Esercizi: Funzione lineare o di proporzionalità diretta

In un negozio di caramelle, ogni sacchetto di gommose costa $1,50 \text{ €}$. Vogliamo studiare la relazione tra il numero di sacchetti che compriamo ($x$) e il denaro totale che paghiamo ($y$).

Individua:

• La variabile indipendente.

• La variabile dipendente.

• La costante di proporzionalità ($m$).

• L'equazione della funzione che mette in relazione le due grandezze.

Osserva la seguente tabella di valori che mette in relazione il tempo in cui una lampadina LED è accesa ($x$, in ore) con il consumo di energia ($y$, in wattora, Wh):

Tempo ($x$)	1	2	3	4
Consumo ($y$)	9	18	27	36

Indica se si tratta di una funzione di proporzionalità diretta, calcola la sua costante di proporzionalità e scrivi la sua equazione.

Trova il coefficiente angolare della seguente funzione di proporzionalità diretta rappresentata nel grafico e scrivi la sua equazione nella forma $y = mx$.

Un fattorino che consegna pizze in bicicletta viaggia a una velocità costante di $20 \text{ km/h}$.

• Scrivi la funzione che mette in relazione la distanza percorsa ($y$, in km) con il tempo trascorso ($x$, in ore).

• Quanti chilometri avrà percorso dopo $3$ ore di lavoro?

Completa la seguente tabella sapendo che la relazione tra $x$ e $y$ è di proporzionalità diretta con costante $m = 4$. Poi rappresenta i punti in un piano cartesiano.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica, motivando, quale delle seguenti tre rappresentazioni grafiche corrisponde a una funzione di proporzionalità diretta.

Data la funzione di proporzionalità diretta $y = -3x$:

• Indica il valore del suo coefficiente angolare.

• La funzione è crescente o decrescente?

• Calcola il valore dell'immagine per $x = 2$ e per $x = -1$.

In una ricetta di cucina è indicato che per ogni $100 \text{ g}$ di farina bisogna usare $2$ uova.

• Calcola la costante di proporzionalità che mette in relazione il numero di uova ($y$) con la quantità di farina ($x$, misurata in centinaia di grammi).

• Scrivi l'equazione della funzione.

• Se abbiamo un sacchetto da $500 \text{ g}$ di farina, quante uova ci serviranno secondo questa funzione?

In una campagna di riciclaggio, una ONG ha stabilito che per ogni chilogrammo di contenitori di plastica PET riciclato si risparmiano $1,5$ litri di petrolio nella produzione di nuovi prodotti.

1. a) Scrivi la funzione che mette in relazione i chilogrammi di plastica riciclata ($x$) con i litri di petrolio risparmiati ($y$).

1. b) Crea una tabella di valori per $0, 5, 10$ e $20$ kg di plastica.

1. c) Quanti litri di petrolio si saranno risparmiati se la scuola riesce a riciclare $120$ kg di contenitori?

Tre amici confrontano i loro piani dati mobili per vedere quanti "giga" consumano guardando video in alta definizione. Si sa che il consumo è proporzionale al tempo di visione.

• Piano A: $y = 0,8x$

• Piano B: $y = 1,2x$

• Piano C: $y = 0,5x$

Dove $x$ è il tempo in ore e $y$ sono i giga consumati.

1. a) Quale dei tre piani consuma dati più rapidamente? Giustifica la tua risposta usando il concetto di coefficiente angolare.
2. b) Se un utente ha un limite di $6$ GB al giorno, quante ore di video potrebbe guardare con il Piano B prima di esaurire i suoi dati?

Osserva il seguente grafico, che rappresenta due funzioni di proporzionalità diretta, $r$ e $s$. Mostrano i punti ottenuti da due giocatori in un videogioco nel corso del tempo (il tempo è in minuti).

1. a) Trova l'equazione della retta $r$ sapendo che passa per il punto $P(2, 10)$.

1. b) Trova l'equazione della retta $s$ sapendo che passa per il punto $Q(4, 8)$.

1. c) Che cosa rappresenta il coefficiente angolare in questo contesto?

In un negozio di app, il download di un pacchetto di "monete virtuali" per un gioco segue una funzione lineare. Sappiamo che $500$ monete costano $4,50$ €.

1. a) Calcola la costante di proporzionalità (prezzo per moneta).
2. b) Scrivi l'espressione algebrica della funzione che mette in relazione il numero di monete ($x$) con il costo in euro ($y$).
3. c) Se un ragazzo ha risparmiato $15$ €, quante monete potrà comprare al massimo?

Trova l'equazione della funzione di proporzionalità diretta $y = mx$ il cui grafico passa per il punto $A(-3, 12)$. Rappresenta graficamente la funzione indicando almeno altri due punti per cui passa la retta.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un drone per le consegne vola a una velocità costante di $12$ metri al secondo ($\text{m/s}$).

1. a) Completa la seguente tabella che mette in relazione il tempo di volo ($x$) con la distanza percorsa ($y$):

Tempo ($\text{s}$)	$1$	$5$	$10$	$30$
Distanza ($\text{m}$)	$12$

1. b) Rappresenta graficamente la funzione in un piano cartesiano (tempo sull'asse orizzontale e distanza sull'asse verticale).

1. c) Indica qual è il coefficiente angolare e spiega che significato fisico ha in questo problema.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica, motivando, quali delle seguenti tabelle corrispondono a una funzione di proporzionalità diretta. Per quelle che lo sono, calcola la costante di proporzionalità ($m$) e scrivi la loro equazione.

Tabella 1:

$x$	$2$	$4$	$6$
$y$	$10$	$20$	$30$

Tabella 2:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$5$	$7$	$9$

Tabella 3:

$x$	$-1$	$-3$	$-5$
$y$	$4$	$12$	$20$

Un'azienda di stampa 3D fa pagare alle scuole solo il materiale utilizzato. Si sa che $100$ grammi di filamento PLA costano $3,50$ €.

1. a) Determina la funzione che calcola il costo ($y$) in base ai grammi di materiale ($x$).
2. b) È una funzione crescente o decrescente? Perché?
3. c) Se il pezzo che vuoi stampare per il tuo progetto di Tecnologia pesa $45$ grammi, quanto ti costerà la stampa?

In una piattaforma di streaming di videogiochi, la qualità della trasmissione consuma dati in modo proporzionale al tempo di utilizzo. Un utente ha verificato che, dopo aver giocato per $15$ minuti, il suo router indica un consumo di $1,2$ gigabyte (GB).

• Determina la costante di proporzionalità $m$ che mette in relazione il consumo di dati ($y$, in GB) con il tempo ($x$, in minuti).

• Scrivi l'equazione della funzione lineare che descrive questa situazione.

• Se l'utente ha un limite giornaliero di $5$ GB prima che la sua velocità venga ridotta, quanti minuti e secondi esatti può giocare mantenendo questa qualità?

Un laboratorio di robotica sta testando un prototipo che si muove in linea retta a velocità costante. Si sa che la funzione che mette in relazione la distanza percorsa ($d$) con il tempo ($t$) è una funzione di proporzionalità diretta. All'istante $t = 4,5$ secondi, il robot ha percorso esattamente $11,25$ metri.

• Calcola il coefficiente angolare della funzione e indica quale grandezza fisica rappresenta in questo contesto.

• Scrivi l'espressione algebrica della funzione.

• Se il robot deve percorrere una pista di $0,05$ chilometri, quanto tempo impiegherà? Esprimi il risultato in secondi.

Il seguente grafico mostra la relazione tra il volume d'acqua ($V$) in un recipiente cilindrico e l'altezza ($h$) raggiunta dal livello dell'acqua. A causa della forma del recipiente, questa relazione è di proporzionalità diretta.

• A partire dai punti osservati nel grafico, determina la costante di proporzionalità.

• Scrivi l'equazione che permette di calcolare il volume in funzione dell'altezza.

• Quale altezza raggiungerà l'acqua se versiamo $7$ litri nel recipiente?

In un laboratorio di design si usa una macchina da taglio laser che consuma energia in modo proporzionale all'area del materiale tagliato. Si è osservato che, per tagliare $4$ pezzi quadrati di $15$ cm di lato ciascuno, la macchina consuma $180$ joule (J).

• Calcola il consumo di energia per ogni centimetro quadrato tagliato ($cm^2$).

• Definisci la funzione lineare che mette in relazione il consumo totale di energia ($y$) con la superficie tagliata ($x$).

• Quanta energia consumerebbe la macchina per tagliare un unico pannello rettangolare lungo $0,4$ metri e largo $25$ centimetri?

Due amici, Lucia e Marco, stanno risparmiando per un viaggio. Lucia risparmia a un ritmo costante espresso dalla funzione $f(x) = 12,5x$, dove $x$ è il numero di settimane e $y$ il denaro risparmiato in euro. Marco non conosce la sua funzione, ma sa che alla settimana $8$ aveva risparmiato esattamente $92$ euro e che anche il suo risparmio è proporzionale al tempo.

1. a) Trova l'equazione della funzione di Marco, $g(x)$.

1. b) Rappresenta entrambe le funzioni negli stessi assi cartesiani (schizzo).

1. c) Quale dei due ha un coefficiente angolare maggiore? Interpreta questo risultato in termini di chi risparmia più velocemente.

1. d) Se il viaggio costa $300$ euro, quante settimane di differenza ci saranno tra il momento in cui Lucia raggiunge la somma e il momento in cui la raggiunge Marco?

Una mappa in scala mostra una relazione di proporzionalità diretta tra la distanza misurata sulla carta ($x$, in millimetri) e la distanza reale sul terreno ($y$, in chilometri). Sappiamo che una distanza reale di $150$ km è rappresentata sulla mappa da un segmento di $60$ mm.

• Determina l'equazione della funzione lineare che permette di convertire i mm della mappa in km reali.

• Quale distanza reale separa due città se sulla mappa distano $14,4$ centimetri? (Fai attenzione alle unità di misura).

• Se vogliamo rappresentare un percorso escursionistico di $12.500$ metri, quanti millimetri misurerà sulla mappa?

La legge di Hooke stabilisce che l'allungamento di una molla è direttamente proporzionale alla forza applicata su di essa. Una molla misura $12$ cm a riposo. Appendendo un peso di $2$ kg, la molla passa a misurare $15$ cm.

• Attenzione: la funzione di proporzionalità mette in relazione la forza (o la massa, in questo caso) con l'allungamento (ciò di cui aumenta la lunghezza), non con la lunghezza totale. Calcola l'allungamento prodotto dai $2$ kg.

• Determina la costante di proporzionalità $m$ ($cm/kg$).

• Scrivi la funzione $y = mx$ che mette in relazione l'allungamento $y$ con la massa $x$.

• Qual sarà la lunghezza totale della molla se appendiamo un peso di $5,4$ kg?

Un'azienda di riciclaggio della plastica stima che il peso del polietilene ottenuto ($y$) sia direttamente proporzionale al numero di bottiglie vuote lavorate ($x$). Lavorando un contenitore con $120$ bottiglie, si ottengono $3,3$ kg di materiale riciclato.

• Trova la costante di proporzionalità e spiega il suo significato.

• Se l'azienda riceve un ordine per fabbricare pezzi che richiedono $55$ kg di plastica, quante bottiglie dovrà riciclare?

• Se per ogni bottiglia riciclata l'azienda riceve un incentivo di $0,015$ €, scrivi la funzione lineare che mette in relazione il denaro ricevuto ($D$) con il peso della plastica ottenuta ($y$). (Nota: dovrai combinare la relazione bottiglie-peso con la relazione bottiglie-denaro).