Volume dei solidi
Quanta acqua entra nella piscina comunale della tua città? Quanto gelato c'è in un cono da passeggio? Sono domande sul volume: la misura dello spazio occupato da un solido.
Prismi e cilindri
Un prisma o un cilindro si possono immaginare come una «pila» di basi tutte uguali, una sopra l'altra. Il volume è l'area della base per l'altezza:
$$V = A_b \cdot h \qquad \text{Parallelepipedo rettangolo: } V = a \cdot b \cdot c \qquad \text{Cilindro: } V = \pi r^2 h$$Se la base non è un rettangolo o un cerchio, calcola prima la sua area: triangolo $A_b = \frac{b \cdot h_t}{2}$, trapezio $A_b = \frac{(B + b) \cdot h_t}{2}$, poligono regolare $A_b = \frac{\text{perimetro} \cdot \text{apotema}}{2}$ (l'esagono regolare si divide anche in $6$ triangoli equilateri di lato $l$).
Hai comprato un nuovo smartphone e vuoi calcolare il volume della sua scatola per sapere quanto spazio occuperà sulla tua mensola. La scatola è un parallelepipedo…
Hai comprato un nuovo smartphone e vuoi calcolare il volume della sua scatola per sapere quanto spazio occuperà sulla tua mensola. La scatola è un parallelepipedo rettangolo con le seguenti dimensioni: $16 \text{ cm}$ di lunghezza, $9 \text{ cm}$ di larghezza e $5 \text{ cm}$ di altezza. Calcola il suo volume in $\text{cm}^3$.
Una famosa marca di bibite usa lattine cilindriche per le sue bevande. Se il raggio di base della lattina è $3 \text{ cm}$ e la sua altezza è $12 \text{ cm}$, calcola il…
Una famosa marca di bibite usa lattine cilindriche per le sue bevande. Se il raggio di base della lattina è $3 \text{ cm}$ e la sua altezza è $12 \text{ cm}$, calcola il volume di bibita che la lattina può contenere. (Usa $\pi \approx 3,14$).
Una nota marca di frullati ha progettato un nuovo contenitore cilindrico per la sua edizione limitata estiva. Il barattolo ha un diametro di $8\text{ cm}$ e un'altezza…
Una nota marca di frullati ha progettato un nuovo contenitore cilindrico per la sua edizione limitata estiva. Il barattolo ha un diametro di $8\text{ cm}$ e un'altezza di $15\text{ cm}$. Se il produttore indica che il frullato occupa il $90\%$ della capacità totale del contenitore per lasciare spazio all'aria, calcola quanti millilitri ($ml$) di prodotto contiene ogni barattolo.
Piramidi e coni: un terzo
Se riempi d'acqua una piramide e la versi in un prisma con la stessa base e la stessa altezza, servono esattamente tre piramidi per riempirlo. Lo stesso accade tra cono e cilindro. È una verifica sperimentale (il «travaso»), come si fa in laboratorio con la sabbia o con l'acqua.
$$V_{piramide} = \frac{A_b \cdot h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Tronco di piramide
Se tagli una piramide con un piano parallelo alla base e togli la parte superiore, resta un tronco di piramide. Ha due basi, di area $A_1$ (maggiore) e $A_2$ (minore), e altezza $h$. Il suo volume è la differenza tra il volume della piramide intera e quello della piramide tagliata, che è simile a quella intera. Con questo ragionamento si ottiene:
$$V_{tronco} = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)$$Se devi trovare il lato di una sezione a una certa altezza, usa la similitudine: i lati corrispondenti sono in proporzione con le distanze dal vertice.
Hai un fermacarte di vetro a forma di piramide quadrangolare regolare. L'area della sua base quadrata è $25 \text{ cm}^2$ e l'altezza della piramide è $9 \text{ cm}$.…
Hai un fermacarte di vetro a forma di piramide quadrangolare regolare. L'area della sua base quadrata è $25 \text{ cm}^2$ e l'altezza della piramide è $9 \text{ cm}$. Calcola il volume di vetro necessario per realizzare questo fermacarte.
Un'azienda di profumi lancia una fragranza in un flacone a forma di cono retto. Il raggio della base è $3\text{ cm}$ e l'apotema misura $5\text{ cm}$. Calcola il volume…
Un'azienda di profumi lancia una fragranza in un flacone a forma di cono retto. Il raggio della base è $3\text{ cm}$ e l'apotema misura $5\text{ cm}$. Calcola il volume di profumo che sta nel flacone espresso in centimetri cubi. Aiuto: prima dovrai trovare l'altezza del cono usando il teorema di Pitagora.
Un serbatoio d'acqua ha la forma di un tronco di piramide quadrangolare regolare. Gli spigoli delle basi misurano $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$ rispettivamente. L'altezza…
Un serbatoio d'acqua ha la forma di un tronco di piramide quadrangolare regolare. Gli spigoli delle basi misurano $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$ rispettivamente. L'altezza del serbatoio è $3\text{ m}$. Se il serbatoio è pieno fino a tre quarti della sua altezza (cioè l'acqua raggiunge i $2,25\text{ m}$ dalla base), quanti litri d'acqua contiene? (Nota: dovrai usare la similitudine per trovare il lato della superficie dell'acqua).
Calcola il volume di una piramide esagonale regolare il cui spigolo laterale misura $13\text{ cm}$ e il lato della base misura $10\text{ cm}$. Ricorda che in un esagono…
Calcola il volume di una piramide esagonale regolare il cui spigolo laterale misura $13\text{ cm}$ e il lato della base misura $10\text{ cm}$. Ricorda che in un esagono regolare il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato. Esprimi il risultato in $cm^3$ approssimando alle unità.
Il principio di Cavalieri
Due solidi con la stessa altezza, tali che le sezioni fatte a una stessa distanza dalla base abbiano sempre la stessa area, hanno lo stesso volume. Immagina due pile di monete: se ogni moneta ha la stessa area, la pila ha lo stesso volume anche se è storta. Per questo un prisma e un cilindro con la stessa area di base $A_b$ e la stessa altezza $h$ hanno entrambi $V = A_b \cdot h$, qualunque sia la forma della base.
La sfera
Il volume della sfera dipende dal cubo del raggio:
$$V_{sfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$Una pallina da ping-pong ha un raggio di $2 \text{ cm}$. Calcola il volume della pallina da ping-pong in $\text{cm}^3$. (Usa la formula del volume della sfera…
Una pallina da ping-pong ha un raggio di $2 \text{ cm}$. Calcola il volume della pallina da ping-pong in $\text{cm}^3$. (Usa la formula del volume della sfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ e prendi $\pi \approx 3,14$).
Il principio di Cavalieri afferma che due solidi con la stessa altezza e le cui sezioni a una stessa distanza dalla base hanno la stessa area, hanno lo stesso volume.…
Il principio di Cavalieri afferma che due solidi con la stessa altezza e le cui sezioni a una stessa distanza dalla base hanno la stessa area, hanno lo stesso volume. Confronta un prisma esagonale regolare di altezza $20\text{ cm}$ e area di base $30\text{ cm}^2$ con un cilindro della stessa altezza e della stessa area di base. Se versiamo $0,5\text{ litri}$ di acqua in ciascuno, quale si riempirà per primo? Giustifica la tua risposta calcolando il volume di entrambi.
In un museo della scienza c'è un'esposizione interattiva con una sfera di vetro piena di un gas nobile. Se il diametro della sfera è $60\text{ cm}$, qual è il volume di…
In un museo della scienza c'è un'esposizione interattiva con una sfera di vetro piena di un gas nobile. Se il diametro della sfera è $60\text{ cm}$, qual è il volume di gas al suo interno? Esprimi il risultato in metri cubi ($m^3$).
Nel laboratorio di fisica, gli studenti immergono completamente una sfera di piombo in un recipiente cilindrico pieno d'acqua fino a metà. Il raggio del recipiente è…
Nel laboratorio di fisica, gli studenti immergono completamente una sfera di piombo in un recipiente cilindrico pieno d'acqua fino a metà. Il raggio del recipiente è $10\text{ cm}$. Immergendo la sfera, il livello dell'acqua sale esattamente di $4,5\text{ cm}$ senza traboccare. Qual è il raggio della sfera di piombo? Esprimi il risultato in centimetri con due cifre decimali.
Solidi composti
Molti oggetti reali sono formati da più solidi: un silo (cilindro + semisfera), un trofeo (prisma + piramide), il Pantheon (cilindro + semisfera). Si scompone il solido, si calcola il volume di ogni parte e poi si sommano i volumi (oppure si sottrae quello di un foro o di una cavità).
Per una cupola o una parte a forma di semisfera serve la metà del volume della sfera: $$V_{semisfera} = \frac{2}{3}\pi r^3$$
Un silo per lo stoccaggio di cereali ha una forma composta: un corpo cilindrico di altezza $10\text{ m}$ e una cupola semisferica nella parte superiore. Se il raggio…
Un silo per lo stoccaggio di cereali ha una forma composta: un corpo cilindrico di altezza $10\text{ m}$ e una cupola semisferica nella parte superiore. Se il raggio della base è $4\text{ m}$, calcola la capacità totale del silo in ettolitri ($hl$).
Un pezzo industriale di acciaio ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Per alleggerirne il…
Un pezzo industriale di acciaio ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Per alleggerirne il peso, è stato praticato un foro cilindrico che attraversa il pezzo dall'alto in basso sulla sua faccia più grande. Il raggio del cilindro è $2\text{ cm}$. Sapendo che la densità dell'acciaio è $7,85\text{ g/cm}^3$, calcola la massa totale del pezzo in chilogrammi. (Usa $\pi \approx 3,14$).
Un'azienda di profumi vende la sua fragranza di punta in un flacone costituito da un cilindro di vetro di diametro $4\text{ cm}$ e altezza $10\text{ cm}$, sormontato da…
Un'azienda di profumi vende la sua fragranza di punta in un flacone costituito da un cilindro di vetro di diametro $4\text{ cm}$ e altezza $10\text{ cm}$, sormontato da un tappo a forma di cono con la stessa base e altezza $3\text{ cm}$. Se il flacone viene riempito solo fino al $85\%$ della sua capacità totale per lasciare spazio all'aria, quanti millilitri ($ml$) di profumo contiene ogni flacone? (Usa $\pi \approx 3,1416$).
Torniamo all'inizio: per la piscina basta il volume di un parallelepipedo rettangolo (lunghezza · larghezza · profondità); per il cono gelato si calcola un terzo del cilindro corrispondente, circa $94$ ml per un cono di raggio $3$ cm e altezza $10$ cm.