Esercizi: Volume

Per un progetto in classe devi stimare quanta acqua entra nel tuo zaino scolastico. Se supponiamo che il tuo zaino abbia una capacità di $18.500 \text{ cm}^3$, quanti litri d'acqua potrebbe contenere se fosse completamente impermeabile?

Ricorda che $1 \text{ dm}^3$ equivale a $1 \text{ litro}$.

Hai comprato un nuovo smartphone e vuoi calcolare il volume della sua scatola per sapere quanto spazio occuperà sulla tua mensola. La scatola è un parallelepipedo rettangolo con le seguenti dimensioni: $16 \text{ cm}$ di lunghezza, $9 \text{ cm}$ di larghezza e $5 \text{ cm}$ di altezza. Calcola il suo volume in $\text{cm}^3$.

Una famosa marca di bibite usa lattine cilindriche per le sue bevande. Se il raggio di base della lattina è $3 \text{ cm}$ e la sua altezza è $12 \text{ cm}$, calcola il volume di bibita che la lattina può contenere. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Sei in campeggio con i tuoi amici e avete una tenda a forma di prisma triangolare retto. La base della tenda (il pavimento) è un triangolo di base $2 \text{ m}$ e altezza $1,5 \text{ m}$. Se la tenda ha una lunghezza (profondità) di $3 \text{ m}$, qual è il volume d'aria all'interno della tenda?

Hai un fermacarte di vetro a forma di piramide quadrangolare regolare. L'area della sua base quadrata è $25 \text{ cm}^2$ e l'altezza della piramide è $9 \text{ cm}$. Calcola il volume di vetro necessario per realizzare questo fermacarte.

Per una festa di compleanno sono stati realizzati dei cappellini di cartoncino a forma di cono. Se ogni cappellino ha un raggio di $8 \text{ cm}$ e un'altezza di $15 \text{ cm}$, quale volume d'aria rimane «intrappolato» dentro il cappellino quando qualcuno lo indossa? (Usa $\pi \approx 3,14$).

Una pallina da ping-pong ha un raggio di $2 \text{ cm}$. Calcola il volume della pallina da ping-pong in $\text{cm}^3$. (Usa la formula del volume della sfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ e prendi $\pi \approx 3,14$).

Nel laboratorio di scienze hanno un piccolo acquario a forma di parallelepipedo rettangolo. Le sue misure sono $40 \text{ cm}$ di lunghezza, $20 \text{ cm}$ di larghezza e $25 \text{ cm}$ di altezza. Se lo riempiamo d'acqua fino a un'altezza di $20 \text{ cm}$, quanti litri d'acqua abbiamo versato?

Lucia vuole calcolare il volume di una candela profumata di forma cilindrica. La candela misura $10\text{ cm}$ di diametro e $12\text{ cm}$ di altezza. Sul suo quaderno ha scritto la seguente risoluzione:

1. a) Individua e spiega in dettaglio quale errore concettuale ha commesso Lucia nell'impostazione.
2. b) Correggi il suo svolgimento e calcola il volume corretto di cera contenuta nella candela (prendi $\pi \approx 3,14$).
3. c) Se Lucia usasse il suo risultato errato per ordinare la cera alla fabbrica, quante volte più materiale del necessario avrebbe ordinato? Giustifica la risposta a partire dalla formula del volume, senza rifare operazioni con i decimali.

Un produttore di palloni realizza palloni da basket di taglia 7, di forma sferica con raggio $12\text{ cm}$. Per la distribuzione, ogni pallone gonfiato viene imballato in una scatola cubica individuale in cui entra esattamente (con spigoli di $24\text{ cm}$).

1. a) Prima di calcolare il volume della sfera, stima mentalmente il volume della scatola cubica in litri (ricorda che $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro} = 1.000\text{ cm}^3$). A partire da questa cifra, fai una stima ragionata: pensi che il pallone occuperà più o meno della metà del volume della scatola?
2. b) Calcola il volume esatto del pallone sferico applicando la formula corrispondente (usa $\pi \approx 3,14$) ed esprimilo in litri arrotondando a due cifre decimali.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta calcolando quale percentuale esatta del volume della scatola occupa realmente il pallone. Che ne pensi dello spazio d'aria sprecato nel trasporto?

Una nota marca di frullati ha progettato un nuovo contenitore cilindrico per la sua edizione limitata estiva. Il barattolo ha un diametro di $8\text{ cm}$ e un'altezza di $15\text{ cm}$. Se il produttore indica che il frullato occupa il $90\%$ della capacità totale del contenitore per lasciare spazio all'aria, calcola quanti millilitri ($ml$) di prodotto contiene ogni barattolo.

Hai deciso di costruire un formicaio di gel per un progetto di scienze. Il contenitore ha la forma di un parallelepipedo rettangolo con dimensioni $25\text{ cm}$ di lunghezza, $10\text{ cm}$ di larghezza e $18\text{ cm}$ di altezza. Se il gel si vende in barattoli da $0,5\text{ litri}$, quanti barattoli interi dovrai comprare per riempire il formicaio fino a un'altezza di $15\text{ cm}$?

Un'azienda di profumi lancia una fragranza in un flacone a forma di cono retto. Il raggio della base è $3\text{ cm}$ e l'apotema misura $5\text{ cm}$. Calcola il volume di profumo che sta nel flacone espresso in centimetri cubi. Aiuto: prima dovrai trovare l'altezza del cono usando il teorema di Pitagora.

In un museo della scienza c'è un'esposizione interattiva con una sfera di vetro piena di un gas nobile. Se il diametro della sfera è $60\text{ cm}$, qual è il volume di gas al suo interno? Esprimi il risultato in metri cubi ($m^3$).

Un silo per lo stoccaggio di cereali ha una forma composta: un corpo cilindrico di altezza $10\text{ m}$ e una cupola semisferica nella parte superiore. Se il raggio della base è $4\text{ m}$, calcola la capacità totale del silo in ettolitri ($hl$).

Per un evento di videogiochi è stato progettato un trofeo costituito da una piramide quadrangolare regolare di bronzo. Il lato del quadrato di base misura $12\text{ cm}$ e lo spigolo laterale (quello che unisce il vertice con un angolo della base) misura $10\text{ cm}$. Calcola il volume di bronzo necessario per realizzare un trofeo.

Il principio di Cavalieri afferma che due solidi con la stessa altezza e le cui sezioni a una stessa distanza dalla base hanno la stessa area, hanno lo stesso volume. Confronta un prisma esagonale regolare di altezza $20\text{ cm}$ e area di base $30\text{ cm}^2$ con un cilindro della stessa altezza e della stessa area di base. Se versiamo $0,5\text{ litri}$ di acqua in ciascuno, quale si riempirà per primo? Giustifica la tua risposta calcolando il volume di entrambi.

Una piscina comunale a forma di prisma rettangolare ha una capacità di $1200\text{ m}^3$. Sapendo che la lunghezza della piscina è $50\text{ metri}$ e la larghezza $12\text{ metri}$, calcola la profondità (altezza) della piscina. Se il comune decide di riempirla solo fino ai $4/5$ della sua capacità per sicurezza, quanti litri d'acqua ci saranno nella piscina?

Un maestro gelatiere artigianale di Bologna vuole commissionare il progetto di un nuovo stampo conico per servire un sorbetto. Ha stabilito che lo stampo deve avere una capacità esatta di $200\text{ ml}$ quando è completamente pieno a filo (ricorda che $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Per motivi di stabilità sul tavolo, ha inoltre deciso che l'altezza del cono deve essere esattamente quattro volte il raggio della sua base circolare ($h = 4r$).

1. a) Scrivi la formula del volume del cono sostituendo l'altezza $h$ con l'espressione $4r$ e semplificala in modo che dipenda soltanto dal raggio $r$.
2. b) Imposta l'equazione corrispondente uguagliando la formula precedente al volume desiderato ($200\text{ cm}^3$) e trova il valore del raggio $r$ e dell'altezza $h$. Arrotonda le dimensioni ai decimi di centimetro (usa $\pi \approx 3,14$).
3. c) Esegui la verifica: calcola il volume del cono con le misure ottenute e controlla che si ottenga un valore vicino ai $200\text{ ml}$ richiesti (la piccola differenza è dovuta all'arrotondamento).

Secondo i registri di una stazione meteorologica in provincia di Bologna, durante un episodio di piogge torrenziali si è accumulata una precipitazione di $75\text{ l/m}^2$ (litri per metro quadrato). Un vivaio agricolo della zona dispone di una copertura piana in policarbonato di $20\text{ m}$ di lunghezza per $8\text{ m}$ di larghezza che raccoglie tutta l'acqua caduta e la convoglia interamente in una cisterna cilindrica di diametro interno $3\text{ m}$ e profondità $4\text{ m}$, che era completamente vuota prima del temporale.

1. a) Modella la situazione e calcola il volume totale di acqua piovana (sia in litri sia in metri cubi) raccolto dalla copertura della serra.
2. b) Determina l'altezza in metri che raggiungerà l'acqua nella cisterna al termine dell'episodio (usa $\pi \approx 3,14$ e arrotonda a due cifre decimali).
3. c) Interpreta il risultato ottenuto: c'è il rischio che la cisterna sia traboccata? In caso contrario, quanti litri in più sarebbero serviti per riempirla completamente?

Un designer ha creato un trofeo per un torneo di eSports con una forma geometrica complessa. Il trofeo è costituito da un prisma quadrangolare regolare di legno sul quale poggia una piramide quadrangolare regolare di metallo. Lo spigolo della base comune misura $12\text{ cm}$. L'altezza del prisma è $20\text{ cm}$ e sappiamo che lo spigolo laterale della piramide misura $10\text{ cm}$. Calcola il volume totale del trofeo in decimetri cubi ($dm^3$).

Un pezzo industriale di acciaio ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Per alleggerirne il peso, è stato praticato un foro cilindrico che attraversa il pezzo dall'alto in basso sulla sua faccia più grande. Il raggio del cilindro è $2\text{ cm}$. Sapendo che la densità dell'acciaio è $7,85\text{ g/cm}^3$, calcola la massa totale del pezzo in chilogrammi. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Nel laboratorio di fisica, gli studenti immergono completamente una sfera di piombo in un recipiente cilindrico pieno d'acqua fino a metà. Il raggio del recipiente è $10\text{ cm}$. Immergendo la sfera, il livello dell'acqua sale esattamente di $4,5\text{ cm}$ senza traboccare. Qual è il raggio della sfera di piombo? Esprimi il risultato in centimetri con due cifre decimali.

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un tronco di piramide quadrangolare regolare. Gli spigoli delle basi misurano $4\text{ m}$ e $2\text{ m}$ rispettivamente. L'altezza del serbatoio è $3\text{ m}$. Se il serbatoio è pieno fino a tre quarti della sua altezza (cioè l'acqua raggiunge i $2,25\text{ m}$ dalla base), quanti litri d'acqua contiene? (Nota: dovrai usare la similitudine per trovare il lato della superficie dell'acqua).

Calcola il volume di una piramide esagonale regolare il cui spigolo laterale misura $13\text{ cm}$ e il lato della base misura $10\text{ cm}$. Ricorda che in un esagono regolare il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al lato. Esprimi il risultato in $cm^3$ approssimando alle unità.

Un produttore di gelati vuole confrontare due contenitori. Il primo ha la forma di un cono di raggio $6\text{ cm}$ e altezza $15\text{ cm}$. Il secondo è un cilindro con lo stesso raggio e la stessa altezza, ma al suo interno contiene una semisfera di cioccolato che occupa la parte inferiore. Se anche il raggio della semisfera è $6\text{ cm}$, quale dei due contenitori ha maggior volume disponibile per il gelato alla vaniglia? Motiva la risposta eseguendo i calcoli.

Si vuole costruire una rampa di calcestruzzo per uno skate park. La rampa ha la forma di un prisma retto la cui base è un trapezio rettangolo. Le basi del trapezio misurano $3\text{ m}$ e $1\text{ m}$, e la sua altezza (lunghezza della base della rampa a terra) è $5\text{ m}$. Se la larghezza della rampa è $4\text{ m}$, calcola quanti metri cubi di calcestruzzo servono e il costo totale se il prezzo è $95\text{ €/m}^3$.

Un'azienda di profumi vende la sua fragranza di punta in un flacone costituito da un cilindro di vetro di diametro $4\text{ cm}$ e altezza $10\text{ cm}$, sormontato da un tappo a forma di cono con la stessa base e altezza $3\text{ cm}$. Se il flacone viene riempito solo fino al $85\%$ della sua capacità totale per lasciare spazio all'aria, quanti millilitri ($ml$) di profumo contiene ogni flacone? (Usa $\pi \approx 3,1416$).

Un'officina meccanica deve produrre pezzi pieni di bronzo a forma di prisma retto a base esagonale regolare. L'altezza del pezzo è $15\text{ cm}$, il lato dell'esagono di base misura $8\text{ cm}$ e l'apotema della base misura circa $6,93\text{ cm}$. Due studenti in tirocinio propongono due metodi per calcolare il volume di metallo:

• Metodo 1 (Marco): Calcola l'area dell'esagono con la solita formula del poligono regolare ($A = \frac{perímetro \cdot apotema}{2}$) e la moltiplica per l'altezza del prisma.

• Metodo 2 (Sara): Divide mentalmente il prisma esagonale in $6$ prismi triangolari retti identici la cui base è un triangolo di base $8\text{ cm}$ e altezza $6,93\text{ cm}$, calcola il volume di uno di essi e lo moltiplica per $6$.

1. a) Applica numericamente entrambi i metodi e verifica se portano esattamente allo stesso risultato.
2. b) Giustifica algebricamente perché entrambi i metodi sono matematicamente equivalenti analizzando le loro formule generali.
3. c) Nel progetto finale si decide di forare il pezzo dall'alto in basso con un foro cilindrico centrale di diametro $4\text{ cm}$ per alleggerire il peso. Quale dei due metodi concettuali si adatta in modo più semplice per calcolare il volume di metallo rimasto? Spiega la tua scelta e calcola il volume finale del pezzo forato (usa $\pi \approx 3,14$).

In una cooperativa agricola del Veneto si progetta un silo metallico per immagazzinare cereali. Il corpo principale è un cilindro verticale con raggio di base $4\text{ m}$ e altezza $12\text{ m}$, chiuso nella parte superiore da una tramoggia conica il cui raggio coincide con quello del cilindro e il cui apotema misura $5\text{ m}$.

1. a) Disegna mentalmente la sezione della copertura conica, individua il triangolo rettangolo formato dai suoi elementi e usa il teorema di Pitagora per ricavare l'altezza esatta del cono superiore.
2. b) Sapendo che la densità apparente del grano secco è $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ tonnellate per metro cubo), calcola la massa massima di grano in tonnellate che il silo può contenere quando è completamente pieno (cilindro e cono insieme). Usa $\pi \approx 3,14$.
3. c) Il responsabile del silo afferma: «Poiché l'altezza del cono è un quarto dell'altezza del cilindro, il cono deve contribuire per circa il $25\%$ del volume totale del silo». Analizza matematicamente questa affermazione calcolando la percentuale reale che il volume del cono rappresenta rispetto al volume totale e spiega con argomenti geometrici perché il ragionamento del responsabile è errato.