Il concetto di numero intero relativo

Nella vita quotidiana usiamo i numeri interi per esprimere situazioni opposte rispetto a un punto di riferimento o "punto zero". Associa ciascuno dei seguenti enunciati al numero intero (positivo o negativo) che lo rappresenta meglio:

• a) Un subacqueo si trova a $15$ metri di profondità sotto il livello del mare.

• b) Un escursionista è salito sulla cima di una montagna alta $2300$ metri.

• c) Il saldo della tua tessera del trasporto pubblico è di $4$ euro di debito.

• d) Un aereo vola a un'altitudine di $9500$ metri.

• e) La temperatura in una stazione sciistica è di $7$ gradi sotto zero.

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati vari punti con delle lettere. Indica quale numero intero corrisponde a ciascuna delle lettere rappresentate:

Considerando che la distanza tra due tacche piccole consecutive è di $1$ unità, determina i valori di $A$, $B$, $C$ e $D$.

Il valore assoluto di un numero intero è la distanza che lo separa dallo zero sulla retta numerica, senza tener conto della direzione. Calcola i seguenti valori assoluti:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Due numeri interi sono opposti se si trovano alla stessa distanza dallo zero ma da parti diverse della retta numerica. Scrivi l'opposto di ciascuno dei seguenti numeri e rappresentali a coppie su una piccola retta numerica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono false, fornisci un esempio (controesempio) che lo dimostri:

1. a) Il valore assoluto di un numero è sempre maggiore del numero stesso.
2. b) Se due numeri sono negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.
3. c) L'opposto di un numero intero è sempre un numero negativo.
4. d) La distanza tra un numero e il suo opposto è sempre il doppio del suo valore assoluto.

Analizza le seguenti affermazioni e stabilisci se sono vere o false, fornendo un controesempio per quelle che ritieni false:

1. Se $|a| > |b|$, allora vale sempre che $a > b$.

2. Il valore assoluto della somma di due numeri interi è sempre uguale alla somma dei loro valori assoluti: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Se $n$ è un numero intero negativo, allora il suo opposto $Op(n)$ è sempre maggiore di $n$.

4. La distanza tra due numeri opposti è sempre il doppio del valore assoluto di uno di essi.

In una città del nord Italia sono state registrate le seguenti temperature minime durante la prima settimana di gennaio:

• Lunedì: $-4$ °C

• Martedì: $-7$ °C

• Mercoledì: $0$ °C

• Giovedì: $+2$ °C

• Venerdì: $-1$ °C

• Sabato: $+3$ °C

• Domenica: $-5$ °C

Ordina questi giorni dal più freddo al meno freddo (cioè dalla temperatura minore alla maggiore) usando il simbolo $<$ tra i valori.

Confronta le seguenti coppie di numeri interi usando i segni $>$ (maggiore di) o $<$ (minore di):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Ordina dal minore al maggiore i seguenti valori usando i simboli $<$ o $>$. Ti consigliamo di calcolare prima il valore numerico di ciascuna espressione:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Trova tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo valore assoluto è minore di $10$, cioè: $|x| < 10$.

2. È un numero strettamente minore del suo opposto: $x < Op(x)$.

3. Sommandogli $-3$, il risultato è un numero il cui valore assoluto è maggiore di $5$.

Elenca i numeri ottenuti e rappresentali sulla retta numerica.

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati tre punti, $X$, $Y$ e $Z$.

Se ogni divisione della retta rappresenta $2$ unità:

1. a) Scrivi le coordinate dei punti $X$, $Y$ e $Z$.
2. b) Calcola la distanza tra il punto $X$ e il punto $Z$.
3. c) Scrivi l'opposto di $X$ e rappresentalo sulla retta.

In un sistema di assi cartesiani abbiamo disegnato tre vertici di un rettangolo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(4, −1)$.

1. a) Rappresenta i punti nel piano.
2. b) Determina le coordinate del quarto vertice $D$ per completare il rettangolo.
3. c) In quale quadrante si trova ciascuno dei vertici?
4. d) Calcola il perimetro del rettangolo contando le unità della griglia.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un videogioco di strategia, le coordinate della tua base sono $A(-3, 4)$. Devi collocare un avamposto in un punto $B$ che soddisfi le seguenti condizioni:

1. La sua ascissa (coordinata $x$) è l'opposto dell'ascissa di $A$.

2. La sua ordinata (coordinata $y$) è un numero intero negativo il cui valore assoluto è $2$.

Usa la griglia per rappresentare entrambi i punti (ogni quadretto misura un'unità):

1. a) Determina le coordinate del punto $B$.

1. b) Rappresenta $A$ e $B$ nel piano cartesiano e indica in quale quadrante si trova ciascuno.

1. c) Qual è lo spostamento orizzontale e verticale necessario per andare da $A$ a $B$?

Completa la seguente piramide magica di numeri interi. La regola è molto semplice: il valore di ogni casella è la somma dei due numeri che ha subito sotto.

Un videogioco a piattaforme assegna punteggi ai movimenti di un personaggio su una linea orizzontale.

• Per ogni moneta d'oro raccolta, il personaggio avanza di $+5$ posizioni.

• Per ogni ostacolo colpito, il personaggio arretra di $op(+3)$ posizioni.

• Se cade in una trappola, si colloca nella posizione $-|−10|$.

Calcola la posizione finale del personaggio se:

1. Parte dall'origine ($0$).

2. Raccoglie $4$ monete d'oro.

3. Colpisce $2$ ostacoli.

4. Cade in una trappola.

5. Infine, avanza di altre $8$ posizioni.

In un laboratorio criogenico, un campione si trova a $-18$ °C. Il sistema di controllo permette di eseguire due tipi di regolazioni:

• Regolazione A: aggiungere $-5$ °C alla temperatura attuale.

• Regolazione B: cambiare la temperatura con la sua opposta e poi sottrarre $10$ °C.

Se applichiamo prima la Regolazione B e poi la Regolazione A, qual è la temperatura finale? Il risultato sarebbe lo stesso se applicassimo prima la Regolazione A e poi la Regolazione B? Giustifica la risposta eseguendo entrambi i calcoli passo dopo passo.

Considera due numeri interi $a$ e $b$ di cui sappiamo quanto segue:

• Il valore assoluto di $a$ è $12$.

• L'opposto di $b$ è $-15$.

• La distanza tra $a$ e $b$ sulla retta numerica è la minore possibile.

A partire da questi dati:

1. a) Individua i valori di $a$ e $b$.
2. b) Qual è il maggiore numero intero $k$ tale che $a < k < b$?
3. c) Se moltiplichiamo $a$ per un numero negativo, il risultato sarà maggiore o minore di $b$? Motiva la risposta.