Espressioni algebriche

Individua gli elementi dei seguenti monomi completando le informazioni per ciascuno:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Per ciascuno, indica: Coefficiente, Parte letterale e Grado.

In un negozio online di videogiochi, il prezzo di un abbonamento mensile è di $x$ euro. Traduci in linguaggio algebrico le seguenti situazioni:

1. a) Il costo di tre abbonamenti mensili.
2. b) Il prezzo di un abbonamento dopo aver applicato un coupon di sconto di $5$ euro.
3. c) Quanto paga un gruppo di amici per un abbonamento mensile più un gioco da $25$ euro.
4. d) Il doppio del prezzo di un abbonamento aumentato di $10$ euro.

Stiamo progettando un nuovo tablet il cui schermo è rettangolare. La base misura $x$ centimetri e l'altezza misura $5$ centimetri in meno della base. Scrivi un'espressione algebrica per il perimetro dello schermo e semplificala.

Un palazzetto dello sport comunale ha un campo da basket di forma rettangolare. Se la lunghezza del campo è $y$ metri e la sua larghezza è la metà della lunghezza, scrivi il polinomio che rappresenta l'area del campo in funzione di $y$.

In un negozio di fumetti, il prezzo di un abbonamento mensile è di $x$ euro. Per ogni fumetto aggiuntivo che acquisti, ti fanno pagare $y$ euro, ma se ne compri più di cinque, ti applicano uno sconto di $3$ euro sul totale. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta la spesa mensile di un cliente che ha acquistato $7$ fumetti aggiuntivi.

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche per i valori indicati:

1. a) $5x - 3$ per $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ per $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ per $a = 3$ e $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ per $x = 6$

Lucia deve calcolare il valore numerico del trinomio $3x^2 - 5x + 4$ per $x = -2$. Nel suo compito ha scritto il seguente sviluppo:

1. a) Individua e spiega con chiarezza i due errori commessi da Lucia relativi all'uso delle parentesi e alla priorità delle operazioni.
2. b) Scrivi lo sviluppo corretto passo dopo passo e trova il vero valore numerico dell'espressione.

Trova il valore numerico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ per i valori delle variabili indicati:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Un'azienda tecnologica stima i suoi profitti mensili (in euro) mediante il polinomio $B(x) = 2x^3 - 40x^2 + 150$, dove $x$ rappresenta il numero di pacchetti di server contrattati (in decine).

1. a) Senza calcolare ancora il valore esatto, stima se per $x = 50$ il profitto sarà positivo o negativo e di quale ordine di grandezza (centinaia di migliaia o milioni di euro). Giustifica la tua stima spiegando qual è il termine dominante del polinomio quando la variabile diventa grande.
2. b) Calcola il valore numerico esatto di $B(50)$ sostituendo e operando con ordine.
3. c) Verifica se la tua stima era corretta e calcola ora il valore numerico per $x = 3$. Sulla base di questo secondo calcolo, spiega perché per valori piccoli della variabile il termine di grado maggiore non sempre determina da solo il segno del risultato.

Osserva la seguente serie di figure fatte con dei punti e determina l'espressione algebrica del termine generale $a_{n}$ (dove $n$ è la posizione della figura). Quanti punti avrà la figura che occupa la posizione $n=50$?

Un artista digitale sta creando un mosaico di pixel che cresce seguendo uno schema preciso. Nella fase $n=1$ usa 3 pixel, nella fase $n=2$ usa 8 pixel, nella fase $n=3$ usa 15 pixel, e così via.

Osserva lo schema visivo ed esegui le seguenti attività:

1. Trova l'espressione algebrica (termine generale) che determina il numero di pixel necessari per una qualsiasi fase $n$.

2. Se la tela digitale ha un limite di $1000$ pixel, l'artista potrebbe completare la fase $n=30$? Giustifica la risposta calcolando il valore numerico.

Classifica le seguenti espressioni algebriche indicando se sono monomi, binomi o trinomi. Nel caso dei polinomi (binomi e trinomi), indica anche qual è il loro grado.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Riduci le seguenti espressioni algebriche sommando o sottraendo i monomi simili:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Nel servizio pubblico di biciclette elettriche di una città italiana, l'iscrizione ha una quota fissa di manutenzione di $25$ euro all'anno. Ogni tragitto standard di meno di mezz'ora costa $0,60$ euro, ma se l'utente supera questo tempo si applica una maggiorazione aggiuntiva di $1,50$ euro per ogni frazione di tempo extra.

1. a) Scrivi un'espressione algebrica che rappresenti la spesa annuale totale di una persona che effettua $x$ tragitti standard e accumula $y$ maggiorazioni per superamento del tempo.
2. b) Classifica l'espressione ottenuta in base al numero di termini (monomio, binomio o trinomio) e indica qual è il suo grado.
3. c) Calcola il valore numerico per scoprire quanto pagherà in totale Alberto se nel corso dell'anno ha effettuato $60$ tragitti standard e ha accumulato $4$ maggiorazioni.

Riduci il più possibile la seguente espressione algebrica operando con i monomi ed eliminando le parentesi:

$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Dati i polinomi $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ e $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, esegui le seguenti operazioni e ordina il polinomio risultante dal grado maggiore al minore:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$

Usa i prodotti notevoli per sviluppare le seguenti espressioni senza eseguire la moltiplicazione passo dopo passo:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$

Raccogli il massimo fattore comune possibile nelle seguenti espressioni algebriche:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

Esegui e semplifica il più possibile la seguente espressione algebrica utilizzando i prodotti notevoli per ridurre i termini:

Mostra il procedimento passo dopo passo, indicando quale prodotto notevole hai applicato in ciascun caso.