Potenze, notazione scientifica e divisibilità

Le proprietà delle potenze

Una potenza è un prodotto di fattori uguali: $2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$. Il numero $2$ è la base, il $5$ è l'esponente.

Perché valgono le regole? Basta contare i fattori. $2^5\cdot 2^3$ ha $5$ fattori $2$ e poi altri $3$: in tutto $8$ fattori, cioè $2^8$.

Il quoziente funziona perché si semplificano i fattori uguali: $\dfrac{7^9}{7^4}$ elimina $4$ fattori $7$ e ne restano $5$. Nella potenza di potenza si ripetono $n$ volte gruppi di $m$ fattori, quindi $m\cdot n$ fattori.

Due casi particolari: $a^0 = 1$ (se $a\neq 0$), perché $a^n : a^n = a^{0} = 1$; e $a^1 = a$.

La notazione scientifica

La luce percorre circa $300.000$ km in un secondo; un atomo ha un diametro di circa $0{,}0000000001$ m. Contare gli zeri è scomodo e si sbaglia facilmente. Si usano le potenze di $10$.

Le potenze di $10$ con esponente negativo servono per i numeri piccoli: $10^{-3} = 0{,}001$, cioè $\dfrac{1}{1.000}$.

Il metodo: sposta la virgola finché resta una sola cifra diversa da zero prima della virgola. Se l'hai spostata verso sinistra di $n$ posti, l'esponente è $+n$; verso destra, $-n$.

Operazioni

Si trattano separatamente le parti decimali e le potenze di $10$, con le regole viste sopra.

$(2\cdot 10^4)\cdot(3\cdot 10^5) = 6\cdot 10^{9}$. Se la parte decimale esce fuori dall'intervallo, si corregge: $(5\cdot10^3)\cdot(4\cdot10^2) = 20\cdot 10^5 = 2\cdot 10^6$.

Cifre significative

Le cifre significative sono le cifre che contano davvero in una misura o in un risultato: si contano a partire dalla prima cifra diversa da zero. Gli zeri iniziali non contano. Per esempio $0{,}00032$ ha $2$ cifre significative ($3$ e $2$), mentre $4{,}50\cdot10^3$ ne ha $3$.

Per arrotondare a un certo numero di cifre significative, si tengono quelle cifre e si guarda la successiva: se è $5$ o più si aumenta di $1$ l'ultima cifra tenuta, altrimenti resta uguale.

Fattori primi, MCD e mcm

Un numero è primo se ha solo due divisori: $1$ e se stesso ($2, 3, 5, 7, 11, 13,\dots$). Ogni numero naturale maggiore di $1$ si scrive in modo unico come prodotto di numeri primi.

Per scomporre si divide per i primi in ordine, usando i criteri di divisibilità: per $2$ se termina con cifra pari, per $3$ se la somma delle cifre è multipla di $3$, per $5$ se termina con $0$ o $5$.

Il mcm serve quando due eventi si ripetono con periodi diversi: i due autobus si ritrovano dopo un mcm di minuti. Il MCD serve quando si divide in parti uguali, senza avanzi.

Divisori e numeri speciali

Se $N = 2^3\cdot3^2\cdot5$, i suoi divisori sono i prodotti $2^a\cdot3^b\cdot5^c$ con $a$ da $0$ a $3$, $b$ da $0$ a $2$, $c$ da $0$ a $1$. Il loro numero è $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$: si aumenta di $1$ ogni esponente e si moltiplica.

Un numero è un quadrato perfetto se tutti gli esponenti della sua scomposizione sono pari. Per renderlo tale, si moltiplica per i fattori con esponente dispari: in $N$ servono $2\cdot5 = 10$, perché $N\cdot 10 = 2^4\cdot3^2\cdot5^2$.

Dimostrare con le potenze

Con le lettere si può dimostrare che una proprietà vale sempre, non solo per qualche caso. Vogliamo mostrare che $2^{n+2}-2^n$ è multiplo di $3$.

In sintesi

• Stessa base: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^m:a^n=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$; $a^0=1$.

• Notazione scientifica: $a\cdot10^n$ con $1\le a<10$; si sposta la virgola e si corregge l'esponente.

• Scomposizione in fattori primi: unica per ogni numero.

• MCD: fattori comuni con esponente minore. mcm: tutti i fattori con esponente maggiore.

• Il numero dei divisori di $N$ si trova aumentando di $1$ ogni esponente e moltiplicando.

• Per dimostrare una proprietà per ogni $n$ si usa una lettera, non si basta con qualche esempio.