Prodotti notevoli

Lucia vuole progettare un tappeto quadrato per la sua camera. Il lato del tappeto misura $(x + 4)$ metri.

1. a) Scrivi l'espressione dell'area del tappeto come quadrato di un binomio.
2. b) Sviluppa il binomio per ottenere il polinomio che rappresenta l'area.

In una verifica di seconda media, Lucia ha svolto lo sviluppo dell'espressione $(2x - 3)^2$ scrivendo direttamente: $4x^2 - 9$. Il suo insegnante le ha indicato che la risposta è errata perché contiene due errori concettuali in quell'unico passaggio.

1. a) Individua i due errori commessi da Lucia (uno relativo al segno dell'ultimo termine e uno relativo ai termini mancanti nello sviluppo).
2. b) Applica la proprietà distributiva moltiplicando $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ termine a termine per spiegarle chiaramente da dove nasce ogni elemento e scrivi l'espressione finale corretta e semplificata.

Completa gli spazi vuoti affinché le seguenti uguaglianze siano corrette:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Sviluppa le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli per trasformarle in un polinomio ordinato:

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Abbina sul quaderno ogni prodotto notevole alla sua espressione sviluppata corrispondente:

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

I prodotti notevoli servono anche per eseguire rapidi calcoli a mente con numeri grandi. Utilizza il prodotto di una somma per una differenza $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ per calcolare i seguenti prodotti in modo ingegnoso:

1. a) $52 \cdot 48$ (Suggerimento: considera $50 + 2$ e $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Sviluppa le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli e semplifica i termini simili ove possibile:

1. a) $\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{4}{5} \right)^2$

1. b) $(2x^3 + 5y)^2 - (2x^3 - 5y)^2$

1. c) $(x^2 - 3)(x^2 + 3) - (x^2 - 1)^2$

Nadia e Diego stanno facendo i compiti di matematica e hanno commesso alcuni errori comuni. Individua quale delle seguenti uguaglianze è errata e correggila sul quaderno spiegando perché è sbagliata:

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Un errore molto comune quando si iniziano i prodotti notevoli è pensare che il quadrato di una somma sia semplicemente la somma dei quadrati. Per esempio:

È vero che $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$?

Per verificarlo, calcola il valore numerico di entrambe le espressioni per $x = 2$ e spiega se i risultati sono uguali o diversi.

Osserva la seguente figura che rappresenta un quadrato di lato $(x + 3)$ dal quale è stato ritagliato un quadrato interno di lato $(x - 1)$. Utilizza i prodotti notevoli per scrivere un'espressione semplificata che rappresenti l'area ombreggiata in arancione.

Un comune vuole progettare una nuova piazza quadrata. Al centro ci sarà un'area verde, anch'essa quadrata, circondata da un percorso di piastrelle di larghezza costante.

Se il lato totale della piazza misura $(3x + 2)$ metri e il lato del giardino centrale misura $(3x - 2)$ metri, calcola il polinomio semplificato che rappresenta l'area destinata unicamente al percorso di piastrelle.

Trova l'area della zona ombreggiata nella seguente figura. Esprimi il risultato come un polinomio semplificato in funzione di $x$. Il lato del quadrato esterno misura $2x+3$ e il lato del quadrato interno bianco misura $2x-3$.

Copia e completa sul quaderno i termini mancanti affinché queste espressioni formino un quadrato di un binomio o una differenza di quadrati:

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Trova il termine mancante in ciascuna espressione affinché il trinomio sia il risultato del quadrato di una somma o di una differenza (quadrato perfetto). Poi scrivi la potenza corrispondente:

1. a) $16x^4 + \dots + 9y^2$

1. b) $\frac{1}{4}x^2 - 5x + \dots$

1. c) $49a^6 - 28a^3b + \dots$

Per calcolare a mente il risultato dell'operazione $105^2 - 95^2$ senza usare la calcolatrice, Marco ed Elena propongono due strategie diverse:

• Metodo di Marco: eseguire separatamente le due moltiplicazioni tradizionali, $105 \cdot 105$ e $95 \cdot 95$, e poi sottrarre il secondo risultato dal primo.

• Metodo di Elena: riconoscere che l'espressione è una differenza di quadrati della forma $a^2 - b^2$, trasformarla nel prodotto di una somma per una differenza ed eseguire le operazioni risultanti.

1. a) Applica il metodo proposto da Elena sviluppando passo dopo passo il calcolo numerico fino a ottenere il valore finale.
2. b) Confronta i due metodi e giustifica in modo ragionato perché la proposta di Elena risulta molto più vantaggiosa, analizzando la difficoltà delle operazioni intermedie di ciascun percorso.

Dimostra algebricamente che la differenza tra i quadrati di due numeri interi consecutivi è sempre uguale alla somma di tali numeri.

(Suggerimento: chiama $x$ il primo numero e $x+1$ il successivo).

In un dibattito in classe di matematica, Paolo afferma: «Il quadrato della somma di due numeri, $(a + b)^2$, dà sempre un risultato maggiore della somma dei loro quadrati, $a^2 + b^2$, perché sviluppandolo aggiungiamo sempre il termine $2 \cdot a \cdot b$».

1. a) Sviluppa $(a + b)^2$ e calcola la differenza algebrica $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ in forma semplificata. Quale termine algebrico determina completamente se il risultato è maggiore, minore o uguale?
2. b) Dimostra che l'affermazione di Paolo è falsa fornendo un controesempio numerico con numeri interi in cui si verifichi che $(a + b)^2 < a^2 + b^2$. Poi indaga se è possibile trovare due numeri diversi da zero tali che $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ e giustifica la tua conclusione.
3. c) Enuncia con precisione quale condizione matematica devono soddisfare i segni di $a$ e $b$ affinché $(a + b)^2 > a^2 + b^2$, quando accade che $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ e quando accade che $(a + b)^2 < a^2 + b^2$.