Problemi con i numeri interi

In una stazione sciistica delle Alpi, il termometro segnava $-5^\circ\text{C}$ alle otto del mattino. A mezzogiorno la temperatura era salita di $9^\circ\text{C}$. Che temperatura segnava il termometro alle dodici?

Marco ha $14$ € sul suo conto bancario. Se fa un acquisto in un negozio di applicazioni per il suo cellulare che costa $18$ €, qual sarà il suo nuovo saldo? Esprimilo con un numero intero.

Un subacqueo sta effettuando un'immersione a una profondità di $12$ metri sotto il livello del mare. Se decide di scendere di altri $15$ metri per osservare un corallo, a quale profondità si troverà ora? Esprimilo come numero intero.

Un ascensore di un centro commerciale si trova al piano $2$. Prima scende di $4$ piani per andare al parcheggio e poi sale di $3$ piani per andare alle sale del cinema. A quale piano si trova il cinema?

I piani sotto il piano terra (piano $0$) sono numerati come $-1$, $-2$, $-3$…, come mostra la figura.

In un gioco da tavolo, ogni risposta corretta aggiunge $10$ punti e ogni errore toglie $15$ punti. Se Alba ha $45$ punti e sbaglia le tre domande successive, quale punteggio avrà alla fine?

Un fattorino che consegna cibo a domicilio entra in un edificio e lascia il suo scooter al terzo piano interrato. Sale di $7$ piani per consegnare un ordine, poi scende di $4$ piani per ritirare un altro pacco che gli consegna un vicino e, infine, sale di altri $2$ piani per fare l'ultima consegna.

A quale piano si trova il fattorino alla fine del suo lavoro? Esprimi il piano interrato come numero negativo.

Una stazione scientifica sottomarina ha il suo centro di comando al livello $0$ (a livello del mare). Dispone di piani abitativi verso l'alto (positivi) e di laboratori verso il basso (negativi). Un ricercatore esce dalla sua cabina al piano $+3$, scende di $8$ piani per prelevare dei campioni, poi sale di $5$ piani per analizzarli e infine scende di altri $4$ per conservarli nel deposito di sicurezza.

1. A quale piano si trova il deposito di sicurezza?

2. Se ogni piano è alto $4$ metri, a quale profondità (in metri) rispetto al livello del mare si trova il ricercatore alla fine del suo percorso?

In un centro commerciale di Napoli, il livello della strada è considerato il piano $0$. Lasci l'auto nel parcheggio sotterraneo, al piano $-3$. Da lì, sali di $5$ piani per andare in alcuni negozi di abbigliamento, poi scendi di $4$ piani per accedere al cinema e, infine, sali di $1$ piano per mangiare in terrazza. a) Prima di eseguire le operazioni passo dopo passo, stima con un ragionamento se finirai sopra il livello della strada, sulla strada stessa o nel sotterraneo, confrontando la somma totale dei piani che sali con la somma di quelli che scendi. b) Scrivi un'unica espressione matematica con numeri interi che rappresenti tutto il percorso, calcola l'esatto piano finale e verifica se la tua stima iniziale era corretta.

Lucia ha sul suo conto bancario un saldo di $120\ €$. Durante la mattina, la banca le addebita una bolletta internet di $45\ €$ ed Lucia fa un acquisto in un negozio di abbigliamento per un valore di $82\ €$. Nel pomeriggio, suo nonno le fa un bonifico istantaneo di $20\ €$.

Calcola il saldo finale del conto di Lucia e spiega se si trova «in rosso» (saldo negativo) oppure no.

Una squadra di calcio a 5 ha una differenza reti di $-15$. Nelle ultime tre partite, i risultati sono stati:

• Partita 1: Hanno vinto $4$ a $1$.

• Partita 2: Hanno perso $0$ a $3$.

• Partita 3: Hanno pareggiato $2$ a $2$.

Qual è la differenza reti della squadra dopo queste tre partite? (Ricorda che la differenza reti è la differenza tra gol fatti e gol subiti).

Calcola la distanza verticale che separa un elicottero che vola a $250$ metri di altezza sul livello del mare da un sommergibile che naviga a $45$ metri di profondità.

Un imperatore romano nacque nell'anno $27$ a.C. e morì nell'anno $14$ d.C. A che età morì questo imperatore? (Supponi che avesse già compiuto gli anni alla data della morte).

In una giornata invernale a Belluno, l'agenzia meteorologica ha registrato una temperatura minima di $-4\ ^\circ\text{C}$ e una massima di $11\ ^\circ\text{C}$. Lucia ha calcolato l'escursione termica (la differenza tra le due temperature) scrivendo sul quaderno: «$11 - 4 = 7\ ^\circ\text{C}$ di variazione». Identifica qual è il punto di riferimento ($0\ ^\circ\text{C}$), spiega in dettaglio quale errore concettuale ha commesso Lucia ignorando il segno della temperatura minima e scrivi l'operazione corretta usando il concetto di distanza tra due numeri interi, $|a - b|$, per determinare l'effettiva escursione termica.

Un famoso filosofo dell'antica Grecia nacque nell'anno $384$ a.C. e morì nell'anno $322$ a.C. Uno storico contemporaneo afferma che visse più di $65$ anni.

Utilizzando la sottrazione di numeri interi (considerando le date a.C. come numeri negativi), determina quanti anni visse e ragiona se lo storico ha ragione.

Un sommergibile da esplorazione sta studiando una fossa marina a una profondità di $125$ metri sotto il livello del mare. Per evitare un ostacolo, risale di $40$ metri. Nello stesso momento, un uccello sorvola la zona a un'altezza di $15$ metri sopra il livello del mare.

1. a) Rappresenta con numeri interi la posizione dell'uccello e quella del sommergibile dopo la risalita.

1. b) Calcola la distanza verticale che separa l'uccello dal sommergibile nella sua posizione finale.

Un archeologo studia una civiltà che fiorì nell'anno $450$ a.C. e scomparve nell'anno $120$ d.C. Durante i suoi scavi in un'antica torre, trova un'iscrizione al livello superiore, a $+18$ metri di altezza, e una camera nascosta situata esattamente alla stessa distanza dal suolo ma verso il basso (nel sottosuolo).

1. Quanti anni durò questa civiltà?

2. Se l'archeologo si trova nella camera nascosta e sale fino all'iscrizione del livello superiore, quanti metri ha percorso in totale? Esprimi i livelli come numeri interi.

Un'azienda di logistica ha una cella frigorifera per alimenti surgelati che si trova a una temperatura di $-18^\circ\text{C}$. A causa di un guasto elettrico, la temperatura comincia a salire di $2^\circ\text{C}$ ogni ora. Che temperatura segnerà la cella dopo $5$ ore?

In una stazione meteorologica di alta montagna, il termometro segnava $-12\ ^\circ\text{C}$ alle sei del mattino. A mezzogiorno, per l'arrivo del sole, la temperatura salì di $15\ ^\circ\text{C}$, ma al tramonto un temporale la fece scendere di $8\ ^\circ\text{C}$.

Scrivi un'espressione con numeri interi che rappresenti questa situazione e calcola la temperatura finale al termine della giornata.

In un videogioco, ogni livello superato assegna $500$ punti, ma ogni volta che il personaggio perde una vita si tolgono $150$ punti e ogni oggetto magico raccolto aggiunge $75$ punti.

Se un giocatore ha superato $4$ livelli, ha perso $3$ vite e ha raccolto $12$ oggetti magici, qual è il suo punteggio totale? Scrivi il calcolo usando operazioni combinate con numeri interi.

Un'azienda di logistica ha una cella frigorifera per conservare alimenti. La temperatura iniziale della cella è $4\ ^\circ\text{C}$. A causa di un guasto elettrico, la temperatura sale di $3\ ^\circ\text{C}$ ogni ora durante le prime $5$ ore. Una volta riparato il guasto, un sistema di raffreddamento rapido riesce ad abbassare la temperatura al ritmo di $5\ ^\circ\text{C}$ all'ora.

Se il sistema di raffreddamento funziona per $4$ ore, qual sarà la temperatura finale della cella?

Un club di atletica scolastico di Bologna tiene il registro del suo conto bancario, in cui il saldo $0$ € indica che non ci sono né fondi né debiti. Durante il mese di ottobre, il club paga $4$ iscrizioni a gare da $35$ € ciascuna, riceve un contributo comunale di $220$ € e acquista materiale sportivo per un valore di $150$ €. Alla fine del mese, l'estratto conto indica che il saldo finale è di $-15$ € (sono in rosso). Imposta un'espressione con numeri interi in cui compaia il saldo iniziale sconosciuto come incognita o spazio da riempire, e deduci con ragionamento quale fosse il saldo del club all'inizio del mese.

La stazione della metropolitana di Cuatro Caminos a Roma (adattato: stazione di Roma Termini) ha uno dei marciapiedi più profondi della rete, situato a una quota di $-45\text{ m}$ rispetto alla superficie (livello della strada, $0\text{ m}$). Un operaio della manutenzione si trova su quel marciapiede e sale con un montacarichi a una velocità costante di $2\text{ m}$ al secondo per $12$ secondi. Poi scende per una scala di servizio di una distanza di $7\text{ m}$ e, infine, sale di altri $15\text{ m}$ per riparare un quadro di ventilazione. a) Scrivi una sola operazione combinata con numeri interi che determini la quota finale dell'operaio rispetto alla strada, rappresentando la salita sul montacarichi con una moltiplicazione con segno. b) A quale profondità o altezza si trova il quadro di ventilazione? c) Usando il valore assoluto in ogni tratto, calcola la distanza totale percorsa dall'operaio nei suoi spostamenti.

Un creatore di contenuti su una piattaforma di streaming inizia il mese con un saldo di $-125$ € a causa dell'acquisto di un microfono nuovo. Durante la prima settimana riceve donazioni per un valore di $450$ €. Tuttavia, la piattaforma gli addebita una commissione di $2$ € per ciascuna delle $15$ donazioni ricevute. Inoltre, deve pagare $3$ abbonamenti a software da $12$ € ciascuno. Calcola il saldo finale del creatore al termine della settimana e spiega, mediante il concetto di valore assoluto, quanto denaro totale si è "mosso" (sia entrate sia uscite) sul suo conto.

Lo schema riassume i dati del testo nell'ordine in cui avvengono.

Un drone da esplorazione meteorologica decolla da una base situata su una montagna a $+1200$ metri sul livello del mare. La temperatura alla base è di $+8$ $^\circ C$. Il drone sale di $600$ metri, dove la temperatura scende di $5$ $^\circ C$ ogni $200$ metri di salita. Poi scende rapidamente fino a una fossa sottomarina situata a $-150$ metri rispetto al livello del mare.

1. Qual è la temperatura nel punto più alto del volo?

2. Quale differenza di altitudine totale c'è tra il punto più alto raggiunto e il fondo della fossa?

In un torneo di eSport, il punteggio di una squadra si calcola nel seguente modo: $+100$ punti per ogni vittoria, $-40$ punti per ogni sconfitta e $-15$ punti per ogni penalità di tempo. La squadra "Cipher" ha giocato $24$ partite in totale. Si sa che ha vinto il triplo delle partite che ha perso e ha ricevuto $6$ penalità di tempo. Scrivi una sola espressione con numeri interi che permetta di calcolare il punteggio finale della squadra e risolvila.

In una cella frigorifera di alta precisione, la temperatura scende di $3$ $^\circ C$ ogni $15$ minuti fino a raggiungere la temperatura di conservazione di $-24$ $^\circ C$. Se all'accensione della cella la temperatura interna era di $+12$ $^\circ C$:

1. Quante ore devono passare perché la cella raggiunga i $-24$ $^\circ C$?

2. Se dopo aver raggiunto quella temperatura si verifica un guasto elettrico e la temperatura sale di $2$ $^\circ C$ ogni ora, quale sarà la temperatura dopo $7$ ore di guasto?

Un robot industriale si muove su un asse verticale. La sua programmazione lo obbliga a ripetere il seguente ciclo di movimenti: sale di $12$ cm, scende di $15$ cm e sale di $7$ cm.

1. Se il robot ripete questo ciclo $8$ volte consecutive, qual è la sua posizione finale rispetto al punto di partenza?

2. Qual è la distanza totale (in valore assoluto) percorsa dal robot dopo aver completato i $8$ cicli?

La classe seconda media sta organizzando il viaggio di fine anno e tiene un conto comune di entrate e uscite per trimestre. Nel primo trimestre ha guadagnato $12000$ € con la vendita di calendari. Nel secondo ha speso $15000$ € per la prenotazione degli autobus. Nel terzo le spese sono state il doppio di quelle del secondo (il pagamento dell'ostello). Perché alla fine dell'anno la classe non sia in rosso (saldo finale uguale a $0$ €), quanto dovrà guadagnare con le attività del quarto trimestre? Scrivi l'operazione completa usando numeri interi per rappresentare i guadagni e le spese.

Nel Parco Nazionale del Gran Paradiso, un gruppo di escursionisti analizza le variazioni di quota rispetto al rifugio di partenza (fissato come punto di riferimento $0\text{ m}$). Durante il percorso compiono quattro tratti consecutivi con le seguenti variazioni di altitudine: scendono di $160\text{ m}$, salgono di $420\text{ m}$, scendono di $290\text{ m}$ e salgono di $130\text{ m}$. Per sapere a che altitudine rispetto al rifugio si trovano alla fine della giornata e pianificare lo sforzo, due escursionisti propongono metodi diversi: il metodo di Marco consiste nell'operare da sinistra a destra in ordine cronologico: $[((-160) + 420) - 290] + 130$; il metodo di Sofia consiste nel raggruppare da una parte tutte le salite e dall'altra tutte le discese: $(420 + 130) + [(-160) + (-290)]$. a) Calcola il risultato finale con entrambi i metodi e nomina le proprietà delle operazioni con i numeri interi che assicurano che i due risultati coincidano. b) Se la guida alpina chiede di calcolare anche il «dislivello cumulato totale» (la somma di tutti i metri percorsi, sia in salita sia in discesa, usando il valore assoluto $|a|$), giustifica quale dei due metodi facilita questo calcolo senza dover riformulare il problema dall'inizio e calcola tale dislivello.

Un bacino idrico del bacino idrografico del Po assume come livello di riferimento ($0\text{ hm}^3$) la sua capacità di riserva ottimale. Una domenica invernale alle 08:00, il bacino si trova a $+18\text{ hm}^3$ rispetto a quel livello. A causa del disgelo in quota, il bacino riceve in modo continuo un apporto di $+14\text{ hm}^3$ al giorno. Allo stesso tempo, per l'approvvigionamento urbano e la portata ecologica, vengono rilasciati in modo controllato $-21\text{ hm}^3$ al giorno. a) Modella con un'espressione con operazioni combinate la situazione del bacino dopo $5$ giorni completi (venerdì alle 08:00). Spiega se in questi $5$ giorni il bacino si è avvicinato o allontanato dal livello ottimale, giustificando la risposta con il concetto di valore assoluto. b) L'autorità di bacino ha bisogno che domenica alle 08:00 (esattamente $2$ giorni dopo) il bacino raggiunga esattamente il livello ottimale ($0\text{ hm}^3$). Supponendo che l'apporto dovuto al disgelo resti invariato a $+14\text{ hm}^3$ al giorno durante il fine settimana, calcola con un'espressione con numeri interi quanti ettometri cubi in totale si devono rilasciare nel corso di quei due giorni per raggiungere tale obiettivo.

Sfida del tema. Come incide il freddo sul portafoglio? Assumi il ruolo di gestore energetico ed elabora un rapporto d'urto contro la povertà energetica.

1. Dati reali: Entra nel sito dell'Aeronautica Militare (meteo) e registra le temperature massima e minima di 5 località dell'interno o di montagna con valori sotto zero. Identificale come elementi di $\mathbb{Z}$ e calcola l'escursione termica ($T_{\text{max}} - T_{\text{min}}$) di ciascuna.

2. Modello di spesa: Il costo base di riscaldamento giornaliero è di $14,25$ €. Per ogni grado sotto zero della temperatura minima ($T_{\text{min}} < 0$) si aggiungono $1,30$ € di maggiorazione, e per ogni grado sopra zero della temperatura massima ($T_{\text{max}} > 0$) si scontano $0,65$ €. Imposta e risolvi le operazioni combinate con numeri interi e decimali per trovare la spesa reale giornaliera di ciascun comune.

3. Rappresentazione: Inserisci i dati in un foglio di calcolo, rappresenta le temperature su una retta numerica e calcola la temperatura media di ciascuna località, $\frac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2}$ (con i decimali).

4. Proposta: Scrivi una proposta motivata stabilendo a quale località assegnare lo stanziamento economico di aiuto.

Consegna una breve relazione con la tua tabella, i calcoli e il grafico.

Verrà valutato:

• Uso rigoroso dell'insieme $\mathbb{Z}$ e calcolo corretto delle escursioni.

• Precisione nelle operazioni combinate con numeri decimali.

• Rappresentazione adeguata dei dati sulla retta numerica.

• Giustificazione critica e coerente della proposta di aiuto.