L'insieme dei numeri interi

In una partita a un videogioco di sopravvivenza, le azioni del tuo personaggio influiscono sui suoi punti esperienza. Esprimi con un numero intero le seguenti situazioni:

1. a) Trovi uno scrigno e guadagni $450$ punti.
2. b) Un nemico ti sconfigge e perdi $125$ punti.
3. c) Cadi in una trappola e il tuo punteggio scende di $50$ punti.
4. d) Completi una missione secondaria e ricevi $80$ punti.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. a) Il numero $-7$ è un numero naturale ($\mathbb{N}$).
2. b) Tutti i numeri naturali sono anche numeri interi ($\mathbb{Z}$).
3. c) Il valore assoluto di un numero è sempre positivo o nullo.
4. d) L'opposto di un numero negativo è sempre negativo.

Un servizio meteorologico ha registrato le seguenti variazioni termiche nella stazione di montagna di un passo alpino durante una giornata invernale: alle 6:00 il termometro segnava $5$ gradi sotto zero; alle 13:00 la temperatura era salita di $7$ °C rispetto alla mattina; infine, alle 22:00 il termometro è sceso di $4$ °C rispetto a mezzogiorno.

1. a) Modellizza la situazione assegnando un numero intero alla temperatura registrata in ciascuno dei tre momenti indicati ($6:00$ h, $13:00$ h e $22:00$ h).
2. b) Classifica ciascuno dei tre numeri interi ottenuti indicando a quale insieme appartiene: ai numeri naturali $\mathbb{N}$, solo all'insieme $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, o a entrambi gli insiemi? Giustifica la tua classificazione ricordando la relazione $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
3. c) Un giornalista televisivo afferma: «Alle 13:00 la temperatura era un numero intero, ma non naturale». Ragiona se l'affermazione del giornalista è corretta o falsa.

Confronta le seguenti coppie di numeri utilizzando i segni $<$ (minore di) o $>$ (maggiore di):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Considera due numeri interi $a$ e $b$. Si sa che $a$ è un numero negativo e $b$ è un numero positivo. Indica se le seguenti affermazioni sono sempre vere, a volte vere o sempre false, giustificando la risposta con un esempio:

1. a) $|a|$ è sempre maggiore di $b$.
2. b) L'opposto di $b$ è sempre minore di $a$.
3. c) Il valore assoluto di $a$ è sempre un numero positivo.
4. d) $b$ è sempre maggiore di $a$.

Stabilisci, motivando, se le seguenti affermazioni sono vere o false, fornendo un controesempio nel caso siano false:

1. a) Se un numero intero $a$ è minore di $b$, allora il valore assoluto di $a$ è sempre minore del valore assoluto di $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) L'opposto del valore assoluto di qualsiasi numero intero (diverso da zero) è sempre un numero negativo.
3. c) Non esiste alcun numero intero il cui valore assoluto sia uguale al suo opposto.

Scrivi tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le due condizioni seguenti:

1. Il loro valore assoluto è minore o uguale a $4$: $|x| \le 4$.

2. Sono maggiori dell'opposto di $2$: $x > Op(+2)$.

Ordina i seguenti numeri dal minore al maggiore, mettendo per primi i valori negativi e usando i corrispondenti segni di disuguaglianza:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Determina tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

• Il loro valore assoluto è maggiore di $5$ e minore o uguale a $9$.

• Il numero $x$ non appartiene all'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$.

• $x$ è un numero pari.

Rappresenta graficamente sulla retta numerica l'insieme delle soluzioni ottenute. Puoi usare come guida questa retta, che non è segnata:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Luca ha il punto $A(-4, 6)$ collocato in un sistema di coordinate cartesiane e vuole trovare il suo simmetrico rispetto all'asse $x$. Sul quaderno scrive la seguente spiegazione:

«Poiché l'asse $x$ è la retta orizzontale, per fare una simmetria rispetto a esso devo cambiare il segno della prima coordinata, che è quella orizzontale. Quindi il punto simmetrico è $A'(4, 6)$».

1. a) Spiega con un ragionamento quale errore concettuale commette Luca, basandoti sulla distanza del punto dall'asse di simmetria orizzontale.
2. b) Scrivi le coordinate corrette del simmetrico di $A$ rispetto all'asse $x$ e anche quelle del suo simmetrico rispetto all'asse $y$.
3. c) Se un punto $B(0, -5)$ si trova sull'asse $y$, qual è il suo simmetrico rispetto a quello stesso asse? Giustifica la risposta usando il concetto di numero opposto.

In una griglia di coordinate, tre dei vertici di un rettangolo sono i punti $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ e $C(2, -1)$.

1. a) Determina le coordinate del quarto vertice $D$ per completare il rettangolo.
2. b) Calcola il perimetro del rettangolo sapendo che ogni unità della griglia equivale a $1$ metro.
3. c) Qual è il punto simmetrico del vertice $A$ rispetto all'asse delle ascisse (asse orizzontale)? Indica le sue coordinate come numeri interi.

In una classe seconda della scuola media ci si chiede come trovare le coordinate del punto ottenuto applicando due simmetrie consecutive a un punto generico $P(x, y)$ con coordinate intere non nulle: prima rispetto all'asse $x$ e poi, al punto ottenuto, rispetto all'asse $y$. Due studenti propongono strade diverse:

• Metodo di Sergio: Sceglie un punto concreto, per esempio $P(-3, 5)$. Applica la simmetria rispetto all'asse $x$ ottenendo $P_1(-3, -5)$, e poi la simmetria rispetto all'asse $y$ su $P_1$, ottenendo $P_2(3, -5)$. Poiché osserva che entrambe le coordinate hanno cambiato segno rispetto a $P$, conclude che questa regola vale per qualsiasi punto del piano.

• Metodo di Lucia: Applica le regole algebriche con le lettere: rispetto all'asse $x$, il punto $(x, y)$ si trasforma in $(x, op(y)) = (x, -y)$; poi, rispetto all'asse $y$, un punto $(a, b)$ si trasforma in $(op(a), b) = (-a, b)$, per cui applicandolo a $(x, -y)$ si ottiene $(-x, -y)$.

1. a) Valuta entrambi i metodi: quale dei due dimostra con rigore matematico che la proprietà è vera per tutti i numeri interi del piano e perché l'altro metodo fornisce soltanto una congettura particolare?
2. b) Applica la conclusione generale per trovare direttamente le coordinate finali di $Q(15, -42)$ dopo queste due riflessioni successive, senza calcolare il punto intermedio.
3. c) Se si applicasse poi una terza simmetria, ancora rispetto all'asse $x$, quali coordinate avrebbe il punto finale in funzione di quelle iniziali $(x, y)$? A quale simmetria semplice equivalgono queste tre riflessioni insieme?