Funzione lineare o di proporzionalità diretta
Un sacchetto di gommose costa $1{,}50$ €. Un fattorino in bicicletta pedala sempre a $20$ km/h. Una molla si allunga della stessa quantità per ogni chilo che le appendi. In tutti questi casi, se raddoppi una grandezza, anche l'altra raddoppia: è una funzione di proporzionalità diretta, e il suo grafico è sempre una retta che passa per l'origine. Quanto pagherai per $4$ sacchetti? Lo scoprirai alla fine.
La funzione di proporzionalità diretta
Perché? Se $y = ax$, allora $\dfrac{y}{x} = a$ per ogni coppia di valori (con $x \neq 0$): il rapporto tra le due grandezze è sempre lo stesso. Questo vale anche come uguaglianza di frazioni: $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$. Viceversa, se $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$ per ogni coppia di valori, la relazione è di proporzionalità diretta.
In una funzione, la variabile indipendente è $x$: il valore che scegli tu. La variabile dipendente è $y$: il valore che ne risulta, calcolato con la funzione. Per esempio, nei sacchetti di gommose a $1{,}50$ € scegli quanti sacchetti comprare ($x$, indipendente) e il totale da pagare ($y$, dipendente) segue da $y = 1{,}50x$.
Muovi il cursore e osserva:
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$a > 0$: la retta è crescente (sale da sinistra verso destra).
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$a < 0$: la retta è decrescente (scende da sinistra verso destra).
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Più grande è $|a|$, più la retta è ripida.
Data la funzione di proporzionalità diretta $y = -3x$: Indica il valore del suo coefficiente angolare. La funzione è crescente o decrescente? Calcola il valore…
Data la funzione di proporzionalità diretta $y = -3x$:
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Indica il valore del suo coefficiente angolare.
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La funzione è crescente o decrescente?
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Calcola il valore dell'immagine per $x = 2$ e per $x = -1$.
Indica, motivando, quale delle seguenti tre rappresentazioni grafiche corrisponde a una funzione di proporzionalità diretta.
Indica, motivando, quale delle seguenti tre rappresentazioni grafiche corrisponde a una funzione di proporzionalità diretta.
Tre amici confrontano i loro piani dati mobili per vedere quanti "giga" consumano guardando video in alta definizione. Si sa che il consumo è proporzionale al tempo di…
Tre amici confrontano i loro piani dati mobili per vedere quanti "giga" consumano guardando video in alta definizione. Si sa che il consumo è proporzionale al tempo di visione.
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Piano A: $y = 0,8x$
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Piano B: $y = 1,2x$
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Piano C: $y = 0,5x$
Dove $x$ è il tempo in ore e $y$ sono i giga consumati.
- a) Quale dei tre piani consuma dati più rapidamente? Giustifica la tua risposta usando il concetto di coefficiente angolare.
- b) Se un utente ha un limite di $6$ GB al giorno, quante ore di video potrebbe guardare con il Piano B prima di esaurire i suoi dati?
Il coefficiente angolare: come calcolarlo
Il coefficiente $a$ dice di quanto aumenta $y$ quando $x$ aumenta di $1$ unità:
$$a = \frac{y}{x} = \frac{\text{di quanto sale}}{\text{di quanto avanza}}$$Questo disegno è solo uno schema: in scala, i due segmenti andrebbero misurati sulla retta $y = 2x$ con le stesse unità sui due assi.
In un negozio di caramelle, ogni sacchetto di gommose costa $1,50 \text{ €}$. Vogliamo studiare la relazione tra il numero di sacchetti che compriamo ($x$) e il denaro…
In un negozio di caramelle, ogni sacchetto di gommose costa $1,50 \text{ €}$. Vogliamo studiare la relazione tra il numero di sacchetti che compriamo ($x$) e il denaro totale che paghiamo ($y$).
Individua:
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La variabile indipendente.
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La variabile dipendente.
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La costante di proporzionalità ($m$).
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L'equazione della funzione che mette in relazione le due grandezze.
Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione il tempo in cui una lampadina LED è accesa ($x$, in ore) con il consumo di energia ($y$, in wattora, Wh): |…
Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione il tempo in cui una lampadina LED è accesa ($x$, in ore) con il consumo di energia ($y$, in wattora, Wh):
| Tempo ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Consumo ($y$) | 9 | 18 | 27 | 36 |
Indica se si tratta di una funzione di proporzionalità diretta, calcola la sua costante di proporzionalità e scrivi la sua equazione.
Trova il coefficiente angolare della seguente funzione di proporzionalità diretta rappresentata nel grafico e scrivi la sua equazione nella forma $y = mx$.
Trova il coefficiente angolare della seguente funzione di proporzionalità diretta rappresentata nel grafico e scrivi la sua equazione nella forma $y = mx$.
In una campagna di riciclaggio, una ONG ha stabilito che per ogni chilogrammo di contenitori di plastica PET riciclato si risparmiano $1,5$ litri di petrolio nella…
In una campagna di riciclaggio, una ONG ha stabilito che per ogni chilogrammo di contenitori di plastica PET riciclato si risparmiano $1,5$ litri di petrolio nella produzione di nuovi prodotti.
- a) Scrivi la funzione che mette in relazione i chilogrammi di plastica riciclata ($x$) con i litri di petrolio risparmiati ($y$).
- b) Crea una tabella di valori per $0, 5, 10$ e $20$ kg di plastica.
- c) Quanti litri di petrolio si saranno risparmiati se la scuola riesce a riciclare $120$ kg di contenitori?
Rappresentare $y = ax$ sul piano cartesiano
Bastano due punti: l'origine $O(0; 0)$ vale sempre, e per l'altro scegli un valore semplice di $x$ (per esempio $x = 1$) e calcola $y$.
Se invece conosci un punto della retta, per esempio $A(-3; 12)$, ricavi $a = \dfrac{12}{-3} = -4$ e hai l'equazione $y = -4x$.
Completa la seguente tabella sapendo che la relazione tra $x$ e $y$ è di proporzionalità diretta con costante $m = 4$. Poi rappresenta i punti in un piano cartesiano. |…
Completa la seguente tabella sapendo che la relazione tra $x$ e $y$ è di proporzionalità diretta con costante $m = 4$. Poi rappresenta i punti in un piano cartesiano.
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ |
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Trova l'equazione della funzione di proporzionalità diretta $y = mx$ il cui grafico passa per il punto $A(-3, 12)$. Rappresenta graficamente la funzione indicando almeno…
Trova l'equazione della funzione di proporzionalità diretta $y = mx$ il cui grafico passa per il punto $A(-3, 12)$. Rappresenta graficamente la funzione indicando almeno altri due punti per cui passa la retta.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Un drone per le consegne vola a una velocità costante di $12$ metri al secondo ($\text{m/s}$). a) Completa la seguente tabella che mette in relazione il tempo di volo…
Un drone per le consegne vola a una velocità costante di $12$ metri al secondo ($\text{m/s}$).
- a) Completa la seguente tabella che mette in relazione il tempo di volo ($x$) con la distanza percorsa ($y$):
| Tempo ($\text{s}$) | $1$ | $5$ | $10$ | $30$ |
|---|---|---|---|---|
| Distanza ($\text{m}$) | $12$ |
- b) Rappresenta graficamente la funzione in un piano cartesiano (tempo sull'asse orizzontale e distanza sull'asse verticale).
- c) Indica qual è il coefficiente angolare e spiega che significato fisico ha in questo problema.
Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.
Riconoscere la proporzionalità diretta
Una tabella è di proporzionalità diretta se il rapporto $\dfrac{y}{x}$ è lo stesso in tutte le colonne. Se cambia, non lo è.
Indica, motivando, quali delle seguenti tabelle corrispondono a una funzione di proporzionalità diretta. Per quelle che lo sono, calcola la costante di proporzionalità…
Indica, motivando, quali delle seguenti tabelle corrispondono a una funzione di proporzionalità diretta. Per quelle che lo sono, calcola la costante di proporzionalità ($m$) e scrivi la loro equazione.
Tabella 1:
| $x$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $10$ | $20$ | $30$ |
Tabella 2:
| $x$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $5$ | $7$ | $9$ |
Tabella 3:
| $x$ | $-1$ | $-3$ | $-5$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $4$ | $12$ | $20$ |
Osserva il seguente grafico, che rappresenta due funzioni di proporzionalità diretta, $r$ e $s$. Mostrano i punti ottenuti da due giocatori in un videogioco nel corso…
Osserva il seguente grafico, che rappresenta due funzioni di proporzionalità diretta, $r$ e $s$. Mostrano i punti ottenuti da due giocatori in un videogioco nel corso del tempo (il tempo è in minuti).
- a) Trova l'equazione della retta $r$ sapendo che passa per il punto $P(2, 10)$.
- b) Trova l'equazione della retta $s$ sapendo che passa per il punto $Q(4, 8)$.
- c) Che cosa rappresenta il coefficiente angolare in questo contesto?
Proporzionalità diretta nella vita reale
Molte situazioni quotidiane sono di proporzionalità diretta: velocità costante, prezzo al kg, consumo costante di dati o di energia. La chiave è trovare $a$: il valore di ogni unità.
Un fattorino che consegna pizze in bicicletta viaggia a una velocità costante di $20 \text{ km/h}$. Scrivi la funzione che mette in relazione la distanza percorsa ($y$,…
Un fattorino che consegna pizze in bicicletta viaggia a una velocità costante di $20 \text{ km/h}$.
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Scrivi la funzione che mette in relazione la distanza percorsa ($y$, in km) con il tempo trascorso ($x$, in ore).
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Quanti chilometri avrà percorso dopo $3$ ore di lavoro?
In una ricetta di cucina è indicato che per ogni $100 \text{ g}$ di farina bisogna usare $2$ uova. Calcola la costante di proporzionalità che mette in relazione il…
In una ricetta di cucina è indicato che per ogni $100 \text{ g}$ di farina bisogna usare $2$ uova.
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Calcola la costante di proporzionalità che mette in relazione il numero di uova ($y$) con la quantità di farina ($x$, misurata in centinaia di grammi).
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Scrivi l'equazione della funzione.
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Se abbiamo un sacchetto da $500 \text{ g}$ di farina, quante uova ci serviranno secondo questa funzione?
In un negozio di app, il download di un pacchetto di "monete virtuali" per un gioco segue una funzione lineare. Sappiamo che $500$ monete costano $4,50$ €. a) Calcola la…
In un negozio di app, il download di un pacchetto di "monete virtuali" per un gioco segue una funzione lineare. Sappiamo che $500$ monete costano $4,50$ €.
- a) Calcola la costante di proporzionalità (prezzo per moneta).
- b) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il numero di monete ($x$) con il costo in euro ($y$).
- c) Se un ragazzo ha risparmiato $15$ €, quante monete potrà comprare al massimo?
In una piattaforma di streaming di videogiochi, la qualità della trasmissione consuma dati in modo proporzionale al tempo di utilizzo. Un utente ha verificato che, dopo…
In una piattaforma di streaming di videogiochi, la qualità della trasmissione consuma dati in modo proporzionale al tempo di utilizzo. Un utente ha verificato che, dopo aver giocato per $15$ minuti, il suo router indica un consumo di $1,2$ gigabyte (GB).
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Determina la costante di proporzionalità $m$ che mette in relazione il consumo di dati ($y$, in GB) con il tempo ($x$, in minuti).
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Scrivi l'equazione della funzione lineare che descrive questa situazione.
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Se l'utente ha un limite giornaliero di $5$ GB prima che la sua velocità venga ridotta, quanti minuti e secondi esatti può giocare mantenendo questa qualità?
La legge di Hooke stabilisce che l'allungamento di una molla è direttamente proporzionale alla forza applicata su di essa. Una molla misura $12$ cm a riposo. Appendendo…
La legge di Hooke stabilisce che l'allungamento di una molla è direttamente proporzionale alla forza applicata su di essa. Una molla misura $12$ cm a riposo. Appendendo un peso di $2$ kg, la molla passa a misurare $15$ cm.
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Attenzione: la funzione di proporzionalità mette in relazione la forza (o la massa, in questo caso) con l'allungamento (ciò di cui aumenta la lunghezza), non con la lunghezza totale. Calcola l'allungamento prodotto dai $2$ kg.
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Determina la costante di proporzionalità $m$ ($cm/kg$).
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Scrivi la funzione $y = mx$ che mette in relazione l'allungamento $y$ con la massa $x$.
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Qual sarà la lunghezza totale della molla se appendiamo un peso di $5,4$ kg?
Torniamo all'inizio: se un sacchetto di gommose costa $1{,}50$ €, la funzione è $y = 1{,}50x$; per $4$ sacchetti si paga $y = 1{,}50 \cdot 4 = 6$ €.