Operazioni con i polinomi

In un videogioco di strategia, il tuo inventario è diviso in due bauli. Il contenuto del primo baule è dato dal polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ e quello del secondo da $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, dove $x$ rappresenta il livello di rarità degli oggetti. Calcola il polinomio totale che rappresenta la somma dei due bauli: $P(x) + Q(x)$.

Per organizzare un evento di "e-sport", un'azienda usa l'espressione $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ per calcolare le sue spese e $I(x) = 15x^2 + 2x$ per calcolare i suoi ricavi (dove $x$ è il numero di sponsor). Trova il polinomio che rappresenta il guadagno netto, sapendo che il guadagno è la differenza tra ricavi e spese: $I(x) - G(x)$.

Lucia ha risolto sul quaderno la seguente sottrazione di polinomi: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. Nel passaggio finale ha scritto come risultato $3x^2 - 10x + 3$. Spiega quali due errori ha commesso con i segni applicando la regola della sottrazione di polinomi, descrivi perché si verificano e scrivi lo svolgimento corretto passo dopo passo fino ad arrivare al polinomio ridotto finale.

In un negozio di videogiochi, l'inventario di tre diverse categorie è espresso dai seguenti polinomi, dove $x$ rappresenta il numero di nuove uscite di questo mese:

• Azione: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Avventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Strategia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcola le seguenti espressioni semplificando il risultato:

1. a) Il totale dei videogiochi nel negozio: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La differenza tra i giochi di Azione e quelli di Avventura: $A(x) - B(x)$
3. c) Quanti giochi di Strategia rimarrebbero se si vendesse la metà di un lotto di dimensione $4x^2 - 2x$? Calcola: $C(x) - (2x^2 - x)$

Esegui la seguente operazione moltiplicando il monomio per il polinomio (applicando la proprietà distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Esegui le seguenti moltiplicazioni di polinomi e riduci i termini simili:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

In un laboratorio, la crescita di una popolazione di batteri $A$ segue il polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, dove $t$ è il tempo in ore. Un'altra popolazione $B$ cresce secondo il polinomio $B(t) = t^2 - 5t$.

Se gli scienziati hanno bisogno di conoscere il comportamento di una coltura mista definita dall'operazione $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, qual è il polinomio semplificato che rappresenta tale popolazione $C$?

Un giovane designer sta creando un logo per il suo marchio di abbigliamento. Il logo centrale è un rettangolo come quello della figura. Trova il polinomio che rappresenta l'area totale della figura.

Ti viene chiesto di calcolare il prodotto dei polinomi $P(x) = 3x^2 - 2$ e $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$. Rispondi alle seguenti domande prima e dopo aver eseguito la moltiplicazione completa:

1. a) Prima di moltiplicare termine a termine, deduci quale deve essere il grado del polinomio risultante $P(x) \cdot Q(x)$ e quale deve essere il suo termine noto. Spiega il tuo ragionamento.
2. b) La tua compagna Alba afferma, senza guardare i calcoli, che il risultato è $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Senza sviluppare il prodotto, quali due ragioni immediate basate sulla tua deduzione precedente dimostrano che il suo risultato è impossibile?
3. c) Calcola il prodotto completo applicando la proprietà distributiva, riduci i termini simili e verifica se la tua stima del punto a) era corretta.

Calcola l'area della zona colorata nella seguente figura. La figura rappresenta una piastra metallica rettangolare da cui è stato ritagliato un rettangolo interno per lasciare spazio a un componente elettronico. Esprimi il risultato come polinomio in funzione di $x$.

Dati aggiuntivi:

• Base esterna: $5x + 3$

• Altezza esterna: $3x$

• Base interna: $x + 2$

• Altezza interna: $x$

Data la seguente espressione combinata con polinomi, opera e semplifica fino a ottenere un unico polinomio ordinato dal grado maggiore al minore:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Un architetto progetta una piazza quadrata di lato $L = 2x + 5$ metri. Al centro decide di collocare una fontana anch'essa quadrata di lato $l = x - 3$ metri.

1. a) Sviluppa l'espressione dell'area della piazza utilizzando i prodotti notevoli: $(2x + 5)^2$
2. b) Sviluppa l'espressione dell'area della fontana utilizzando i prodotti notevoli: $(x - 3)^2$
3. c) Calcola il polinomio che rappresenta la superficie della piazza che resta libera per camminare (Area piazza - Area fontana).

Calcola la seguente espressione riducendo al massimo il polinomio risultante. Presta particolare attenzione all'ordine delle operazioni e all'uso delle parentesi precedute da segno negativo:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Al centro di un giardino quadrato di lato $2x + 5$ metri è stata installata una piscina rettangolare le cui dimensioni sono $x + 2$ metri di lunghezza e $x - 1$ metri di larghezza. Trova il polinomio che rappresenta l'area della zona a prato (la parte del giardino non occupata dalla piscina).

Individua gli elementi principali del seguente polinomio:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Qual è il suo grado?

• b) Qual è il coefficiente principale?

• c) Qual è il termine noto?

• d) Quanti termini ha?

Calcola il valore numerico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ nei seguenti casi:

• a) Per $x = 0$

• b) Per $x = 1$

Trova il valore del coefficiente $k$ nel polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sapendo che calcolando il suo valore numerico per $x = 2$ si ottiene come risultato $10$.

Determina il polinomio incognito $Q(x)$ nella seguente uguaglianza:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

Calcola poi il valore numerico di $Q(x)$ per $x = -2$.

Raccogli il fattore comune nelle seguenti semplici espressioni algebriche:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Il raccoglimento a fattor comune è il processo inverso della proprietà distributiva. Analizza le seguenti espressioni algebriche e raccogli tutti i fattori comuni possibili (numeri e lettere):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$