Moda, mediana, media e campo di variazione
Dopo una verifica, la prof di matematica dice: «La media della classe è 6,5». Ma che cosa significa davvero? Tutti hanno preso circa 6,5? Oppure qualcuno ha preso 10 e qualcun altro 3? In questa pagina impari a riassumere tanti dati con pochi numeri e a capire che cosa ci dicono (e che cosa nascondono). Alla fine tornerai a questa domanda.
La moda
Le altezze (in cm) di cinque amici sono: $158$, $162$, $155$, $162$, $170$. Qual è il valore che compare più spesso? È il $162$, che compare due volte.
La moda si può trovare anche per dati non numerici (il colore preferito, lo sport più praticato).
Come costruire una tabella delle frequenze
Per trovare la moda con tanti dati conviene costruire una tabella delle frequenze assolute: la frequenza assoluta di un valore è il numero di volte in cui compare. Scorri l'elenco, conta ogni valore e segna il risultato.
Le altezze (in cm) di sette alunni della classe 3ª B sono: $158$, $162$, $155$, $162$, $170$, $165$, $160$. a) Determina la moda. b) Determina la mediana. c) Calcola il…
Le altezze (in cm) di sette alunni della classe 3ª B sono: $158$, $162$, $155$, $162$, $170$, $165$, $160$.
- a) Determina la moda.
- b) Determina la mediana.
- c) Calcola il campo di variazione.
La mediana
La moda non tiene conto dell'ordine dei valori. La mediana invece cerca il valore «al centro».
Un negozio di Bologna ha registrato il numero di biciclette vendute in sei giorni: $4$, $7$, $5$, $9$, $7$, $6$. a) Calcola la media aritmetica. b) Calcola la mediana.…
Un negozio di Bologna ha registrato il numero di biciclette vendute in sei giorni: $4$, $7$, $5$, $9$, $7$, $6$.
- a) Calcola la media aritmetica.
- b) Calcola la mediana.
- c) Calcola il campo di variazione.
La media aritmetica
Perché funziona? La media è il valore che avrebbero tutti i dati se la somma totale fosse distribuita in parti uguali.
Quando i dati sono in tabella
Se un valore compare più volte, lo moltiplichi per la sua frequenza. In una classe di $20$ alunni:
| Libri letti | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Alunni | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
Somma dei libri: $0\cdot 3 + 1\cdot 5 + 2\cdot 6 + 3\cdot 4 + 4\cdot 2 = 0+5+12+12+8 = 37$. Media: $37 : 20 = 1{,}85$ libri.
La frequenza relativa di un valore è il rapporto tra la sua frequenza assoluta e il totale: per chi ha letto $3$ libri è $\frac{4}{20} = 0{,}2 = 20\%$.
Per la mediana in tabella, scrivi mentalmente i $20$ dati in ordine: i valori centrali sono il decimo e l'undicesimo. I primi $3+5=8$ dati valgono $0$ o $1$, i dati dal $9°$ al $14°$ valgono $2$: la mediana è $2$. La moda è $2$ (frequenza $6$).
Nelle ultime cinque partite la squadra di pallavolo della scuola ha segnato questi punti: $21$, $25$, $18$, $25$, $26$. a) Calcola la media aritmetica dei punti segnati.…
Nelle ultime cinque partite la squadra di pallavolo della scuola ha segnato questi punti: $21$, $25$, $18$, $25$, $26$.
- a) Calcola la media aritmetica dei punti segnati.
- b) Indica la moda.
In una classe di Torino è stato chiesto a 20 alunni quanti libri hanno letto durante l'estate. Risultati: | Libri letti | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---|---| |…
In una classe di Torino è stato chiesto a 20 alunni quanti libri hanno letto durante l'estate. Risultati:
| Libri letti | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Alunni | 3 | 5 | 6 | 4 | 2 |
- a) Calcola la frequenza relativa percentuale di chi ha letto 2 libri.
- b) Calcola la media aritmetica dei libri letti.
- c) Determina moda e mediana della distribuzione.
Una pizzeria di Roma registra per 12 giorni il numero di pizze da asporto vendute: $35$, $42$, $38$, $40$, $35$, $50$, $45$, $38$, $35$, $41$, $44$, $39$. a) Costruisci…
Una pizzeria di Roma registra per 12 giorni il numero di pizze da asporto vendute: $35$, $42$, $38$, $40$, $35$, $50$, $45$, $38$, $35$, $41$, $44$, $39$.
- a) Costruisci la tabella delle frequenze assolute per i valori che compaiono più di una volta.
- b) Determina moda e mediana.
- c) Calcola la media aritmetica.
Il campo di variazione
Due squadre hanno media $20$ punti a partita. La prima segna sempre tra $19$ e $21$, la seconda va da $5$ a $35$. Le medie sono uguali, ma le due squadre sono molto diverse: serve un indice che misuri la dispersione dei dati.
Per le altezze $155, 158, 160, 162, 162, 165, 170$: $170 - 155 = 15$ cm.
Le temperature massime (in °C) registrate a Napoli in una settimana sono: $18$, $20$, $19$, $23$, $21$, $22$, $$x$$ (il valore di domenica è incognito). La media…
Le temperature massime (in °C) registrate a Napoli in una settimana sono: $18$, $20$, $19$, $23$, $21$, $22$, $$x$$ (il valore di domenica è incognito). La media aritmetica della settimana è $20{,}5$ °C.
- a) Calcola la temperatura $x$ di domenica.
- b) Determina la mediana della settimana.
- c) Calcola il campo di variazione.
Dati mancanti e problemi con gli indici
Spesso conosci la media e ti manca un dato. L'idea chiave: somma = media · numero dei dati.
Se i dati devono rispettare più condizioni (moda, mediana, media, campo di variazione), procedi per gradi: scrivi i dati in ordine con dei vuoti, usa il minimo e il campo di variazione per il massimo, la mediana per il valore centrale, la moda per i ripetuti e infine la somma per la media.
In una classe di 5 alunni la media dei voti di matematica è $7$. Dopo l'arrivo di un sesto alunno la media diventa $7{,}5$. a) Calcola il voto del nuovo alunno. b) Se i…
In una classe di 5 alunni la media dei voti di matematica è $7$. Dopo l'arrivo di un sesto alunno la media diventa $7{,}5$.
- a) Calcola il voto del nuovo alunno.
- b) Se i voti dei primi cinque sono tutti interi e il campo di variazione è $2$, con il più basso uguale a $6$, e la moda è $7$, indica un possibile insieme di voti e verificane la media.
- c) Spiega perché la media può cambiare aggiungendo un dato, mentre la moda può non cambiare.
Due classi della scuola di Firenze hanno svolto la stessa verifica. La 3ª A (20 alunni) ha media $6{,}5$; la 3ª C (30 alunni) ha media $7{,}2$. a) Calcola la media…
Due classi della scuola di Firenze hanno svolto la stessa verifica. La 3ª A (20 alunni) ha media $6{,}5$; la 3ª C (30 alunni) ha media $7{,}2$.
- a) Calcola la media complessiva dei 50 alunni.
- b) Nella 3ª A il voto più basso è $4$ e il campo di variazione è $5$. Determina il voto più alto.
- c) Stabilisci se è possibile che la mediana della 3ª C sia inferiore a $6$ con media $7{,}2$. Giustifica la risposta con un esempio o con un ragionamento.
Sono dati sette numeri interi positivi, ordinati in modo crescente, con moda $4$, mediana $5$, media aritmetica $6$ e campo di variazione $8$. a) Determina un possibile…
Sono dati sette numeri interi positivi, ordinati in modo crescente, con moda $4$, mediana $5$, media aritmetica $6$ e campo di variazione $8$.
- a) Determina un possibile insieme di sette numeri che soddisfi tutte le condizioni.
- b) Spiega perché il numero $4$ deve comparire almeno due volte.
- c) Stabilisci se il valore massimo può essere $12$ e giustifica la risposta.
Vuoi sapere se hai capito tutto? Prova ancora con esercizi scelti per te.
In sintesi
Tornando alla domanda iniziale: una media di $6{,}5$ non dice se i voti sono vicini o lontani. Per saperlo serve il campo di variazione.
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Moda: il valore con frequenza più alta (possono essere più di uno).
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Mediana: il valore centrale dei dati ordinati; con un numero pari di dati, la media dei due centrali.
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Media aritmetica: somma dei dati divisa per il loro numero; somma $=$ media $\cdot$ numero dei dati.
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Campo di variazione: massimo $-$ minimo; misura la dispersione.
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Per unire due gruppi somma tutti i dati: non fare la media delle medie.