudo detalhado da sua curvatura (considera côncava $\cup$ onde $f''(x)>0$ e convexa $\cap$ onde $f''(x)<0$). Para isso:

1. a) Determina os intervalos de concavidade e convexidade.

1. b) Determina as coordenadas exatas dos seus pontos de inflexão, se existirem.

Sabe-se que a função polinomial $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tem um ponto de inflexão no ponto $P(1, 2)$ e que o declive da reta tangente nesse ponto é $m = -3$. Calcule os valores dos parâmetros $a, b$ e $c$.

Uma equipa de engenheiros está a projetar uma rampa de salto para um parque de desportos radicais. O perfil da secção central da rampa segue a função $f(x) = (x-2)e^x$ para $x \in [-1, 3]$.

Calcule o valor da abcissa $x$ onde a rampa muda de côncava para convexa (ponto de inflexão). Justifique por que razão, nesse ponto, a rampa atinge o seu máximo declive de descida neste troço.

Dada a função $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determine:

1. Os intervalos onde a função é côncava ($\cap$) e onde é convexa ($\cup$).

2. As coordenadas dos pontos de inflexão.

3. A equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no seu ponto de inflexão de abcissa positiva.

A quantidade de utilizadores ativos numa nova rede social durante os primeiros 6 meses segue aproximadamente a função $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, onde $t$ é o tempo em meses e $N(t)$ é o número de utilizadores em milhares.

1. Calcule o momento exato (valor de $t$) em que o crescimento de utilizadores começa a desacelerar (ponto de inflexão).

2. Explique o significado da curvatura da função antes e depois desse instante em termos de "ritmo de crescimento".

Seja a função definida por ramos:

Calcula os valores de $a$ e $b$ para que a função seja derivável em $x = 0$ e o seu gráfico passe pelo ponto $(\pi, \pi)$. Uma vez calculados, verifica se existe um ponto de inflexão na origem.

Dada a função $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$, pede-se:

1. a) Determinar os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para cima e voltada para baixo, estudando o sinal de $f''(x)$ (considera que o gráfico tem a concavidade voltada para cima, $\cup$, onde $f''(x) > 0$ e voltada para baixo, $\cap$, onde $f''(x) < 0$).

1. b) Determinar os pontos de inflexão da curva.

1. c) O que acontece com a concavidade da função quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$? Justifica a resposta com base no limite da segunda derivada.

Determine os valores de $a$ e $b$ para que a função $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ tenha um ponto de inflexão em $x = 0$ e passe pelo ponto $(1, -1)$. Uma vez encontrados, estude se a função tem mais pontos de inflexão no seu domínio.

Dada a função racional $f(x) = \frac{12}{x^2 + 3}$:

1. a) Estima antes de calcular: Observa que a função é simétrica em relação ao eixo das ordenadas (par), estritamente positiva em todo o $\mathbb{R}$, atinge um máximo relativo em $(0, 4)$ e tem uma assíntota horizontal em $y = 0$ quando $x \to \pm\infty$. A partir unicamente destes dados qualitativos, deduz fundamentadamente se o gráfico deve ter pontos de inflexão, quantos esperarias encontrar no mínimo, em que quadrantes se localizarão e que concavidade deveria apresentar o gráfico perto da origem face a zonas muito afastadas da mesma ($|x| \to \infty$).
2. b) Verifica analiticamente: Calcula $f''(x)$, determina os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para baixo ($\cap$) e para cima ($\cup$), e determina as coordenadas exatas dos pontos de inflexão. Verifica se os resultados analíticos confirmam com precisão as deduções que apresentaste na tua estimativa prévia.

Para analisar a curvatura e classificar os possíveis pontos de inflexão da função $f(x) = x^5 - 5x^4 + 7$, calculas as suas duas primeiras derivadas e obténs $f'(x) = 5x^4 - 20x^3$ e $f''(x) = 20x^2(x - 3)$. Os candidatos a ponto de inflexão são $x = 0$ e $x = 3$.

Dois colegas de turma propõem vias de resolução distintas:

• Método 1 (Derivadas sucessivas): Calcular $f'''(x)$, $f^{(4)}(x)$, etc., e avaliar em cada candidato até encontrar uma derivada de ordem superior que não se anule.

• Método 2 (Estudo do sinal de $f''$): Analisar diretamente o sinal de $f''(x) = 20x^2(x - 3)$ nos intervalos determinados pelos zeros da segunda derivada.

1. a) Aplica o Método 1 para classificar $x = 0$ e $x = 3$.
2. b) Aplica o Método 2 para determinar os intervalos de concavidade e convexidade e classificar ambos os pontos.
3. c) Compara criticamente ambos os métodos para este caso: qual dos dois resulta mais eficiente e por que razão a presença do fator $x^2$ torna o Método 2 especialmente vantajoso face ao Método 1? Que limitação conceptual apresentaria o Método 1 se a função não admitisse derivadas de ordem superior no ponto analisado?

Considera-se a família de funções da forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, onde $a$ e $b$ são parâmetros reais. Sabe-se que o gráfico da função passa pelo ponto $(0, 1)$ e que apresenta um ponto de inflexão no ponto de abcissa $x = 1$.

1. a) Determine os valores de $a$ e $b$.
2. b) Para os valores determinados, estude os intervalos de concavidade e convexidade da função e verifique se existem outros pontos de inflexão adicionais.

Uma equipa de engenheiros está a projetar uma rampa de transição para um novo modelo de skate. A altura da rampa segue a função $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ no intervalo $x \in [-2, 2]$.

1. a) Calcule o valor de $k$ para que a rampa mude a sua curvatura (tenha um ponto de inflexão) exatamente em $x = 0$.
2. b) É possível encontrar um valor de $k$ tal que a função seja sempre convexa ($\cup$) em todo o seu domínio de definição? Justifique a sua resposta analiticamente.

Dada a função $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, onde $a$ é uma constante real não nula:

1. a) Demonstre que se $a > 0$, a função tem sempre exatamente três pontos de inflexão alinhados.
2. b) Se $a = -3$, estude a curvatura da função detalhando os seus intervalos e pontos de inflexão, tendo em conta as descontinuidades da função.

O gráfico seguinte corresponde à função derivada primeira, $f'(x)$, de uma função contínua $f(x)$ definida em todo o $\mathbb{R}$. A partir da informação visual fornecida e limitando-se ao troço representado, $-2 < x < 2$:

1. a) Determine os intervalos de concavidade e convexidade da função original $f(x)$.
2. b) Indique as abcissas dos pontos de inflexão de $f(x)$.
3. c) Sabendo que $f(0) = 0$, faça um esboço do gráfico da função original $f(x)$ com base na sua curvatura.

Seja a função $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.

1. a) Determine a expressão de $f''(x)$ simplificada ao máximo.
2. b) Determine os pontos da curva onde o declive da reta tangente atinge os seus valores máximos ou mínimos relativos. Dica: Lembra-te de que isto ocorre onde muda o sentido da concavidade.
3. c) Estude o sentido da concavidade de $f(x)$.

Deseja-se suavizar a junção de dois troços de estrada. O primeiro troço é dado pela função $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, e o segundo troço por uma função polinomial do terceiro grau $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ para $x > 1$.

Para que a transição seja "perfeitamente suave", os engenheiros exigem que no ponto de junção $x = 1$:

1. As funções coincidam ($f$ seja contínua).

2. Os declives coincidam ($f$ seja diferenciável).

3. A curvatura seja a mesma (as segundas derivadas coincidam).

Sabendo que o segundo troço deve ter um ponto de inflexão em $x = 2$, calcule os valores de $a, b, c$ e $d$.

Considera a função $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.

1. a) Estuda o domínio e as assíntotas da função.
2. b) Determina os intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento) e os extremos relativos.
3. c) Analisa a concavidade e demonstra que não existe nenhum ponto de inflexão.
4. d) Para que valor tende o declive da curva quando $x \to \infty$? Isso altera a concavidade no infinito?

Seja a função $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ definida para $x > 0$.

1. a) Calcule $f'(x)$, $f''(x)$ e $f'''(x)$.
2. b) Determine os intervalos de concavidade e convexidade.
3. c) Existe algum ponto do gráfico onde a reta tangente seja horizontal e, simultaneamente, esse ponto seja um ponto de inflexão? Justifique a sua resposta.
4. d) Estude o comportamento da curvatura quando $x$ se aproxima de $0$ pela direita. Pode dizer-se que há um ponto de inflexão no limite?

De acordo com as projeções do Plano Nacional Integrado de Energia e Clima (PNIEC) em Espanha, a potência acumulada de autoconsumo solar fotovoltaico (em gigawatts, $\text{GW}$) entre os anos de 2018 ($t = 0$) e 2026 ($t = 8$) é modelada através da função logística:

$P(t) = \frac{12}{1 + 8\cdot e^{-0,5t}}$

onde $t$ representa o tempo decorrido em anos desde finais de 2018.

1. a) Determina fundamentadamente o limite de $P(t)$ quando $t \to +\infty$ e interpreta o valor obtido no contexto do modelo (capacidade de saturação da potência instalável).
2. b) Calcula analiticamente a segunda derivada $P''(t)$ e determina o instante exato $t_0$ no qual a função apresenta um ponto de inflexão. Em que ano e mês aproximado ocorreu este marco?
3. c) Estuda o sinal de $P''(t)$ antes e depois de $t_0$. Interpreta que significado têm a convexidade e a concavidade em termos do ritmo de instalação anual ($P'(t)$): durante que período o ritmo de instalação foi acelerado e quando começou a abrandar, apesar de a potência total continuar a aumentar?
4. d) Demonstra algebricamente que em qualquer modelo logístico geral da forma $P(t) = \frac{K}{1 + b\cdot e^{-kt}}$ (com $K, b, k > 0$), o ponto de inflexão é sempre atingido no instante em que a grandeza chega a metade do seu valor limite de saturação ($P(t_0) = \frac{K}{2}$).

No desenho do perfil longitudinal de uma rampa de aceleração para uma atração de um parque temático em Lisboa, é necessário ligar suavemente a cota de saída à plataforma superior. A rampa deve ser representada através de uma função derivável $f(x)$ definida no intervalo $[0, 4]$ (onde $x$ é a distância horizontal em metros e $f(x)$ a altura em metros) que satisfaça:

1. Começa no ponto $(0, 0)$ com declive horizontal ($f'(0) = 0$).

2. Termina no ponto $(4, 2)$ também com declive horizontal ($f'(4) = 0$).

3. Para evitar solavancos bruscos nos passageiros, a curvatura deve variar de forma contínua, passando de convexa ($\cup$) a côncava ($\cap$), existindo exatamente um ponto de inflexão no interior do intervalo $(0, 4)$.

1. a) Demonstra formalmente por que razão é impossível que um polinómio de segundo grau cumpra simultaneamente estas especificações.
2. b) Determina os coeficientes do polinómio de menor grau possível, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, que cumpre as condições de posição e declive nos extremos.
3. c) Para a função cúbica obtida, demonstra que se verifica a condição de curvatura: determina os intervalos de convexidade e concavidade, determina as coordenadas do ponto de inflexão e justifica por que razão na abcissa desse ponto de inflexão a rampa atinge o seu declive máximo, calculando o seu valor exato.