Esercizi: Problemi con le equazioni

Se al triplo di un numero sommiamo $12$, otteniamo come risultato $48$. Di quale numero si tratta?

Vogliamo mettere una cornice di legno a una fotografia rettangolare. Sappiamo che la lunghezza della fotografia misura $5 \text{ cm}$ più della larghezza. Se per incorniciarla ci è servito un listello di $70 \text{ cm}$ di lunghezza totale (perimetro), quali sono le dimensioni della fotografia?

In un negozio di videogiochi hanno venduto il doppio di console portatili rispetto alle console da salotto. Se in totale hanno venduto $18$ console, quante ne hanno vendute di ciascun tipo?

Alberto ha $4$ anni più di sua sorella Lucia. Se la somma delle età di entrambi è di $26$ anni, quanti anni ha ciascuno dei fratelli?

Un pastore ha un insieme di pecore e galline nel suo recinto. Se contiamo le teste ce ne sono in totale $20$, e se contiamo le zampe ce ne sono $64$. Quante pecore e quante galline ci sono nel recinto? (Ricorda che le pecore hanno $4$ zampe e le galline $2$).

Marta ha comprato $3$ magliette uguali per la squadra di atletica e un pantaloncino sportivo che costava $15 \text{ €}$. Se in totale ha speso $60 \text{ €}$, quanto è costata ciascuna maglietta?

Trova tre numeri interi consecutivi la cui somma sia uguale a $54$.

Il perimetro di un triangolo isoscele è $40 \text{ cm}$. Se il lato diverso misura $10 \text{ cm}$, quanto misura ciascuno dei lati uguali?

In un problema in classe si chiede di calcolare fra quanti anni l'età di un padre sarà il triplo di quella di sua figlia. La figlia ha attualmente $12$ anni e il padre ha $40$ anni. Matteo ha proposto la seguente equazione per risolverlo: $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Indica l'errore concettuale commesso da Matteo e spiega con parole tue perché la sua impostazione contraddice il fatto che il tempo trascorre allo stesso modo per entrambe le persone.
2. b) Scrivi l'equazione corretta che rappresenta il problema e risolvila per scoprire fra quanti anni si verificherà la condizione.

Nella tua scuola vogliono recintare un terreno rettangolare destinato all'orto scolastico. Per la forma del terreno disponibile, la lunghezza deve misurare esattamente il triplo della larghezza. In magazzino hanno una bobina di rete metallica di $64\text{ m}$ che verrà usata interamente per recintare tutto il perimetro.

1. a) Prima di impostare qualsiasi equazione, fai una stima ragionata: è possibile che la larghezza del terreno misuri $10\text{ m}$ o più? Giustifica la tua deduzione senza calcolare il valore esatto.
2. b) Definisci l'incognita, imposta l'equazione corrispondente al perimetro e trova le dimensioni esatte del terreno (larghezza e lunghezza).
3. c) Verifica la soluzione ottenuta e conferma se è in accordo con la tua stima precedente.

In un social network, il numero di follower di Alba è il triplo di quello di suo fratello Saverio. Se Alba perdesse $150$ follower e Saverio ne guadagnasse $50$, entrambi ne avrebbero esattamente lo stesso numero. Quanti follower ha attualmente ciascuno?

Un campo da padel rettangolare ha un perimetro di $60$ metri. Sapendo che la lunghezza del campo misura $6$ metri più della larghezza, calcola le dimensioni (lunghezza e larghezza) del campo.

L'età di una madre è attualmente il triplo di quella di suo figlio. $6$ anni fa, la somma delle età di entrambi era di $40$ anni. Quanti anni hanno attualmente il figlio e la madre?

Marco ha comprato un videogioco e delle cuffie per la sua console. Le cuffie gli sono costate $12$ € in meno del videogioco. Se il videogioco fosse scontato della metà del suo prezzo originale, Marco avrebbe pagato $48$ € per le due cose insieme. Qual è il prezzo originale di ciascun articolo?

Un agricoltore vuole recintare un terreno triangolare per le sue pecore. Sapendo che si tratta di un triangolo isoscele, che il lato diverso misura $5$ metri in meno di ciascuno dei lati uguali e che in totale sono serviti $40$ metri di recinzione, quanto misura ciascun lato del terreno?

In un bar hanno mescolato caffè della Colombia, che costa $12$ €/kg, con caffè del Brasile, che costa $8$ €/kg. Se hanno ottenuto $20$ kg di miscela e il prezzo finale di questa è di $9$ €/kg, quanti chili di caffè di ciascun tipo hanno utilizzato?

Trova tre numeri interi consecutivi tali che la somma dei primi due sia maggiore di $15$ unità rispetto al terzo numero.

Calcola le dimensioni di un rettangolo sapendo che la sua base è maggiore di $3$ cm rispetto alla sua altezza e che, se aumentiamo l'altezza di $2$ cm, l'area del nuovo rettangolo aumenta di $16$ $cm^2$.

Nel trasporto urbano di una città italiana, il biglietto singolo diurno dell'autobus costa $1,40$ € e il biglietto della linea notturna costa $2,10$ €. Il mese scorso Irene ha usato l'autobus in totale $35$ volte e l'estratto della sua carta prepagata ha riportato una spesa totale di esattamente $57,40$ €.

1. a) Definisci l'incognita principale indicando con chiarezza che cosa rappresenta ed esprimi il numero di viaggi notturni in funzione di tale incognita.
2. b) Imposta un'equazione di primo grado che metta in relazione i biglietti utilizzati con la spesa totale e risolvila per sapere quanti viaggi di ciascun tipo ha fatto Irene.
3. c) Verifica se i valori numerici ottenuti hanno senso nella vita reale in base al tipo di soluzione richiesto da questo problema.

Devi ideare un problema di algebra per la verifica della tua classe. Il testo deve iniziare così: «Attualmente, Mario ha il doppio dell'età di sua sorella Clara...». Il tuo compito consiste nell'aggiungere una seconda frase che descriva una relazione tra le età che avranno entrambi fra $6$ anni (basata sulla somma delle loro età future), in modo tale che, risolvendo l'equazione, si ottenga necessariamente che oggi Clara ha $8$ anni.

1. a) Determina quanti anni avranno Mario e Clara fra $6$ anni sapendo che oggi Clara ha $8$ anni, e calcola quanto varrà la somma delle loro età in quel momento futuro.
2. b) Scrivi il testo completo e coerente del problema inserendo tale dato numerico.
3. c) Imposta l'equazione a partire dal testo che hai scritto, risolvila passo dopo passo e dimostra che la soluzione è, appunto, $x = 8$.

Un laboratorio di profumi vuole creare una nuova fragranza miscelando due essenze. L'essenza A costa $120$ €/litro e l'essenza B costa $75$ €/litro. Hanno deciso che, per ottenere un flacone da $250$ ml, il costo della miscela deve essere esattamente $24,75$ €. Quale quantità di ciascuna essenza, misurata in millilitri, deve contenere il flacone?

In una gara di robotica, un robot parte dal traguardo a una velocità costante di $2$ m/s. Trenta secondi dopo, un secondo robot parte al suo inseguimento a una velocità di $3,5$ m/s. Se la pista ha una lunghezza totale di $150$ metri prima di arrivare a una zona di ostacoli, il secondo robot riuscirà a raggiungere il primo prima che questo entri nella zona di ostacoli? Imposta l'equazione e giustifica la risposta calcolando la distanza del raggiungimento.

Si vuole progettare un giardino rettangolare circondato da un sentiero di piastrelle largo $2$ metri in modo costante. La lunghezza del giardino è il doppio della sua larghezza. Se sappiamo che l'area totale occupata dal sentiero di piastrelle è di $112$ m$^2$, quali sono le dimensioni del giardino (larghezza e lunghezza)?

Un numero ha due cifre che sommano $12$. Se invertiamo l'ordine delle sue cifre, otteniamo un nuovo numero che è maggiore di $18$ unità rispetto al numero originale. Trova il numero originale utilizzando un'equazione in una sola incognita (Suggerimento: ricorda che un numero di due cifre si può scrivere come $10x + y$).

L'età di un padre è oggi il triplo di quella di suo figlio. $6$ anni fa, l'età del padre era cinque volte l'età che aveva allora suo figlio. Quanti anni devono passare perché la somma delle età del padre e del figlio sia esattamente di $100$ anni?

Una cisterna d'acqua viene riempita mediante due rubinetti. Il rubinetto A impiega $6$ ore in più del rubinetto B a riempire la cisterna da solo. Se si aprono entrambi contemporaneamente, la cisterna si riempie in esattamente $4$ ore. Calcola quanto tempo impiegherebbe il rubinetto B a riempire la cisterna da solo. (Questo problema richiede di risolvere un'equazione di secondo grado).

Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che i suoi tre lati sono espressi da tre numeri naturali consecutivi. (Suggerimento: usa il teorema di Pitagora $a^2 + b^2 = c^2$, dove $c$ è il lato maggiore).

Un'azienda di corrieri utilizza furgoni e moto. I furgoni hanno $4$ ruote e le moto $2$. In totale ci sono $24$ conducenti (uno per veicolo) e $64$ ruote. Per motivi logistici, il costo di manutenzione giornaliero è di $15$ € per furgone e $6$ € per moto. Se il budget totale giornaliero di manutenzione è di $200$ €, quanti conducenti di furgone dovrebbero passare, come minimo, a guidare moto per non superare il budget senza cambiare il numero totale di veicoli?

Durante la festa di fine anno scolastico sono stati venduti al bar della scuola un totale di $60$ panini per raccogliere fondi per il viaggio. I panini con la frittata sono stati venduti a $2,20$ € l'uno e quelli con il prosciutto crudo a $2,80$ €. L'incasso totale è stato di $147,60$ €.

Per scoprire quanti panini di ciascun tipo sono stati venduti, due studenti propongono strade diverse:

• Sara dice: «Preferisco usare solo l'incognita $x$ per quelli con la frittata, esprimere quelli con il prosciutto come $60 - x$ e risolvere una sola equazione di primo grado».

• Davide dice: «È più ordinato usare due incognite, $x$ per quelli con la frittata e $y$ per quelli con il prosciutto, e impostare un sistema di due equazioni lineari».

1. a) Imposta e risolvi il problema seguendo dall'inizio alla fine il metodo proposto da Sara.
2. b) Imposta e risolvi il problema seguendo dall'inizio alla fine il metodo proposto da Davide.
3. c) Confronta i due procedimenti: quali vantaggi e svantaggi presenta ciascuna strada nel tradurre i dati del testo e nell'eseguire le operazioni algebriche? Giustifica quale consiglieresti a un compagno che di solito ha dubbi nel ricavare le incognite.

La bolletta trimestrale dell'acqua di un'abitazione in una località italiana comprende una quota fissa di servizio di $18,50$ € e un costo in base al volume consumato. Per incentivare il risparmio di fronte alla siccità, i primi $30\text{ m}^3$ di acqua consumati nel trimestre vengono fatturati a $1,35$ €/$\text{m}^3$, mentre ogni metro cubo aggiuntivo oltre tale limite viene fatturato a un prezzo penalizzante di $2,10$ €/$\text{m}^3$.

Una famiglia ha ricevuto una bolletta trimestrale con un importo totale da pagare di $71,60$ €.

1. a) Dimostra numericamente, prima di formulare l'equazione complessiva, perché il consumo di questa famiglia ha dovuto necessariamente superare i $30\text{ m}^3$.
2. b) Definisci l'incognita $x$, formula l'equazione di primo grado che descrive la bolletta e calcola quanti metri cubi di acqua ha consumato la famiglia nel trimestre.
3. c) Se nel trimestre successivo la famiglia riesce a ridurre il suo volume di consumo $\text{m}^3$ della metà, l'importo totale in euro della bolletta si ridurrà esattamente anch'esso della metà? Giustifica la tua risposta analizzando algebricamente l'influenza del termine fisso e del cambio di fascia tariffaria.

Sfida del tema. Come ottimizzeresti lo spazio e il consumo della tua zona di studio? Diventa consulente di efficienza domestica risolvendo questa sfida a casa.

1. Raccolta dei dati: Misura con il metro a nastro lo spazio della tua scrivania e consulta sul sito di Terna il prezzo medio del kWh (circa $0,14$ €/kWh).

2. Energia e tempo: Imposta un problema con un'equazione di primo grado per calcolare quante ore di accensione servono ad ammortizzare una lampadina LED rispetto a una tradizionale. Poi risolvi un sistema di due equazioni lineari (per esempio, con $x+y=24$) per ripartire le ore del giorno tra studio e svago in base al costo energetico previsto.

3. Progettazione geometrica: Progetta una base protettiva rettangolare per il pavimento sapendo che la sua lunghezza deve misurare $0,5$ m più della sua larghezza ($x$). Imposta e risolvi un'equazione di secondo grado del tipo $x(x+0,5)=A$ fissando un'area reale $A$ adatta alla tua camera.

4. Relazione finale: Elabora una breve relazione (con l'aiuto di GeoGebra per la pianta o di un foglio di calcolo per i costi) giustificando le tue scelte con le soluzioni matematiche ottenute.

Verrà valutato:

• Rigore nell'impostazione e nella risoluzione algebrica di equazioni di primo e secondo grado e di sistemi.

• Uso coerente di dati reali e giustificazione delle soluzioni contestualizzate.

• Qualità della relazione e uso degli strumenti digitali (GeoGebra o Calc/Excel).