Frequenza relativa e probabilità sperimentale
Lanci una moneta $4$ volte e esce testa $3$ volte. Vuol dire che la probabilità di testa è $0,75$? No: con pochi lanci il caso può giocare brutti scherzi. Se ripeti il lancio $1.000$ volte, il risultato si avvicina molto di più alla metà. In questa pagina scopriamo perché, e come usare gli esperimenti per stimare le probabilità.
Frequenza relativa di un evento
Quando ripetiamo un esperimento, possiamo contare quante volte si verifica un evento. Questo numero è la frequenza assoluta; confrontarla con il numero totale di prove dà la frequenza relativa.
Si è lanciato un dado $50$ volte e il $6$ è uscito $8$ volte. a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «esce $6$». b) Confrontala con la probabilità teorica…
Si è lanciato un dado $50$ volte e il $6$ è uscito $8$ volte.
a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «esce $6$».
b) Confrontala con la probabilità teorica $\frac{1}{6}$. Ti sembra ragionevole il risultato?
Si è fatta girare $40$ volte la freccia di una roulette con $4$ colori e si sono ottenuti questi risultati: rosso $12$ volte, blu $10$, verde $8$ e giallo $10$. a)…
Si è fatta girare $40$ volte la freccia di una roulette con $4$ colori e si sono ottenuti questi risultati: rosso $12$ volte, blu $10$, verde $8$ e giallo $10$.
a) Costruisci una tabella con le frequenze assolute e relative di ciascun colore.
b) Quale colore è uscito con la frequenza relativa maggiore?
In una classe di $30$ alunni, $12$ vengono a scuola in bicicletta o in monopattino. a) Qual è la frequenza relativa di quell'evento nella classe? b) Se la scuola ha…
In una classe di $30$ alunni, $12$ vengono a scuola in bicicletta o in monopattino.
a) Qual è la frequenza relativa di quell'evento nella classe?
b) Se la scuola ha $600$ alunni, quanti ti aspetteresti che venissero in bici o in monopattino? È il valore esatto o solo una stima? Perché?
La frequenza relativa si stabilizza
Lancia il dado molte volte e osserva come le barre (ciò che esce davvero) si avvicinano alla linea arancione (ciò che «dovrebbe» uscire secondo la definizione classica):
Si lancia un dado un numero sempre maggiore di volte e si annota la frequenza relativa dell'evento «esce $4$»: con $10$ lanci esce $0,2$; con $50$, $0,18$; con $100$,…
Si lancia un dado un numero sempre maggiore di volte e si annota la frequenza relativa dell'evento «esce $4$»: con $10$ lanci esce $0,2$; con $50$, $0,18$; con $100$, $0,16$; con $500$, $0,164$; con $1\,000$, $0,167$.
a) Verso quale valore sembra stabilizzarsi la frequenza relativa?
b) Che relazione ha quel valore con la definizione classica di probabilità?
c) Quanti «quattro» ti aspetteresti in $6\,000$ lanci?
Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» lanciando una moneta un numero crescente di volte. a) Leggi nel grafico la frequenza relativa dopo $80$ lanci. b)…
Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» lanciando una moneta un numero crescente di volte.
a) Leggi nel grafico la frequenza relativa dopo $80$ lanci.
b) Verso quale valore sembra stabilizzarsi la frequenza relativa?
c) Pensi che la moneta sia truccata? Giustifica la risposta.
Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» in $500$ lanci di una moneta. a) Verso quale valore si stabilizza la frequenza relativa? b) La moneta è truccata?…
Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» in $500$ lanci di una moneta.
a) Verso quale valore si stabilizza la frequenza relativa?
b) La moneta è truccata? Perché?
c) Quante teste ti aspetteresti se la si lanciasse altre $1\,000$ volte?
Con poche ripetizioni ci si sbaglia
Con pochi tentativi la frequenza relativa può essere lontana dalla probabilità vera, anche se questa non è cambiata.
Lanciando una moneta $200$ volte si sono ottenute $98$ teste. a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «testa». b) Sospetteresti che la moneta sia truccata? Perché?
Lanciando una moneta $200$ volte si sono ottenute $98$ teste.
a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «testa».
b) Sospetteresti che la moneta sia truccata? Perché?
Una giocatrice di basket ha una percentuale storica del $80\%$ nei tiri liberi. Nell'ultima partita ne ha segnati solo $3$ su $5$. La sua allenatrice commenta: «Oggi la…
Una giocatrice di basket ha una percentuale storica del $80\%$ nei tiri liberi. Nell'ultima partita ne ha segnati solo $3$ su $5$. La sua allenatrice commenta: «Oggi la sua probabilità di successo è diminuita».
a) Sei d'accordo con l'allenatrice? Motiva la risposta distinguendo tra probabilità e frequenza su poche ripetizioni.
b) Che cosa ti aspetteresti se tirasse $100$ tiri liberi nei prossimi allenamenti?
Dopo aver lanciato una moneta $4$ volte e aver ottenuto $3$ teste, Omar afferma: «La probabilità di ottenere testa con questa moneta è $0,75$». a) Spiega l'errore della…
Dopo aver lanciato una moneta $4$ volte e aver ottenuto $3$ teste, Omar afferma: «La probabilità di ottenere testa con questa moneta è $0,75$».
a) Spiega l'errore della sua affermazione.
b) Che cosa dovrebbe fare Omar per stimare la probabilità in modo attendibile?
c) Se la moneta è regolare, verso quale valore si avvicinerà la frequenza relativa di teste all'aumentare del numero di lanci?
Quando non si può usare la definizione classica
Con un dado regolare i risultati sono ugualmente probabili per simmetria. Ma per una puntina da disegno, un astragalo o il coperchio di un barattolo non lo sappiamo. In questi casi si sperimenta molte volte e si usa la frequenza relativa come stima della probabilità (probabilità sperimentale).
Vale anche il contrario: se conosci la probabilità teorica, puoi confrontarla con la frequenza relativa. Con la somma $7$ di due dadi, la probabilità teorica è $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$; una squadra che lancia $300$ volte è più attendibile di una che lancia $30$ volte.
Un astragalo (osso di agnello che si usava come dado) è stato lanciato $600$ volte ed è caduto con la faccia liscia verso l'alto $264$ volte. a) Quale probabilità…
Un astragalo (osso di agnello che si usava come dado) è stato lanciato $600$ volte ed è caduto con la faccia liscia verso l'alto $264$ volte.
a) Quale probabilità sperimentale assegneresti a quel risultato?
b) Spiega perché in questo esperimento non si può applicare la definizione classica di probabilità.
c) Quante volte ti aspetteresti che cadesse così nei prossimi $150$ lanci?
Si lancia $100$ volte il coperchio di un barattolo e cade con la parte superiore verso l'alto $64$ volte. a) Stima la probabilità che cada con la parte superiore verso…
Si lancia $100$ volte il coperchio di un barattolo e cade con la parte superiore verso l'alto $64$ volte.
a) Stima la probabilità che cada con la parte superiore verso l'alto.
b) E che cada con la parte superiore verso il basso?
c) Se lo si lancia altre $500$ volte, quante volte è lecito aspettarsi che cada con la parte superiore verso l'alto?
d) Perché non possiamo usare la definizione classica di probabilità con il coperchio?
Due squadre di classe stimano sperimentalmente la probabilità di ottenere somma $7$ lanciando due dadi. La squadra A lancia $30$ volte e ottiene quell'evento $6$ volte;…
Due squadre di classe stimano sperimentalmente la probabilità di ottenere somma $7$ lanciando due dadi. La squadra A lancia $30$ volte e ottiene quell'evento $6$ volte; la squadra B lancia $300$ volte e lo ottiene $50$ volte.
a) Calcola le frequenze relative di entrambe le squadre.
b) Calcola la probabilità teorica di «somma $7$» applicando la definizione classica di probabilità.
c) Quale stima è più attendibile? Perché?
Torniamo all'inizio: $3$ teste su $4$ lanci danno una frequenza relativa di $0,75$, ma è un campione troppo piccolo per stimare la probabilità. Servono molti lanci, e per una moneta regolare la frequenza si avvicinerà a $0,5$.