Esercizi: Concetto

Nella vita quotidiana usiamo i numeri interi per esprimere situazioni opposte rispetto a un punto di riferimento o "punto zero". Associa ciascuno dei seguenti enunciati al numero intero (positivo o negativo) che lo rappresenta meglio:

• a) Un subacqueo si trova a $15$ metri di profondità sotto il livello del mare.

• b) Un escursionista è salito sulla cima di una montagna alta $2300$ metri.

• c) Il saldo della tua tessera del trasporto pubblico è di $4$ euro di debito.

• d) Un aereo vola a un'altitudine di $9500$ metri.

• e) La temperatura in una stazione sciistica è di $7$ gradi sotto zero.

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati vari punti con delle lettere. Indica quale numero intero corrisponde a ciascuna delle lettere rappresentate:

Considerando che la distanza tra due tacche piccole consecutive è di $1$ unità, determina i valori di $A$, $B$, $C$ e $D$.

Il valore assoluto di un numero intero è la distanza che lo separa dallo zero sulla retta numerica, senza tener conto della direzione. Calcola i seguenti valori assoluti:

• a) $|-8| =$

• b) $|+12| =$

• c) $|-35| =$

• d) $|0| =$

• e) $|+7| =$

Due numeri interi sono opposti se si trovano alla stessa distanza dallo zero ma da parti diverse della retta numerica. Scrivi l'opposto di ciascuno dei seguenti numeri e rappresentali a coppie su una piccola retta numerica:

• a) $+5$

• b) $-3$

• c) $-1$

• d) $+4$

In una città del nord Italia sono state registrate le seguenti temperature minime durante la prima settimana di gennaio:

• Lunedì: $-4$ °C

• Martedì: $-7$ °C

• Mercoledì: $0$ °C

• Giovedì: $+2$ °C

• Venerdì: $-1$ °C

• Sabato: $+3$ °C

• Domenica: $-5$ °C

Ordina questi giorni dal più freddo al meno freddo (cioè dalla temperatura minore alla maggiore) usando il simbolo $<$ tra i valori.

Un ascensore di un centro commerciale molto grande ha piani sopra e sotto il suolo. Se consideriamo il piano terra (strada) come il numero $0$:

• a) A quale piano arriviamo se siamo nel sotterraneo $-3$ e saliamo di $5$ piani?

• b) A quale piano arriviamo se siamo al piano $+2$ e scendiamo di $4$ piani?

• c) Se siamo nel sotterraneo $-2$ e vogliamo salire al piano $+4$, quanti piani dobbiamo salire?

Confronta le seguenti coppie di numeri interi usando i segni $>$ (maggiore di) o $<$ (minore di):

• a) $-10 \quad \square \quad -2$

• b) $+5 \quad \square \quad -8$

• c) $-1 \quad \square \quad 0$

• d) $-15 \quad \square \quad -20$

• e) $|-12| \quad \square \quad +10$

Scrivi tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti condizioni:

1. Il loro valore assoluto è minore di $6$ ($|x| < 6$).

2. Sono numeri minori di $2$ ($x < 2$).

3. Sono numeri maggiori o uguali a $-3$ ($x \geq -3$).

Rappresentali su una retta numerica.

In un bollettino meteo si analizzano le temperature minime registrate in tre comuni della provincia di Belluno: Alleghe ($-14\,^\circ\text{C}$), Cortina ($-6\,^\circ\text{C}$) e Falcade ($-9\,^\circ\text{C}$). In classe, Marco afferma quanto segue: «Poiché $|-14| = 14$, $|-9| = 9$ e $|-6| = 6$, e sappiamo che $6 < 9 < 14$, l'ordine dalla temperatura minore alla maggiore deve essere $-6\,^\circ\text{C} < -9\,^\circ\text{C} < -14\,^\circ\text{C}$, perché il numero intero minore è sempre quello che ha il valore assoluto minore».

1. a) Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale che commette Marco confrontando numeri interi negativi a partire dai loro valori assoluti.
2. b) Basandoti sulla posizione dei numeri sulla retta numerica rispetto allo zero, scrivi l'ordinamento corretto delle tre temperature dalla minore alla maggiore usando il simbolo $<$.

Un punto misterioso $P(x, y)$ ha coordinate formate da numeri interi e devi scoprire la sua posizione esatta a partire dai seguenti indizi:

1. Il punto $P$ si trova nel II quadrante del piano cartesiano.

2. La distanza della sua ascissa $x$ dall'origine sulla retta numerica è di $5$ unità (cioè $|x| = 5$).

3. La sua ordinata $y$ soddisfa $op(y) = -3$.

1. a) Deduci in modo motivato il valore del numero intero $x$ combinando l'indizio 1 e l'indizio 2.
2. b) Deduci il valore del numero intero $y$ dall'indizio 3, applicando la proprietà dell'opposto.
3. c) Scrivi le coordinate definitive del punto $P(x, y)$ e indica in quale quadrante si troverebbe il suo punto simmetrico $Q(op(x), op(y))$, giustificando il segno di ciascuna delle sue coordinate.

In una spedizione scientifica, un pallone sonda meteorologico sorvola un vulcano a un'altitudine di $+125$ metri sul livello del mare, mentre una sonda robotizzata sta esplorando il fondo di un lago vicino a una profondità di $-84$ metri.

1. a) Rappresenta entrambe le posizioni su una retta numerica verticale, ponendo il livello del mare nell'origine.

1. b) Calcola la distanza totale, in valore assoluto, che separa il pallone dalla sonda.

1. c) Se la sonda sale di $30$ metri, qual è la sua nuova posizione? Esprimila con un numero intero.

Una squadra di archeologia subacquea sta esplorando i resti di un antico galeone. Usa un piccolo sommergibile di ricerca per documentare il ritrovamento. Esprimi con numeri interi le seguenti situazioni:

1. a) La nave appoggio si trova sulla superficie del mare.
2. b) Il galeone poggia sul fondale marino, a una profondità di $45$ metri.
3. c) Il sommergibile scende dalla superficie fino a una fenditura situata $12$ metri sotto il galeone.
4. d) Dopo aver esplorato la fenditura, il sommergibile risale di $25$ metri per fotografare l'albero della nave.

Rappresenta queste quattro posizioni su una linea verticale graduata in cui l'origine sia il livello del mare.

Ordina dal minore al maggiore i seguenti valori usando i simboli $<$ o $>$. Ti consigliamo di calcolare prima il valore numerico di ciascuna espressione:

$A = |−12|$

$B = op(+7)$

$C = −|−5|$

$D = op(−2)$

$E = −10$

$F = |op(−4)|$

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati tre punti, $X$, $Y$ e $Z$.

Se ogni divisione della retta rappresenta $2$ unità:

1. a) Scrivi le coordinate dei punti $X$, $Y$ e $Z$.
2. b) Calcola la distanza tra il punto $X$ e il punto $Z$.
3. c) Scrivi l'opposto di $X$ e rappresentalo sulla retta.

In un sistema di assi cartesiani abbiamo disegnato tre vertici di un rettangolo: $A(−3, 2)$, $B(4, 2)$ e $C(4, −1)$.

1. a) Rappresenta i punti nel piano.
2. b) Determina le coordinate del quarto vertice $D$ per completare il rettangolo.
3. c) In quale quadrante si trova ciascuno dei vertici?
4. d) Calcola il perimetro del rettangolo contando le unità della griglia.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono false, fornisci un esempio (controesempio) che lo dimostri:

1. a) Il valore assoluto di un numero è sempre maggiore del numero stesso.
2. b) Se due numeri sono negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.
3. c) L'opposto di un numero intero è sempre un numero negativo.
4. d) La distanza tra un numero e il suo opposto è sempre il doppio del suo valore assoluto.

Completa la seguente piramide magica di numeri interi. La regola è molto semplice: il valore di ogni casella è la somma dei due numeri che ha subito sotto.

Un videogioco a piattaforme assegna punteggi ai movimenti di un personaggio su una linea orizzontale.

• Per ogni moneta d'oro raccolta, il personaggio avanza di $+5$ posizioni.

• Per ogni ostacolo colpito, il personaggio arretra di $op(+3)$ posizioni.

• Se cade in una trappola, si colloca nella posizione $-|−10|$.

Calcola la posizione finale del personaggio se:

1. Parte dall'origine ($0$).

2. Raccoglie $4$ monete d'oro.

3. Colpisce $2$ ostacoli.

4. Cade in una trappola.

5. Infine, avanza di altre $8$ posizioni.

L'Istituto Geografico Militare (IGM) assume come quota zero ($0\text{ m}$) il livello medio del mare per misurare le altitudini in Italia. Una squadra di oceanografi e topografi monitora quattro punti in una zona costiera:

• Il punto $A$ è una boa ancorata esattamente al livello del mare ($0\text{ m}$).

• Il punto $B$ è un segnale su una scogliera situato a un'altitudine di $+42\text{ m}$.

• Il punto $C$ è l'ingresso di una grotta sommersa la cui quota è data da $op(|-28|)\text{ m}$.

• Il punto $D$ è il fondo di una voragine marina situato a una quota di $-42\text{ m}$.

1. a) Determina il numero intero che esprime la quota di ciascuno dei quattro punti.
2. b) Giustifica quali di queste quattro quote appartengono all'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e quali appartengono a $\mathbb{Z}$ ma non a $\mathbb{N}$.
3. c) Confronta le posizioni di $B$ e $D$: hanno la stessa quota? Sono alla stessa distanza dal livello del mare? Giustifica la risposta usando i concetti di numero opposto e valore assoluto.
4. d) Ordina le quattro quote dalla minore alla maggiore usando il simbolo $<$.

Considera i seguenti due numeri interi definiti a partire da opposti e valori assoluti:

$$A = op(|-18|)$$ $$B = op(op(-11))$$

1. a) Stima: prima di eseguire qualsiasi calcolo numerico diretto, ragiona basandoti esclusivamente sulle definizioni di valore assoluto e di numero opposto per stabilire quale deve essere il segno finale di $A$ e quale quello di $B$. Da questa deduzione sui segni e confrontando i valori assoluti, stima quale dei due numeri deve essere necessariamente il minore sulla retta numerica.
2. b) Calcola: applica passo dopo passo le proprietà per semplificare $A$ e $B$, ottenendo il numero intero esatto che rappresenta ciascuno.
3. c) Verifica: controlla se l'ordine numerico ottenuto conferma la tua stima precedente. Poi calcola la distanza che separa i due numeri sulla retta numerica e giustifica se è ragionevole che tale distanza sia minore di $10$ unità.

Un creatore di contenuti analizza l'andamento dei suoi iscritti durante una settimana. Il lunedì è partito da una cifra di base. Le variazioni giornaliere sono state registrate così: martedì ($+150$), mercoledì (il doppio della perdita di giovedì), giovedì ($-200$), venerdì (un aumento pari al valore assoluto della perdita di giovedì) e sabato (un aumento che ha portato il saldo settimanale totale esattamente a $0$ rispetto al lunedì).

Calcola il numero intero che rappresenta la variazione di mercoledì e il numero intero che rappresenta la variazione di sabato. Rappresenta su una retta numerica le variazioni di ogni giorno, ponendo lo $0$ come stato iniziale del lunedì.

Trova tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo valore assoluto è minore di $10$, cioè: $|x| < 10$.

2. È un numero strettamente minore del suo opposto: $x < Op(x)$.

3. Sommandogli $-3$, il risultato è un numero il cui valore assoluto è maggiore di $5$.

Elenca i numeri ottenuti e rappresentali sulla retta numerica.

Un drone da ricognizione subacquea parte da una piattaforma situata a $15$ metri sopra il livello del mare ($+15$ m). Compie i seguenti movimenti consecutivi:

• Scende di $27$ metri per prelevare campioni.

• Sale di una distanza pari alla metà del valore assoluto della sua posizione attuale.

• Infine, scende fino a una zona abissale situata a $-120$ metri.

Determina il numero intero che rappresenta la posizione del drone dopo il secondo movimento e calcola la distanza totale percorsa dal drone durante i tre movimenti.

Considera due numeri interi $a$ e $b$ di cui sappiamo quanto segue:

• Il valore assoluto di $a$ è $12$.

• L'opposto di $b$ è $-15$.

• La distanza tra $a$ e $b$ sulla retta numerica è la minore possibile.

A partire da questi dati:

1. a) Individua i valori di $a$ e $b$.
2. b) Qual è il maggiore numero intero $k$ tale che $a < k < b$?
3. c) Se moltiplichiamo $a$ per un numero negativo, il risultato sarà maggiore o minore di $b$? Motiva la risposta.

In un videogioco di strategia, le coordinate della tua base sono $A(-3, 4)$. Devi collocare un avamposto in un punto $B$ che soddisfi le seguenti condizioni:

1. La sua ascissa (coordinata $x$) è l'opposto dell'ascissa di $A$.

2. La sua ordinata (coordinata $y$) è un numero intero negativo il cui valore assoluto è $2$.

Usa la griglia per rappresentare entrambi i punti (ogni quadretto misura un'unità):

1. a) Determina le coordinate del punto $B$.

1. b) Rappresenta $A$ e $B$ nel piano cartesiano e indica in quale quadrante si trova ciascuno.

1. c) Qual è lo spostamento orizzontale e verticale necessario per andare da $A$ a $B$?

Si hanno tre numeri interi consecutivi la cui somma è un numero negativo. Se il valore assoluto del numero intermedio è $1$:

1. a) Quali sono questi tre numeri?
2. b) Ordina dal minore al maggiore i valori assoluti di tali numeri.
3. c) Che cosa accade al segno della somma se scegliamo i tre numeri interi consecutivi "più grandi" (più a destra sulla retta) che siano ancora tutti negativi?

Analizza le seguenti affermazioni e stabilisci se sono vere o false, fornendo un controesempio per quelle che ritieni false:

1. Se $|a| > |b|$, allora vale sempre che $a > b$.

2. Il valore assoluto della somma di due numeri interi è sempre uguale alla somma dei loro valori assoluti: $|a + b| = |a| + |b|$.

3. Se $n$ è un numero intero negativo, allora il suo opposto $Op(n)$ è sempre maggiore di $n$.

4. La distanza tra due numeri opposti è sempre il doppio del valore assoluto di uno di essi.

In un laboratorio criogenico, un campione si trova a $-18$ °C. Il sistema di controllo permette di eseguire due tipi di regolazioni:

• Regolazione A: aggiungere $-5$ °C alla temperatura attuale.

• Regolazione B: cambiare la temperatura con la sua opposta e poi sottrarre $10$ °C.

Se applichiamo prima la Regolazione B e poi la Regolazione A, qual è la temperatura finale? Il risultato sarebbe lo stesso se applicassimo prima la Regolazione A e poi la Regolazione B? Giustifica la risposta eseguendo entrambi i calcoli passo dopo passo.

Si vuole determinare in quale quadrante del piano cartesiano si trova un qualsiasi punto $P$ le cui coordinate sono date dalle espressioni algebriche $P(op(|a|), op(op(b)))$, sapendo solo, come dato di partenza, che $a$ è un numero intero negativo ($a < 0$) e che $b$ è un numero intero positivo ($b > 0$).

Due studenti propongono due metodi di risoluzione diversi:

• Metodo 1 (Lucia - Verifica con valori particolari): sceglie valori numerici concreti che soddisfino le condizioni, per esempio $a = -5$ e $b = +2$. Sostituisce tali valori nelle coordinate di $P$, calcola i numeri interi risultanti e deduce il quadrante dai segni ottenuti.

• Metodo 2 (Matteo - Deduzione generale per proprietà): sostiene che per qualsiasi $a \ne 0$ il suo valore assoluto è strettamente positivo ($|a| > 0$), quindi il suo opposto $op(|a|)$ deve essere negativo; e che, per la proprietà $op(op(b)) = b$, la seconda coordinata mantiene il segno positivo di $b$.

1. a) Applica il Metodo 1 di Lucia mostrando tutti i passaggi di calcolo e determina il quadrante che ottiene.
2. b) Applica il Metodo 2 di Matteo giustificando rigorosamente il segno finale dell'ascissa e dell'ordinata.
3. c) Confronta criticamente i due metodi: il metodo di Lucia garantisce che la conclusione sia valida per tutti i possibili numeri interi che soddisfano la condizione? Quali rischi presenta questo percorso rispetto alla deduzione di Matteo? Giustifica quale dei due metodi è matematicamente rigoroso.

Due numeri interi sconosciuti, $x$ e $y$, soddisfano contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1. Entrambi appartengono a $\mathbb{Z}$, ma nessuno dei due appartiene a $\mathbb{N}$, e nessuno è uguale a $0$.

2. Il numero intero $x$ è strettamente maggiore del numero intero $y$ ($x > y$).

3. La somma delle loro distanze dallo zero sulla retta numerica è uguale a dieci: $|x| + |y| = 10$.

4. L'opposto di $x$ è uguale a tre: $op(x) = +3$.

1. a) Deduci il valore del numero intero $x$ dalla condizione 4. Giustifica se tale valore soddisfa la condizione 1.
2. b) Sostituisci il valore assoluto di $x$ nella condizione 3 per ottenere il valore di $|y|$. Quali due numeri interi hanno questo valore assoluto come distanza dall'origine?
3. c) Usa le condizioni 1 e 2 per scartare uno dei due valori possibili e determinare l'unico valore possibile di $y$. Giustifica lo scarto confrontando i valori assoluti dei numeri negativi in gioco.
4. d) Con i valori trovati di $x$ e $y$, determina in modo motivato in quale quadrante del piano cartesiano si trova il punto $R(op(x), op(y))$.