Problemi con le equazioni

Se al triplo di un numero sommiamo $12$, otteniamo come risultato $48$. Di quale numero si tratta?

Marta ha comprato $3$ magliette uguali per la squadra di atletica e un pantaloncino sportivo che costava $15 \text{ €}$. Se in totale ha speso $60 \text{ €}$, quanto è costata ciascuna maglietta?

In un problema in classe si chiede di calcolare fra quanti anni l'età di un padre sarà il triplo di quella di sua figlia. La figlia ha attualmente $12$ anni e il padre ha $40$ anni. Matteo ha proposto la seguente equazione per risolverlo: $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Indica l'errore concettuale commesso da Matteo e spiega con parole tue perché la sua impostazione contraddice il fatto che il tempo trascorre allo stesso modo per entrambe le persone.
2. b) Scrivi l'equazione corretta che rappresenta il problema e risolvila per scoprire fra quanti anni si verificherà la condizione.

Trova tre numeri interi consecutivi tali che la somma dei primi due sia maggiore di $15$ unità rispetto al terzo numero.

L'età di un padre è oggi il triplo di quella di suo figlio. $6$ anni fa, l'età del padre era cinque volte l'età che aveva allora suo figlio. Quanti anni devono passare perché la somma delle età del padre e del figlio sia esattamente di $100$ anni?

Vogliamo mettere una cornice di legno a una fotografia rettangolare. Sappiamo che la lunghezza della fotografia misura $5 \text{ cm}$ più della larghezza. Se per incorniciarla ci è servito un listello di $70 \text{ cm}$ di lunghezza totale (perimetro), quali sono le dimensioni della fotografia?

Un campo da padel rettangolare ha un perimetro di $60$ metri. Sapendo che la lunghezza del campo misura $6$ metri più della larghezza, calcola le dimensioni (lunghezza e larghezza) del campo.

Si vuole progettare un giardino rettangolare circondato da un sentiero di piastrelle largo $2$ metri in modo costante. La lunghezza del giardino è il doppio della sua larghezza. Se sappiamo che l'area totale occupata dal sentiero di piastrelle è di $112$ m$^2$, quali sono le dimensioni del giardino (larghezza e lunghezza)?

Marco ha comprato un videogioco e delle cuffie per la sua console. Le cuffie gli sono costate $12$ € in meno del videogioco. Se il videogioco fosse scontato della metà del suo prezzo originale, Marco avrebbe pagato $48$ € per le due cose insieme. Qual è il prezzo originale di ciascun articolo?

In un bar hanno mescolato caffè della Colombia, che costa $12$ €/kg, con caffè del Brasile, che costa $8$ €/kg. Se hanno ottenuto $20$ kg di miscela e il prezzo finale di questa è di $9$ €/kg, quanti chili di caffè di ciascun tipo hanno utilizzato?

La bolletta trimestrale dell'acqua di un'abitazione in una località italiana comprende una quota fissa di servizio di $18,50$ € e un costo in base al volume consumato. Per incentivare il risparmio di fronte alla siccità, i primi $30\text{ m}^3$ di acqua consumati nel trimestre vengono fatturati a $1,35$ €/$\text{m}^3$, mentre ogni metro cubo aggiuntivo oltre tale limite viene fatturato a un prezzo penalizzante di $2,10$ €/$\text{m}^3$.

Una famiglia ha ricevuto una bolletta trimestrale con un importo totale da pagare di $71,60$ €.

1. a) Dimostra numericamente, prima di formulare l'equazione complessiva, perché il consumo di questa famiglia ha dovuto necessariamente superare i $30\text{ m}^3$.
2. b) Definisci l'incognita $x$, formula l'equazione di primo grado che descrive la bolletta e calcola quanti metri cubi di acqua ha consumato la famiglia nel trimestre.
3. c) Se nel trimestre successivo la famiglia riesce a ridurre il suo volume di consumo $\text{m}^3$ della metà, l'importo totale in euro della bolletta si ridurrà esattamente anch'esso della metà? Giustifica la tua risposta analizzando algebricamente l'influenza del termine fisso e del cambio di fascia tariffaria.

In una gara di robotica, un robot parte dal traguardo a una velocità costante di $2$ m/s. Trenta secondi dopo, un secondo robot parte al suo inseguimento a una velocità di $3,5$ m/s. Se la pista ha una lunghezza totale di $150$ metri prima di arrivare a una zona di ostacoli, il secondo robot riuscirà a raggiungere il primo prima che questo entri nella zona di ostacoli? Imposta l'equazione e giustifica la risposta calcolando la distanza del raggiungimento.

Una cisterna d'acqua viene riempita mediante due rubinetti. Il rubinetto A impiega $6$ ore in più del rubinetto B a riempire la cisterna da solo. Se si aprono entrambi contemporaneamente, la cisterna si riempie in esattamente $4$ ore. Calcola quanto tempo impiegherebbe il rubinetto B a riempire la cisterna da solo. (Questo problema richiede di risolvere un'equazione di secondo grado).

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi tre lati sono espressi da tre numeri naturali consecutivi. (Suggerimento: usa il teorema di Pitagora $a^2 + b^2 = c^2$, dove $c$ è il lato maggiore).

Un'azienda di corrieri utilizza furgoni e moto. I furgoni hanno $4$ ruote e le moto $2$. In totale ci sono $24$ conducenti (uno per veicolo) e $64$ ruote. Per motivi logistici, il costo di manutenzione giornaliero è di $15$ € per furgone e $6$ € per moto. Se il budget totale giornaliero di manutenzione è di $200$ €, quanti conducenti di furgone dovrebbero passare, come minimo, a guidare moto per non superare il budget senza cambiare il numero totale di veicoli?