Esercizi: L'insieme dei numeri interi

In una partita a un videogioco di sopravvivenza, le azioni del tuo personaggio influiscono sui suoi punti esperienza. Esprimi con un numero intero le seguenti situazioni:

1. a) Trovi uno scrigno e guadagni $450$ punti.
2. b) Un nemico ti sconfigge e perdi $125$ punti.
3. c) Cadi in una trappola e il tuo punteggio scende di $50$ punti.
4. d) Completi una missione secondaria e ricevi $80$ punti.

Calcola il valore assoluto e l'opposto dei seguenti numeri interi:

1. a) $-14$
2. b) $+21$
3. c) $-5$
4. d) $+9$

Osserva la seguente retta numerica e indica quali numeri interi corrispondono ai punti segnati con le lettere $A$, $B$, $C$ e $D$.

Confronta le seguenti coppie di numeri utilizzando i segni $<$ (minore di) o $>$ (maggiore di):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Un gruppo di amici sta misurando la temperatura in diverse città d'Europa in un giorno d'inverno:

• Berlino: $-4 \text{ °C}$

• Roma: $+9 \text{ °C}$

• Oslo: $-12 \text{ °C}$

• Napoli: $+15 \text{ °C}$

• Zurigo: $-1 \text{ °C}$

Ordina le città dalla più fredda alla più calda.

Disegna una retta numerica sul quaderno e rappresenta su di essa i seguenti numeri interi:

$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. a) Il numero $-7$ è un numero naturale ($\mathbb{N}$).
2. b) Tutti i numeri naturali sono anche numeri interi ($\mathbb{Z}$).
3. c) Il valore assoluto di un numero è sempre positivo o nullo.
4. d) L'opposto di un numero negativo è sempre negativo.

Sei in un centro commerciale molto grande che ha piani sopra e sotto il livello della strada (piano $0$).

1. a) Se sei al piano $-3$ e sali di $5$ piani, a quale piano ti trovi?

1. b) Se sei al piano $2$ e scendi di $3$ piani, a quale piano arrivi?

Luca ha il punto $A(-4, 6)$ collocato in un sistema di coordinate cartesiane e vuole trovare il suo simmetrico rispetto all'asse $x$. Sul quaderno scrive la seguente spiegazione:

«Poiché l'asse $x$ è la retta orizzontale, per fare una simmetria rispetto a esso devo cambiare il segno della prima coordinata, che è quella orizzontale. Quindi il punto simmetrico è $A'(4, 6)$».

1. a) Spiega con un ragionamento quale errore concettuale commette Luca, basandoti sulla distanza del punto dall'asse di simmetria orizzontale.
2. b) Scrivi le coordinate corrette del simmetrico di $A$ rispetto all'asse $x$ e anche quelle del suo simmetrico rispetto all'asse $y$.
3. c) Se un punto $B(0, -5)$ si trova sull'asse $y$, qual è il suo simmetrico rispetto a quello stesso asse? Giustifica la risposta usando il concetto di numero opposto.

Un servizio meteorologico ha registrato le seguenti variazioni termiche nella stazione di montagna di un passo alpino durante una giornata invernale: alle 6:00 il termometro segnava $5$ gradi sotto zero; alle 13:00 la temperatura era salita di $7$ °C rispetto alla mattina; infine, alle 22:00 il termometro è sceso di $4$ °C rispetto a mezzogiorno.

1. a) Modellizza la situazione assegnando un numero intero alla temperatura registrata in ciascuno dei tre momenti indicati ($6:00$ h, $13:00$ h e $22:00$ h).
2. b) Classifica ciascuno dei tre numeri interi ottenuti indicando a quale insieme appartiene: ai numeri naturali $\mathbb{N}$, solo all'insieme $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, o a entrambi gli insiemi? Giustifica la tua classificazione ricordando la relazione $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
3. c) Un giornalista televisivo afferma: «Alle 13:00 la temperatura era un numero intero, ma non naturale». Ragiona se l'affermazione del giornalista è corretta o falsa.

Associa un numero intero a ciascuna delle seguenti situazioni tratte dalla vita quotidiana di un adolescente:

1. a) Il saldo della tua tessera dei trasporti dopo aver speso $5$ € in viaggi e aver avuto una ricarica precedente di $2$ €.
2. b) La posizione di un sottomarino di esplorazione in un videogioco che si trova a $150$ metri sotto il livello del mare.
3. c) La temperatura di una stazione sciistica che segna $4$ gradi sotto zero.
4. d) L'anno in cui si stima che sia stato inventato l'abaco, circa $500$ anni avanti Cristo.
5. e) Scendere con l'ascensore di un centro commerciale dal piano dei cinema (piano $3$) fino al parcheggio situato due piani più in basso.

Osserva la seguente retta numerica in cui sono stati segnati alcuni punti con delle lettere. Individua il numero intero che corrisponde a ciascuna lettera e poi calcola il valore assoluto di ciascuno di essi.

Scrivi tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le due condizioni seguenti:

1. Il loro valore assoluto è minore o uguale a $4$: $|x| \le 4$.

2. Sono maggiori dell'opposto di $2$: $x > Op(+2)$.

In una città di alta montagna, il servizio meteorologico registra le seguenti temperature nel corso di una giornata invernale:

• Alle 06:00: $-8$ °C.

• Alle 12:00: la temperatura è salita di $10$ °C rispetto alle 06:00.

• Alle 20:00: la temperatura è scesa di $5$ °C rispetto alle 12:00.

• Alle 00:00: la temperatura è l'opposto di quella registrata alle 12:00.

Rappresenta queste quattro temperature su una retta numerica e ordinale dalla minore alla maggiore utilizzando il segno $<$.

Considera due numeri interi $a$ e $b$. Si sa che $a$ è un numero negativo e $b$ è un numero positivo. Indica se le seguenti affermazioni sono sempre vere, a volte vere o sempre false, giustificando la risposta con un esempio:

1. a) $|a|$ è sempre maggiore di $b$.
2. b) L'opposto di $b$ è sempre minore di $a$.
3. c) Il valore assoluto di $a$ è sempre un numero positivo.
4. d) $b$ è sempre maggiore di $a$.

Un drone giocattolo si muove lungo un corridoio rettilineo che abbiamo segnato come una retta numerica. Il punto di decollo è $0$. Il drone compie i seguenti movimenti consecutivi:

1. Avanza di $+6$ metri.

2. Torna indietro di $10$ metri.

3. Si sposta nel punto opposto alla sua posizione attuale.

4. Infine, avanza fino a un punto il cui valore assoluto è $2$ e che si trova a sinistra dell'origine.

In quale punto della retta si trova il drone alla fine del suo percorso? Disegnalo in uno schema.

Ordina i seguenti numeri dal minore al maggiore, mettendo per primi i valori negativi e usando i corrispondenti segni di disuguaglianza:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Completa la seguente tabella sul quaderno, riempiendo gli spazi vuoti in modo che ogni riga sia coerente con la definizione di numero intero, del suo opposto e del suo valore assoluto:

Numero ($z$)	Opposto ($Op(z)$)	Valore assoluto ($|z|$)
$-12$
	$+7$
		$5$ (se $z$ è positivo)
		$9$ (se $z$ è negativo)
$Op(-3)$

Vogliamo definire un insieme di numeri interi sconosciuti mediante diverse condizioni simultanee, in modo che gli unici numeri di tutto $\mathbb{Z}$ che le soddisfano tutte insieme siano esattamente $\{-6, -4, -2\}$.

Progetta tre condizioni che un numero intero $x$ deve verificare per ottenere tale risultato:

• La prima condizione deve delimitare un intervallo numerico utilizzando il valore assoluto $|x|$.

• La seconda condizione deve riferirsi all'appartenenza o non appartenenza agli insiemi $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$.

• La terza condizione deve richiedere una proprietà sulla divisibilità o sulla parità del numero.

Una volta scritte le tue tre condizioni:

1. a) Verifica passo dopo passo che i numeri $-6$, $-4$ e $-2$ le soddisfano tutte e tre contemporaneamente.
2. b) Scrivi un numero intero che soddisfi le prime due condizioni ma non la terza, dimostrando che la tua terza condizione è indispensabile perché non si infiltrino altre soluzioni.

Un robot sommergibile dell'Istituto di oceanografia parte da una piattaforma di ricerca situata a $+16\text{ m}$ sopra il livello del mare. Per studiare una faglia marina compie tre manovre consecutive:

1. Scende di $38\text{ m}$ per calibrare le sue telecamere.

2. Scende ancora di $42\text{ m}$ per raccogliere campioni del fondale marino.

3. Risale di una distanza pari alla metà della somma dei metri di cui è sceso nelle due manovre precedenti.

1. a) Stima: Prima di eseguire le operazioni combinate passo dopo passo, ragiona se la posizione finale del robot si troverà sopra la superficie del mare (intero positivo), esattamente sulla superficie ($0$) o sotto il livello del mare (intero negativo). Spiega brevemente su che cosa ti basi per la tua stima.
2. b) Calcola: Scrivi l'espressione matematica con numeri interi che rappresenta tutti i movimenti e calcola la quota finale esatta a cui si trova il robot.
3. c) Verifica: Confronta la tua stima iniziale con il valore ottenuto. Il risultato è coerente? La posizione finale appartiene all'insieme $\mathbb{N}$ o soltanto all'insieme $\mathbb{Z}$?

Determina tutti i numeri interi $x$ che soddisfano contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

• Il loro valore assoluto è maggiore di $5$ e minore o uguale a $9$.

• Il numero $x$ non appartiene all'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$.

• $x$ è un numero pari.

Rappresenta graficamente sulla retta numerica l'insieme delle soluzioni ottenute. Puoi usare come guida questa retta, che non è segnata:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un sommergibile di ricerca si trova a una profondità di $-450$ metri rispetto al livello del mare. Lancia una sonda verticale che sale di $125$ metri per prelevare un campione, e poi scende del triplo di quanto era salita.

1. a) Esprimi con numeri interi ciascuno dei movimenti e la posizione finale della sonda.
2. b) Calcola la distanza assoluta tra la posizione iniziale del sommergibile e la posizione finale della sonda.

In una griglia di coordinate, tre dei vertici di un rettangolo sono i punti $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ e $C(2, -1)$.

1. a) Determina le coordinate del quarto vertice $D$ per completare il rettangolo.
2. b) Calcola il perimetro del rettangolo sapendo che ogni unità della griglia equivale a $1$ metro.
3. c) Qual è il punto simmetrico del vertice $A$ rispetto all'asse delle ascisse (asse orizzontale)? Indica le sue coordinate come numeri interi.

Stabilisci, motivando, se le seguenti affermazioni sono vere o false, fornendo un controesempio nel caso siano false:

1. a) Se un numero intero $a$ è minore di $b$, allora il valore assoluto di $a$ è sempre minore del valore assoluto di $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) L'opposto del valore assoluto di qualsiasi numero intero (diverso da zero) è sempre un numero negativo.
3. c) Non esiste alcun numero intero il cui valore assoluto sia uguale al suo opposto.

Dati i numeri interi $a = -12$ e $b = +5$:

1. a) Calcola la distanza tra di essi sulla retta numerica.
2. b) Trova il numero $c$ che sia esattamente alla stessa distanza da $a$ e da $b$. $c$ è un numero intero? Giustifica la risposta.
3. c) Se $d$ è un numero tale che $|d| = |a| + |b|$, quali valori può assumere $d$?

Scrivi il nome di un personaggio storico che soddisfi le seguenti condizioni:

• Nacque nell'anno $x$, dove $x$ è l'opposto di $356$.

• Morì nell'anno $y$, dove $y$ è un numero intero tale che $|y| = 323$ e $y < 0$.

• Calcola quanti anni visse questo personaggio sapendo che l'anno zero non esiste nel calendario gregoriano (si passa dall'1 a.C. all'1 d.C.).

Si definisce una sequenza di numeri interi nel modo seguente:

1. Il primo termine è $a_1 = -5$.

2. Il secondo termine è l'opposto del valore assoluto di $a_1$, aumentato di $2$ unità.

3. Il terzo termine è il valore assoluto del secondo termine, diminuito di $10$ unità.

Calcola il quarto termine, sapendo che è l'opposto della somma dei tre termini precedenti.

Immagina che un termometro intelligente registri la temperatura massima e minima di una città. Un giorno, la temperatura minima fu di $-8$ $^\circ C$. La temperatura massima fu un numero intero $T$ che soddisfa:

• $|T| < 15$

• La differenza tra la massima e la minima (escursione termica) è di $12$ gradi.

• $T$ è un numero maggiore del suo opposto.

Qual è stata la temperatura massima registrata? Indica tutte le possibilità, se ce ne sono più di una.

In una classe seconda della scuola media ci si chiede come trovare le coordinate del punto ottenuto applicando due simmetrie consecutive a un punto generico $P(x, y)$ con coordinate intere non nulle: prima rispetto all'asse $x$ e poi, al punto ottenuto, rispetto all'asse $y$. Due studenti propongono strade diverse:

• Metodo di Sergio: Sceglie un punto concreto, per esempio $P(-3, 5)$. Applica la simmetria rispetto all'asse $x$ ottenendo $P_1(-3, -5)$, e poi la simmetria rispetto all'asse $y$ su $P_1$, ottenendo $P_2(3, -5)$. Poiché osserva che entrambe le coordinate hanno cambiato segno rispetto a $P$, conclude che questa regola vale per qualsiasi punto del piano.

• Metodo di Lucia: Applica le regole algebriche con le lettere: rispetto all'asse $x$, il punto $(x, y)$ si trasforma in $(x, op(y)) = (x, -y)$; poi, rispetto all'asse $y$, un punto $(a, b)$ si trasforma in $(op(a), b) = (-a, b)$, per cui applicandolo a $(x, -y)$ si ottiene $(-x, -y)$.

1. a) Valuta entrambi i metodi: quale dei due dimostra con rigore matematico che la proprietà è vera per tutti i numeri interi del piano e perché l'altro metodo fornisce soltanto una congettura particolare?
2. b) Applica la conclusione generale per trovare direttamente le coordinate finali di $Q(15, -42)$ dopo queste due riflessioni successive, senza calcolare il punto intermedio.
3. c) Se si applicasse poi una terza simmetria, ancora rispetto all'asse $x$, quali coordinate avrebbe il punto finale in funzione di quelle iniziali $(x, y)$? A quale simmetria semplice equivalgono queste tre riflessioni insieme?

Durante una discussione sulle proprietà dei numeri interi, Irene sostiene che le tre affermazioni seguenti sono sempre vere per qualsiasi numero intero:

• Affermazione 1: «Se $a$ e $b$ sono due numeri interi qualsiasi tali che $a < b$, allora necessariamente $|a| < |b|$».

• Affermazione 2: «Per qualsiasi numero intero $n \in \mathbb{Z}$, il suo quadrato $n^2$ è sempre un numero che appartiene a $\mathbb{N}$ e inoltre verifica che $n^2 > n$».

• Affermazione 3: «Se a un numero intero negativo si sottrae un altro numero intero negativo, il risultato appartiene sempre a $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (cioè non può mai dare un numero naturale)».

1. a) Ricorda che per dimostrare che un'affermazione su tutti gli interi è falsa basta trovare un solo controesempio. Dimostra che le tre affermazioni di Irene sono false fornendo un controesempio numerico chiaro e specifico per ciascuna.
2. b) Spiega l'errore concettuale che commette Irene nell'Affermazione 3 e scrivi una condizione precisa sui valori assoluti dei due numeri negativi affinché la loro sottrazione dia come risultato un numero intero positivo.