Equazioni di primo grado

Classifica le seguenti uguaglianze matematiche in identità o equazioni, spiegando brevemente il perché in ogni caso:

1. a) $3x + 5 = 20$

1. b) $2(x + 1) = 2x + 2$

1. c) $x + x = 2x$

1. d) $x - 7 = 10$

Verifica se i valori proposti per l'incognita sono soluzione delle seguenti equazioni:

1. a) $2x - 3 = 7$ $x = 5$ è la soluzione?

1. b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ $x = 20$ è la soluzione?

1. c) $3(x - 2) = 12$ $x = 4$ è la soluzione?

Osserva la seguente bilancia in equilibrio. Se i pesi circolari rappresentano l'incognita $x$ e i pesi quadrati rappresentano ciascuno $1$ kg, scrivi l'equazione rappresentata dall'immagine e trova il valore di $x$ applicando la logica dell'equilibrio (togliere la stessa quantità da entrambi i piatti).

Risolvi mentalmente queste equazioni a un solo passaggio applicando la regola della somma (ciò che è sommato passa sottraendo e viceversa):

1. a) $x + 12 = 30$

1. b) $x - 8 = 15$

1. c) $7 + x = 2$

1. d) $x - 10 = -4$

Trova il valore di $x$ nelle seguenti equazioni applicando la regola del prodotto (ciò che moltiplica passa dividendo e viceversa):

1. a) $5x = 45$

1. b) $\frac{x}{3} = 7$

1. c) $-2x = 14$

1. d) $\frac{2x}{5} = 4$

Risolvi le seguenti semplici equazioni a due passaggi, raggruppando prima i termini con $x$ in un membro e i numeri nell'altro:

1. a) $3x + 4 = 19$

1. b) $5x - 2 = 13$

1. c) $10 - 2x = 4$

1. d) $25 = 4x + 1$

Traduci queste frasi dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico usando la lettera $x$ per rappresentare il numero sconosciuto:

1. a) Il doppio di un numero più otto è uguale a venti.

1. b) La metà di un numero meno cinque dà come risultato tre.

1. c) Un numero aumentato di sette unità è uguale al suo triplo.

1. d) La somma di un numero e del suo successivo è quindici.

Marta è andata in cartoleria e ha comprato 3 quaderni uguali. Se ha pagato con una banconota da $10$ € e le hanno dato $1$ € di resto, imposta un'equazione in cui $x$ sia il prezzo di un quaderno e risolvila per sapere quanto è costato ciascuno.

Marco deve risolvere l'equazione $-3x + 8 = -7$. Nel suo compito ha scritto, passo dopo passo:

• Passo 1: $-3x = -7 - 8$

• Passo 2: $-3x = -15$

• Passo 3: $x = \frac{-15}{3} = -5$

1. a) Indica in quale passo ha commesso l'errore e spiega quale regola del trasporto dei termini (o della bilancia) ha applicato in modo scorretto.
2. b) Correggi l'esercizio risolvendo l'equazione in modo corretto e verifica numericamente il tuo risultato nell'equazione iniziale per dimostrare che è la soluzione giusta.

Risolvi la seguente equazione di primo grado applicando correttamente la proprietà distributiva e il raggruppamento dei termini simili:

$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$

Trova il valore dell'incognita $x$ nella seguente equazione con denominatori, semplificando prima mediante il calcolo del minimo comune multiplo:

$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$

Risolvi la seguente equazione di primo grado, prestando particolare attenzione ai segni negativi davanti alle frazioni e all'uso del minimo comune multiplo per semplificare i denominatori:

Osserva la seguente equazione con parentesi: $$4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) = 8$$

Sara e Davide propongono due strategie diverse per iniziare a risolverla:

• Metodo di Sara: Applica prima la proprietà distributiva per eliminare la parentesi moltiplicando il 4 per ogni termine al suo interno, e poi riduci allo stesso denominatore.

• Metodo di Davide: Poiché il 4 moltiplica tutto il membro di sinistra, porta direttamente il 4 al membro di destra dividendo: $\frac{x}{3} - 1 = \frac{8}{4}$.

1. a) Risolvi l'equazione seguendo passo dopo passo il metodo di Sara.
2. b) Risolvi l'equazione seguendo passo dopo passo il metodo di Davide.
3. c) Confronta i due percorsi: quale risulta più diretto e riduce il rischio di sbagliare con le frazioni? Il metodo di Davide sarebbe stato valido se l'equazione fosse stata $4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) + 2 = 8$? Giustifica la tua risposta.

Costruisci due equazioni di primo grado diverse che soddisfino le seguenti condizioni:

1. a) Un'equazione con l'incognita $x$ in entrambi i membri la cui soluzione sia esattamente $x = -4$. Spiega brevemente come l'hai costruita garantendo l'equilibrio dell'uguaglianza.
2. b) Un'equazione della forma $a \cdot x + b = c \cdot x + d$ (con $a, b, c, d$ numeri interi non nulli) che non abbia soluzione, cioè che, una volta semplificata, risulti un'espressione del tipo $0x = k$ con $k \neq 0$. Giustifica perché nessuno potrebbe trovare un numero che la soddisfi.

Si considera la seguente equazione di primo grado in cui compare un parametro sconosciuto $k$:

1. a) Applica la proprietà distributiva, raggruppa i termini simili e scrivi l'equazione nella forma ridotta $(A - k) \cdot x = B$, indicando i valori numerici di $A$ e di $B$.
2. b) Determina quale valore deve assumere $k$ affinché l'equazione non abbia soluzione (caso $0x = b$ con $b \neq 0$). Spiega perché per quel valore specifico è impossibile trovare una qualsiasi $x$.
3. c) Esiste qualche valore possibile di $k$ che faccia sì che l'equazione abbia infinite soluzioni (identità, caso $0x = 0$)? Giustifica la tua conclusione analizzando i due membri dell'equazione ridotta.

Il perimetro di un campo da padel rettangolare è $56$ metri. Sappiamo che la lunghezza del campo supera di $2$ metri il doppio della sua larghezza. Calcola le dimensioni del campo impostando un'equazione di primo grado.

Marco ha comprato in un negozio digitale tre giochi di strategia e due pass battaglia. Ogni pass battaglia costa la metà di un gioco. Se in totale ha pagato $70$ €, qual è il prezzo di un gioco e qual è il prezzo di un pass battaglia?

L'età di una madre è il triplo di quella di suo figlio. $8$ anni fa, la somma delle età di entrambi era $48$ anni. Quanti anni ha attualmente ciascuno?

Il livello della batteria di un telefono cellulare diminuisce in modo costante. Durante la mattina è stato consumato un quarto della carica totale. Nel pomeriggio è stato consumato un terzo di quanto era rimasto dopo la mattina. Se rimane ancora il $50\,\%$ di batteria ($40$ unità di carica), qual è la capacità totale di carica del telefono?

Trova tre numeri interi consecutivi tali che la somma del primo e del secondo superi di $15$ unità il terzo numero.

Osserva la seguente bilancia in equilibrio. Se tutte le scatole azzurre sono uguali e pesano $x$ chilogrammi, e i pesi arancioni indicano il loro peso in kg, imposta e risolvi l'equazione per trovare il valore di $x$.

In un servizio comunale di noleggio di biciclette elettriche di una città italiana, la tariffa per gli utenti senza abbonamento prevede un importo fisso di $1,20$ € per lo sblocco più $0,15$ € per ogni minuto di percorso. Al termine del tragitto di ritorno a casa, all'app di Carlo viene addebitato un totale di $4,95$ €.

1. a) Scrivi un'equazione di primo grado in cui l'incognita $m$ rappresenti la durata del percorso in minuti.
2. b) Risolvi l'equazione spiegando quale operazione esegui su entrambi i membri dell'uguaglianza a ogni passaggio per isolare l'incognita.
3. c) Le condizioni del servizio avvertono che i percorsi che superano la mezz'ora ($30$ minuti) prevedono una penale per uso eccessivo. In base alla tua soluzione, determina se Carlo deve pagare la penale o no, indicando quanti minuti gli sono avanzati o mancati per raggiungere tale limite.

Marco e Lucia vivono in paesi diversi situati a una distanza di $24 \text{ km}$. Alle 10:00 del mattino, Lucia parte verso il paese di Marco in bicicletta a una velocità costante di $18 \text{ km/h}$. Mezz'ora dopo, Marco parte incontro a Lucia con il suo monopattino elettrico, viaggiando a $25 \text{ km/h}$. A che distanza dal paese di Lucia si incontreranno e a che ora avverrà l'incontro?

In un laboratorio di chimica si vuole diluire la concentrazione di una soluzione per la pulizia. Abbiamo $12 \text{ litri}$ di un liquido che contiene il $20\%$ di alcol puro. Quanta acqua distillata (senza alcol) dobbiamo aggiungere affinché la miscela finale abbia una concentrazione di alcol di solo il $15\%$?

Un'azienda di grafica realizza manifesti rettangolari. Nel suo ultimo modello, la base misura $10 \text{ cm}$ più dell'altezza. Per rispettare un nuovo standard, decidono di aumentare la base di $5 \text{ cm}$ e diminuire l'altezza di $2 \text{ cm}$. Se dopo questi cambiamenti il perimetro del nuovo manifesto è $110 \text{ cm}$, quali erano le dimensioni originali del manifesto?

L'età attuale di un padre è il triplo di quella di suo figlio. Cinque anni fa, la somma delle loro età era uguale all'età che il padre avrà tra dieci anni. Quanti anni hanno attualmente il padre e il figlio?

Un serbatoio d'acqua ha due rubinetti di riempimento e uno scarico. Il primo rubinetto può riempire il serbatoio in $6 \text{ ore}$, e il secondo rubinetto in $4 \text{ ore}$. Se il serbatoio è pieno, lo scarico può svuotarlo completamente in $8 \text{ ore}$. Se apriamo contemporaneamente i due rubinetti di riempimento e lo scarico con il serbatoio vuoto, quanto tempo ci vorrà per riempirlo completamente?

Un gruppo di amici vuole comprare un regalo di compleanno che costa un prezzo fisso. Se ognuno mette $12 \text{ €}$, avanzano $4 \text{ €}$ per la carta da regalo. Ma se ognuno mette $10 \text{ €}$, mancano $12 \text{ €}$ per poterlo comprare. Quanti amici formano il gruppo e quanto costa il regalo?

Trova un numero di tre cifre con le seguenti caratteristiche: la cifra delle decine è il doppio di quella delle unità, e quella delle centinaia è il triplo di quella delle unità. Se sommiamo le tre cifre, il risultato è uguale a quello che si ottiene sottraendo la cifra delle unità a quella delle centinaia e sommando 8. Una volta impostata l'equazione, indica qual è il numero. (Suggerimento: chiama $x$ la cifra delle unità).

In una stazione meteorologica di montagna si registrano $-2$ °C alle 8:00 del mattino. Per effetto dell'irraggiamento solare, la temperatura sale a un ritmo costante di $1,5$ °C all'ora. Parallelamente, in un osservatorio situato su un altopiano vicino, la temperatura alle 8:00 era di $10$ °C, ma l'arrivo di una massa d'aria fredda ne provoca la diminuzione al ritmo di $0,5$ °C all'ora.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cosa, stima in modo ragionato se le temperature delle due stazioni si uguaglieranno prima o dopo le 13:00 (cioè trascorse 5 ore dalle 8:00). Giustifica la tua stima confrontando l'evoluzione approssimativa delle due temperature.
2. b) Imposta un'equazione di primo grado in cui l'incognita $t$ rappresenti il numero di ore trascorse dalle 8:00 necessarie affinché le due stazioni segnino esattamente la stessa temperatura. Risolvila passo dopo passo.
3. c) Trova l'ora esatta del giorno in cui coincidono e la temperatura che segneranno i termometri in quell'istante. Verifica se la tua stima del punto a) viene confermata e se i valori ottenuti risultano coerenti.