Studio delle rette

Un gruppo di amici sta progettando un nuovo logo per il proprio club di videogiochi su un foglio a quadretti. Scrivi le coordinate dei punti evidenziati nel grafico che formano i vertici del disegno.

Perché un grafico rappresenti una funzione, a ogni valore della variabile indipendente $x$ deve corrispondere un unico valore della variabile dipendente $y$. Osserva i seguenti grafici e indica motivando quale di essi non è una funzione. Per motivarlo, immagina rette verticali che percorrono ogni grafico e osserva in quanti punti lo intersecano.

Data la funzione lineare $y = -2x$, indica motivando:

• a) Qual è il valore del suo coefficiente angolare ($m$)?

• b) La funzione è crescente o decrescente?

• c) Il grafico passa per l'origine degli assi $(0, 0)$?

Osserva il seguente grafico che mostra il percorso di una persona che cammina a velocità costante. Indica se la relazione tra la distanza percorsa e il tempo è di proporzionalità diretta e calcola la sua costante di proporzionalità (il coefficiente angolare).

Osserva il grafico di una funzione affine. Ogni quadretto della griglia misura 1 unità su ciascun asse.

Esegui i seguenti passaggi:

1. a) Individua visivamente l'ordinata all'origine ($n$), cioè il valore di $y$ nel punto in cui la retta taglia l'asse verticale.

1. b) Calcola il coefficiente angolare ($m$) usando due punti della retta che si trovino esattamente sugli incroci della griglia (ti possono servire i punti segnati in arancione).

1. c) Scrivi l'equazione esplicita della retta nella forma $y = mx + n$.

Un nuovo servizio di streaming musicale offre un abbonamento che costa $3 \text{ €}$ per ogni mese sottoscritto.

• a) Completa la seguente tabella di valori che mette in relazione il tempo in mesi ($x$) con il costo totale ($y$):

• b) Scrivi l'equazione della funzione di proporzionalità diretta che rappresenta questa situazione.

Un parcheggio per biciclette nel centro della città applica una tariffa fissa di $2 \text{ €}$ al giorno, indipendentemente da quante ore lasci parcheggiata la bicicletta.

• a) Rappresenta questa situazione mediante una tabella di valori (ore e costo).

• b) Che tipo di funzione è: lineare, affine o costante?

• c) Qual è la sua equazione?

Associa ciascuna delle seguenti equazioni di rette alla descrizione corrispondente:

1. $y = 3$

2. $x = -2$

3. $y = 3x$

4. $y = -x + 3$

A) Retta che passa per l'origine e ha coefficiente angolare positivo.

B) Funzione costante che rappresenta una retta orizzontale.

C) Retta con coefficiente angolare negativo e ordinata all'origine uguale a $3$.

D) Retta verticale che non rappresenta una funzione.

Trova il coefficiente angolare ($m$) e l'ordinata all'origine ($n$) della retta rappresentata nel seguente grafico. Quindi scrivi la sua equazione nella forma $y = mx + n$.

Trova l'equazione della retta che passa per i punti $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$. Per farlo:

1. Calcola prima il coefficiente angolare $m$ con la formula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Sostituisci il coefficiente angolare e uno dei punti nell'equazione $y = mx + n$ per trovare il valore di $n$.

3. Scrivi l'equazione finale e di' se la funzione è crescente o decrescente, giustificando la risposta in base al valore del coefficiente angolare.

Un creatore di contenuti digitali ha analizzato la crescita dei suoi follower. Durante il primo mese, la sua crescita ha seguito una funzione lineare che passava per i punti $A(2, 500)$ e $B(5, 1250)$, dove $x$ è il giorno del mese e $y$ il numero di follower. Tuttavia, a partire dal giorno 15, a causa di un video virale, la sua crescita è diventata un'altra funzione lineare parallela alla precedente ma che al giorno $x = 16$ raggiungeva già i $5000$ follower.

a) Trova l'equazione della funzione lineare del primo tratto (giorni da 1 a 15).

b) Trova l'equazione della nuova funzione a partire dal giorno 15.

c) Quanti follower aveva il giorno 20 secondo questa seconda funzione?

Un drone si trova inizialmente a un'altezza di $40$ metri. Premendo il pulsante di "ritorno alla base", il drone comincia a scendere in modo costante a una velocità di $4$ metri al secondo. La figura mostra solo l'inizio della discesa.

1. a) Definisci la variabile indipendente e quella dipendente di questo problema.

1. b) Scrivi l'equazione della funzione che mette in relazione l'altezza del drone ($y$) con il tempo trascorso ($x$) da quando è stato premuto il pulsante.

1. c) Qual è l'altezza del drone dopo $6$ secondi? Quanto tempo impiega ad atterrare completamente (altezza $0$)?

Chiara sta risparmiando dei soldi in un salvadanaio. All'inizio ha $15\ €$ e ogni settimana decide di metterci $2,50\ €$ della sua paghetta.

1. a) Completa la seguente tabella di valori:

1. b) Scrivi l'equazione della funzione.
2. c) Se Chiara vuole comprarsi un videogioco che costa $55\ €$, quante settimane dovrà aspettare secondo questa funzione?

La batteria di un computer portatile si scarica in modo lineare. Alle 10:00 del mattino la batteria era al $90\%$. Alle 12:30 il livello era sceso al $45\%$.

a) Se chiamiamo $x$ il tempo trascorso in ore dalle 10:00, trova l'equazione della funzione che dà la percentuale di batteria rimanente.

b) Qual è il coefficiente angolare della funzione? Spiega il suo significato in questo contesto reale.

c) A che ora esatta la batteria si esaurirà completamente se il consumo resta lo stesso?

Si sa che una funzione affine ha come rappresentazione grafica una retta che passa per il punto $A(3, -2)$. Inoltre, sappiamo che questa retta forma con gli assi coordinati un triangolo la cui area è di $4$ unità quadrate, e la sua ordinata all'origine è un numero intero positivo.

a) Determina il valore dell'ordinata all'origine ($n$).

b) Calcola il coefficiente angolare ($m$) della retta.

c) Scrivi l'equazione della retta e verifica che il punto $A$ le appartiene.

Date le funzioni $f(x) = ax + 3$ e $g(x) = -2x + b$:

a) Se le due rette sono parallele e la retta $g(x)$ passa per il punto $P(1, 4)$, calcola i valori di $a$ e $b$.

b) Una volta trovati $a$ e $b$, calcola il punto in cui la retta $f(x)$ taglia l'asse delle ascisse (asse $X$).

c) Una di queste funzioni è una funzione costante? Giustifica la risposta.

Un serbatoio d'acqua da $1000$ litri ha una perdita. Ogni ora che passa, il volume d'acqua diminuisce di una quantità costante. Dopo $3$ ore dal rilevamento della perdita, rimangono $850$ litri.

a) Trova l'equazione della funzione affine che mette in relazione il tempo trascorso ($x$) con il volume d'acqua nel serbatoio ($y$).

b) Se la perdita non viene riparata, quanta acqua rimarrà dopo $10$ ore?

c) Rappresenta la funzione su assi come quelli della figura e indica il dominio e il codominio della funzione tenendo conto del contesto fisico del problema (il tempo non può essere negativo e il volume non può essere minore di zero).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina l'equazione della retta che soddisfa le due condizioni seguenti:

• È parallela alla retta $y = -3x + 5$.

• Passa per il punto $P(0, 4)$.

Spiega quale caratteristica devono avere in comune due rette per essere parallele e come hai usato il punto $P$ per trovare l'ordinata all'origine.

Disegna nello stesso sistema di assi cartesiani i grafici delle funzioni $y = 2x - 1$ e $y = 2x + 3$.

1. a) Quale relazione geometrica osservi tra le due rette?

1. b) Giustifica la tua risposta precedente confrontando le loro equazioni.

1. c) Queste due rette si intersecheranno in qualche punto? Motiva la tua risposta.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In una gara di droni, il "Drone A" segue una traiettoria rettilinea rappresentata dalla funzione $y = \frac{3}{2}x + 2$. Si vuole lanciare un "Drone B" la cui traiettoria sia una retta parallela a quella del "Drone A", ma che passi obbligatoriamente per il punto in cui si trova un segnalatore situato nelle coordinate $P(-4, -1)$.

a) Determina l'equazione della funzione affine che descrive la traiettoria del "Drone B".

b) In quale punto la traiettoria del "Drone B" taglierà l'asse delle ordinate (asse $Y$)?

c) Rappresenta graficamente entrambe le traiettorie e indica se una di esse è una funzione di proporzionalità diretta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due aziende di noleggio di monopattini elettrici hanno tariffe diverse. L'azienda EcoRolling fa pagare $0,20\ €$ per ogni minuto di utilizzo senza quota fissa. L'azienda FastGlide fa pagare una quota fissa di $2\ €$ per sbloccare il monopattino e poi $0,10\ €$ per ogni minuto. Nel grafico sono rappresentate le due tariffe.

1. a) Scrivi la funzione che mette in relazione il costo totale ($y$) con il tempo di utilizzo in minuti ($x$) per ciascuna delle due aziende.

1. b) Indica quale delle due è una funzione di proporzionalità diretta (lineare) e quale è una funzione affine.

1. c) A partire da quanti minuti di percorso l'opzione di FastGlide diventa più economica?

Due compagnie di fibra ottica offrono le seguenti tariffe mensili:

• NetRapido: $20$ € fissi al mese più $0,50$ € per ogni GB di download extra.

• FibraTotale: Senza costo fisso, ma fa pagare $1,30$ € per ogni GB di download.

a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il costo mensile ($y$) con i GB extra ($x$) per ciascuna compagnia.

b) A partire da quanti GB di download extra la compagnia NetRapido diventa più conveniente? (Trova il punto di intersezione delle due rette).

c) Se in un mese consumi $30$ GB extra, qual è la differenza di prezzo tra le due?

Trova l'equazione della retta $r$ che soddisfa contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. È decrescente.

2. Il suo coefficiente angolare è il doppio (in valore assoluto) del coefficiente angolare della retta che passa per i punti $C(0, 1)$ e $D(2, 2)$.

3. Passa per il punto di intersezione delle rette $y = 2x - 5$ e $y = 3$.

a) Calcola prima il coefficiente angolare della retta che passa per $C$ e $D$.

b) Determina il punto di intersezione menzionato al punto 3.

c) Scrivi l'equazione finale della retta $r$.