Percentuali, rapporti e proporzioni
Al mercato rionale di Bologna un paio di scarpe da $80$ € ha il cartellino «−25%». Quanto paghi davvero? E se il negoziante, finiti i saldi, aumentasse il prezzo del $25\%$, tornerebbe al prezzo di prima? In questa pagina impari a rispondere a domande come queste, con percentuali, rapporti e proporzioni.
La percentuale
Una percentuale è un rapporto con denominatore $100$: il $15\%$ significa $\dfrac{15}{100}$, cioè $0{,}15$. Per calcolare il $15\%$ di una quantità basta moltiplicarla per $0{,}15$.
Perché funziona? Il $15\%$ di $240$ è $15$ parti su $100$ di $240$: dividi per $100$ e moltiplichi per $15$, cioè moltiplichi per $\frac{15}{100}$.
Calcola: a) il $15\%$ di $240$; b) il $4\%$ di $1.250$ €; c) quale percentuale è $18$ rispetto a $72$.
Calcola:
- a) il $15\%$ di $240$;
- b) il $4\%$ di $1.250$ €;
- c) quale percentuale è $18$ rispetto a $72$.
Sconti e aumenti
Uno sconto del $25\%$ toglie il $25\%$ del prezzo: resta il $75\%$. Un aumento del $10\%$ aggiunge il $10\%$: si paga il $110\%$. Quindi si può fare un solo calcolo con un coefficiente moltiplicativo.
| Variazione | Coefficiente |
|---|---|
| sconto del $25\%$ | $1 - 0{,}25 = 0{,}75$ |
| aumento del $10\%$ | $1 + 0{,}10 = 1{,}10$ |
| sconto del $20\%$ | $0{,}80$ |
Un paio di scarpe costa $80$ € e viene scontato del $25\%$. a) Calcola lo sconto. b) Calcola il prezzo finale.
Un paio di scarpe costa $80$ € e viene scontato del $25\%$.
- a) Calcola lo sconto.
- b) Calcola il prezzo finale.
Variazioni successive
Quando due variazioni si susseguono, la seconda si calcola sul prezzo già cambiato, non su quello iniziale. Si moltiplicano i coefficienti.
Un telefono costa $450$ € e subisce prima un aumento del $10\%$, poi uno sconto del $10\%$ sul prezzo aumentato. a) Calcola il prezzo finale. b) Esprimi la variazione…
Un telefono costa $450$ € e subisce prima un aumento del $10\%$, poi uno sconto del $10\%$ sul prezzo aumentato.
- a) Calcola il prezzo finale.
- b) Esprimi la variazione percentuale complessiva rispetto al prezzo iniziale.
Un comune ha $8.000$ abitanti. In un anno la popolazione è aumentata del $3\%$ e l'anno dopo è diminuita del $2\%$. a) Calcola gli abitanti dopo i due anni. b) Calcola…
Un comune ha $8.000$ abitanti. In un anno la popolazione è aumentata del $3\%$ e l'anno dopo è diminuita del $2\%$.
- a) Calcola gli abitanti dopo i due anni.
- b) Calcola la variazione percentuale complessiva.
Dopo uno sconto del $20\%$ una giacca costa $96$ €. Il negoziante vuole riportarla al prezzo originale. a) Calcola il prezzo originale. b) Di quale percentuale deve…
Dopo uno sconto del $20\%$ una giacca costa $96$ €. Il negoziante vuole riportarla al prezzo originale.
- a) Calcola il prezzo originale.
- b) Di quale percentuale deve aumentare il prezzo scontato per tornare all'originale?
- c) Spiega perché non è il $20\%$.
Torna all'inizio: dopo il $-25\%$ le scarpe costano $60$ €; per tornare a $80$ € serve $\frac{80-60}{60}=33{,}3\%$ circa, non il $25\%$.
Rapporti e proporzioni
Il rapporto tra $a$ e $b$ è il quoziente $a : b$. Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti:
$$a : b = c : d \qquad \text{con } b, d \neq 0$$$a$ e $d$ sono gli estremi, $b$ e $c$ i medi.
Perché? Scrivi la proporzione come $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ e moltiplica entrambi i membri per $b \cdot d$: ottieni $a\,d = b\,c$.
Per trovare un termine incognito: se è un estremo, $x = \dfrac{\text{medio} \cdot \text{medio}}{\text{altro estremo}}$; se è un medio, $x = \dfrac{\text{estremo} \cdot \text{estremo}}{\text{altro medio}}$.
Risolvi le proporzioni: a) $x:6 = 10:15$ b) $4:9 = 12:x$ c) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{20}{32}$
Risolvi le proporzioni:
- a) $x:6 = 10:15$
- b) $4:9 = 12:x$
- c) $\dfrac{5}{x}=\dfrac{20}{32}$
Problemi con le proporzioni
Se due grandezze sono direttamente proporzionali, il loro rapporto resta costante: raddoppiando una, raddoppia l'altra. Per questo una ricetta si scala con una proporzione.
Per preparare 12 porzioni di una torta servono $300$ g di farina e $180$ g di zucchero. a) Quanta farina e quanto zucchero servono per 20 porzioni? b) Con $450$ g di…
Per preparare 12 porzioni di una torta servono $300$ g di farina e $180$ g di zucchero.
- a) Quanta farina e quanto zucchero servono per 20 porzioni?
- b) Con $450$ g di zucchero, quante porzioni si possono preparare?
Dividere in parti proporzionali e interesse composto
Per dividere una quantità $T$ in parti direttamente proporzionali a certi numeri, si calcola il valore di una parte dividendo $T$ per la somma dei numeri, poi si moltiplica per ciascun numero.
Interesse composto
Con l'interesse composto gli interessi di ogni anno si sommano al capitale e l'anno dopo fruttano a loro volta. Con tasso $2\%$ il capitale si moltiplica ogni anno per $1{,}02$: dopo $n$ anni è $C \cdot 1{,}02^n$.
Due amici, Marco e Giulia, dividono un premio di $1.800$ € in parti direttamente proporzionali ai punti ottenuti: $35$ e $55$. a) Calcola la quota di ciascuno. b) Se…
Due amici, Marco e Giulia, dividono un premio di $1.800$ € in parti direttamente proporzionali ai punti ottenuti: $35$ e $55$.
- a) Calcola la quota di ciascuno.
- b) Se Marco avesse ottenuto $10$ punti in più, di quanti euro sarebbe aumentata la sua quota?
- c) Esprimi in percentuale l'aumento della quota di Marco.
Un capitale di $5.000$ € viene investito a Milano a un tasso annuo del $2\%$ con interesse composto (gli interessi si sommano al capitale ogni anno). a) Calcola il…
Un capitale di $5.000$ € viene investito a Milano a un tasso annuo del $2\%$ con interesse composto (gli interessi si sommano al capitale ogni anno).
- a) Calcola il capitale dopo 3 anni.
- b) Calcola la variazione percentuale complessiva e confrontala con $3\cdot 2\%=6\%$.
- c) Spiega la differenza.
In sintesi
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Percentuale: $p\% = \dfrac{p}{100}$; parte $=$ percentuale $\cdot$ totale; percentuale $=$ parte $:$ totale.
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Sconto del $p\%$: coefficiente $1 - \frac{p}{100}$; aumento del $p\%$: coefficiente $1 + \frac{p}{100}$.
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Variazioni successive: si moltiplicano i coefficienti, non si sommano le percentuali. Per tornare indietro serve $1 : \text{coefficiente}$.
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Proporzione $a : b = c : d$: prodotto dei medi $=$ prodotto degli estremi.
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Parti proporzionali: valore di una parte $=$ totale $:$ somma dei numeri.
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Interesse composto: $C \cdot (1 + i)^n$.