Aree dei poligoni e similitudine

Aree dei poligoni

Tutto parte dal rettangolo: l'area è il numero di quadratini unitari che lo coprono, cioè base per altezza. Le altre figure si ottengono "trasformando" il rettangolo.

• Parallelogramma: tagli un triangolo da un lato e lo sposti dall'altra parte, ottenendo un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza.

• Triangolo: due triangoli uguali formano un parallelogramma, quindi l'area è la metà.

• Rombo (e ogni quadrilatero con diagonali perpendicolari): è la metà del rettangolo che lo contiene, di lati $d_1$ e $d_2$.

• Trapezio: due trapezi uguali, uno capovolto, formano un parallelogramma di base $B+b$.

Ricorda: l'altezza è sempre perpendicolare alla base, non è il lato obliquo.

Quadrilateri con diagonali perpendicolari e trapezio isoscele

Il trucco del rombo funziona per ogni quadrilatero con le diagonali perpendicolari: l'area è sempre $\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$, anche se non è un rombo.

Nel rombo le diagonali si dividono a metà e formano quattro triangoli rettangoli uguali: i cateti sono $\dfrac{D}{2}$ e $\dfrac{d}{2}$, l'ipotenusa è il lato.

Ricorda il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti, $i^2 = c_1^2 + c_2^2$. Quindi $i = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}$ e, per un cateto, $c = \sqrt{i^2 - c_2^2}$. Per esempio, con cateti $3$ cm e $4$ cm: $i = \sqrt{9+16} = 5$ cm.

Il lato del rombo si trova con Pitagora: $\ell = \sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{d}{2}\right)^2}$. Il perimetro è $4\ell$. Poiché il rombo è anche un parallelogramma, $A = \ell \cdot h$, quindi $h = \dfrac{A}{\ell}$.

Nel trapezio isoscele, l'altezza forma con il lato obliquo e con la parte di base in più un triangolo rettangolo. La parte in più su ciascun lato vale $\dfrac{B-b}{2}$.

Figure simili e scala

Due figure sono simili se hanno la stessa forma: gli angoli corrispondenti sono uguali e i lati corrispondenti sono in proporzione. Il rapporto costante tra i lati corrispondenti è il rapporto di similitudine $k$.

Una cartina è una figura simile al territorio. La scala $1:50.000$ dice che $1$ cm sulla carta corrisponde a $50.000$ cm nella realtà, cioè a $500$ m.

Perché $k^2$? Se raddoppi base e altezza di un rettangolo, ne entrano $2 \cdot 2 = 4$ copie dell'originale. In generale l'area dipende da due lunghezze, quindi si moltiplica per $k \cdot k$.

Triangoli simili con una parallela

Se in un triangolo $ABC$ tracci una retta $DE$ parallela alla base $BC$, con $D$ su $AB$ ed $E$ su $AC$, nasce un triangolo piccolo $ADE$ simile ad $ABC$.

Perché sono simili? Gli angoli in $D$ e in $B$ sono uguali perché corrispondenti rispetto alle parallele $DE$ e $BC$ tagliate da $AB$; lo stesso vale in $E$ e $C$; l'angolo in $A$ è in comune. Con tre angoli uguali (basta anche due) i triangoli sono simili.

Il rapporto di similitudine è $k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{DE}{BC}$. Attenzione: $AB = AD + DB$.

In sintesi

• Area: rettangolo e parallelogramma $b \cdot h$; triangolo $\dfrac{b \cdot h}{2}$; rombo $\dfrac{D \cdot d}{2}$; trapezio $\dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$. L'altezza è perpendicolare alla base.

• Ogni quadrilatero con diagonali perpendicolari ha area $\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$; nel rombo il lato è l'ipotenusa di un triangolo con cateti $\dfrac{D}{2}$ e $\dfrac{d}{2}$.

• Nel trapezio isoscele l'altezza si trova con Pitagora usando il cateto $\dfrac{B-b}{2}$.

• Figure simili: stessa forma, lati in proporzione con rapporto $k$. Lunghezze e perimetri $\cdot\, k$, aree $\cdot\, k^2$.

• Scala $1:n$: lunghezza reale $=$ lunghezza sulla carta $\cdot\, n$.

• Una parallela a un lato di un triangolo dà un triangolo simile: $k = \dfrac{AD}{AB}$.

• Vuoi sapere di quanto cresce l'area se raddoppi i lati? Diventa $4$ volte più grande, perché $k^2 = 4$.