Teorema di Pitagora e radice quadrata

La radice quadrata

Un quadrato ha area $49\ \text{cm}^2$. Quanto misura il lato? Cerchi un numero che, moltiplicato per sé stesso, dia $49$: è $7$, perché $7 \cdot 7 = 49$.

Alcuni esempi:

• $\sqrt{144} = 12$, perché $12^2 = 144$;

• $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$, perché $0{,}7^2 = 0{,}49$ (attenzione ai decimali: $0{,}7 \cdot 0{,}7$ dà due cifre decimali);

• $\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}$, perché la radice di una frazione è la frazione delle radici: $\dfrac{3^2}{5^2}=\dfrac{9}{25}$.

I numeri come $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, \dots$ sono i quadrati perfetti. Per gli altri numeri, come $\sqrt{2}$ o $\sqrt{405}$, la radice non è un numero «tondo»: si usa il simbolo $\sqrt{\ }$ (valore esatto) oppure un'approssimazione con la calcolatrice.

Per stimare una radice si cercano i due quadrati perfetti tra cui il numero è compreso. Esempio: $\sqrt{50}$. Poiché $49 < 50 < 64$, si ha $7 < \sqrt{50} < 8$. Più precisamente $7{,}0^2=49$ e $7{,}1^2 = 50{,}41$, quindi $7 < \sqrt{50} < 7{,}1$.

Il teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo i due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti, il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa (il lato più lungo).

Perché funziona? Perché le aree dei due quadrati sui cateti, messe insieme, riempiono esattamente il quadrato sull'ipotenusa. Prova a cambiare i cateti qui sotto e osserva le aree.

Il teorema si può anche invertire: se in un triangolo di lati $a$, $b$, $c$ (con $c$ il più lungo) vale $c^2 = a^2 + b^2$, allora il triangolo è rettangolo. Per esempio $6$, $8$, $10$ formano un triangolo rettangolo: $36 + 64 = 100$. Le terne come $3, 4, 5$ o $5, 12, 13$ si dicono terne pitagoriche.

Pitagora nelle figure e nei problemi

Il trucco è trovare il triangolo rettangolo nascosto nella figura. Eccolo nei casi più frequenti:

• rettangolo: la diagonale lo divide in due triangoli rettangoli, con i lati come cateti e la diagonale come ipotenusa;

• triangolo isoscele: l'altezza relativa alla base lo divide in due triangoli rettangoli uguali; l'ipotenusa è il lato obliquo e un cateto è metà base;

• trapezio rettangolo: se dall'estremo della base minore si traccia la perpendicolare alla base maggiore, si ottiene un triangolo rettangolo con ipotenusa il lato obliquo e un cateto uguale alla differenza delle basi;

• scala appoggiata a un muro: muro, suolo e scala formano un triangolo rettangolo.

Quando un problema chiede il valore di una radice che non è un numero intero, scrivi prima il risultato esatto e poi, se serve, l'approssimazione. Chiudiamo il caso di Marco: la diagonale del campo $9 \times 18$ è

Poiché $20^2 = 400$ e $21^2 = 441$, si ha $20 < d < 21$; con $20{,}1^2 = 404{,}01$ e $20{,}2^2 = 408{,}04$ si ottiene $20{,}1 < d < 20{,}2$. La diagonale è lunga circa $20{,}1$ m.

Per i triangoli ricorda anche che l'area si può calcolare con qualsiasi coppia base-altezza: $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$. Se conosci l'area e il lato obliquo $l$, l'altezza relativa a quel lato è $h_l = \dfrac{2A}{l}$. Per il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo vale $r = \dfrac{A}{p}$, con $p$ il semiperimetro (metà del perimetro).

√2 non è un numero razionale

Un quadrato di lato $1$ dm ha la diagonale $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ dm. Ma quanto vale $\sqrt{2}$? Proviamo con i decimali:

Poiché $1{,}96 < 2 < 2{,}25$, vale $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$; e anche $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$. Ci si può avvicinare quanto si vuole, ma non si arriva mai a una frazione esatta. I decimali di $\sqrt{2} = 1{,}41421356\dots$ non finiscono e non si ripetono con un periodo.

Possiamo dimostrarlo con un ragionamento per assurdo: supponiamo che la tesi sia falsa e arriviamo a una contraddizione.

La distanza nel piano cartesiano

Pitagora serve anche per misurare la distanza tra due punti del piano cartesiano. Se i punti sono sulla stessa retta orizzontale o verticale, basta sottrarre le coordinate. Altrimenti si costruisce un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi.

In sintesi

• $\sqrt{a}$ è il numero non negativo che, elevato al quadrato, dà $a$. Per i numeri che non sono quadrati perfetti si stima tra due decimali consecutivi.

• Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo $c^2 = a^2 + b^2$. L'ipotenusa si trova sommando i quadrati dei cateti, un cateto sottraendo.

• Inverso: se $c^2 = a^2 + b^2$ il triangolo è rettangolo.

• Nelle figure cerca il triangolo rettangolo: diagonale del rettangolo, altezza dell'isoscele, lato obliquo del trapezio rettangolo.

• $\sqrt{2}$ è irrazionale: la dimostrazione procede per assurdo.

• Distanza nel piano: $\overline{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.