Esercizi: Frequenza relativa e probabilità sperimentale

Si è lanciato un dado $50$ volte e il $6$ è uscito $8$ volte.

a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «esce $6$».

b) Confrontala con la probabilità teorica $\frac{1}{6}$. Ti sembra ragionevole il risultato?

Si è fatta girare $40$ volte la freccia di una roulette con $4$ colori e si sono ottenuti questi risultati: rosso $12$ volte, blu $10$, verde $8$ e giallo $10$.

a) Costruisci una tabella con le frequenze assolute e relative di ciascun colore.

b) Quale colore è uscito con la frequenza relativa maggiore?

Lanciando una moneta $200$ volte si sono ottenute $98$ teste.

a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «testa».

b) Sospetteresti che la moneta sia truccata? Perché?

In una classe di $30$ alunni, $12$ vengono a scuola in bicicletta o in monopattino.

a) Qual è la frequenza relativa di quell'evento nella classe?

b) Se la scuola ha $600$ alunni, quanti ti aspetteresti che venissero in bici o in monopattino? È il valore esatto o solo una stima? Perché?

Marco lancia un normale dado cubico di $6$ facce un totale di $12$ volte per verificare se è truccato. Ottiene il numero $5$ in $4$ occasioni. Dopo l'esperimento, Marco afferma: «La frequenza relativa di ottenere un $5$ è $4/12 = 1/3 \approx 0,33$. Poiché la probabilità teorica è $1/6 \approx 0,17$, il dado è chiaramente truccato. Inoltre, al lancio successivo è quasi impossibile che esca di nuovo il $5$, perché è già uscito troppo».\n\na) Individua i due errori di ragionamento probabilistico che commette Marco e spiega perché sono scorretti.\n\nb) Perché una serie di soli $12$ lanci non permette di stabilire se il dado è truccato oppure no?\n\nc) Se il dado fosse regolare e venisse lanciato $1\,200$ volte, attorno a quale valore ti aspetteresti che si stabilizzasse la frequenza relativa di ottenere un $5$ e quante volte uscirebbe approssimativamente quel numero?

In un banchetto di una fiera di beneficenza c'è un'urna opaca con biglietti vincenti e non vincenti. Dopo aver aperto i primi $50$ biglietti del pomeriggio, la frequenza relativa di biglietti vincenti è stata esattamente $0,14$.\n\na) Quanti biglietti vincenti sono usciti in quelle prime $50$ estrazioni?\n\nb) L'organizzazione aggiunge nuovi biglietti e si propone che, al termine delle successive $150$ estrazioni (raggiungendo un totale cumulato di $200$ biglietti giocati), la frequenza relativa totale di vincite salga esattamente fino a $0,20$. Quanti biglietti vincenti dovrebbero uscire obbligatoriamente in questa seconda serie di $150$ estrazioni?\n\nc) Spiega perché, anche se l'organizzazione ha progettato l'urna con quell'intenzione, il carattere casuale dell'estrazione non permette di assicurare al $100\,\%$ che nella seconda serie uscirà esattamente la quantità calcolata.

Si lancia un dado un numero sempre maggiore di volte e si annota la frequenza relativa dell'evento «esce $4$»: con $10$ lanci esce $0,2$; con $50$, $0,18$; con $100$, $0,16$; con $500$, $0,164$; con $1\,000$, $0,167$.

a) Verso quale valore sembra stabilizzarsi la frequenza relativa?

b) Che relazione ha quel valore con la definizione classica di probabilità?

c) Quanti «quattro» ti aspetteresti in $6\,000$ lanci?

Una fabbrica di scarpe da ginnastica controlla $400$ paia al giorno e annota quelle che hanno qualche difetto: lunedì $8$, martedì $5$, mercoledì $10$, giovedì $6$ e venerdì $11$.

a) Calcola la frequenza relativa di paia difettose di ciascun giorno.

b) Calcola la frequenza relativa di paia difettose dell'intera settimana.

c) Se scegliamo a caso un paio prodotto quella settimana, quale probabilità stimeresti che sia difettoso?

Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» lanciando una moneta un numero crescente di volte.

a) Leggi nel grafico la frequenza relativa dopo $80$ lanci.

b) Verso quale valore sembra stabilizzarsi la frequenza relativa?

c) Pensi che la moneta sia truccata? Giustifica la risposta.

Un astragalo (osso di agnello che si usava come dado) è stato lanciato $600$ volte ed è caduto con la faccia liscia verso l'alto $264$ volte.

a) Quale probabilità sperimentale assegneresti a quel risultato?

b) Spiega perché in questo esperimento non si può applicare la definizione classica di probabilità.

c) Quante volte ti aspetteresti che cadesse così nei prossimi $150$ lanci?

Un insegnante chiede di far girare $360$ volte una roulette con tre settori: rosso ($180º$), blu ($90º$) e verde ($90º$). Tre alunni consegnano questi risultati:

a) Calcola la frequenza relativa di ciascun colore nelle tre tabelle.

b) Quali sarebbero le frequenze attese secondo le probabilità teoriche?

c) Due degli alunni hanno barato. Chi sono e perché?

Si lancia $100$ volte il coperchio di un barattolo e cade con la parte superiore verso l'alto $64$ volte.

a) Stima la probabilità che cada con la parte superiore verso l'alto.

b) E che cada con la parte superiore verso il basso?

c) Se lo si lancia altre $500$ volte, quante volte è lecito aspettarsi che cada con la parte superiore verso l'alto?

d) Perché non possiamo usare la definizione classica di probabilità con il coperchio?

Il grafico mostra la frequenza relativa di «testa» in $500$ lanci di una moneta.

a) Verso quale valore si stabilizza la frequenza relativa?

b) La moneta è truccata? Perché?

c) Quante teste ti aspetteresti se la si lanciasse altre $1\,000$ volte?

Una giocatrice di basket ha una percentuale storica del $80\%$ nei tiri liberi. Nell'ultima partita ne ha segnati solo $3$ su $5$. La sua allenatrice commenta: «Oggi la sua probabilità di successo è diminuita».

a) Sei d'accordo con l'allenatrice? Motiva la risposta distinguendo tra probabilità e frequenza su poche ripetizioni.

b) Che cosa ti aspetteresti se tirasse $100$ tiri liberi nei prossimi allenamenti?

Durante gli allenamenti del mese, Lucia ha tirato $80$ tiri liberi a canestro e ne ha segnati $68$.\n\na) Senza fare divisioni scritte né usare la calcolatrice, stima in modo ragionato se la sua frequenza relativa di successo è più vicina al $70\,\%$, al $85\,\%$ o al $95\,\%$. Spiega su che cosa ti basi mentalmente per fare la stima.\n\nb) Calcola il valore esatto della frequenza relativa di successi espressa come frazione ridotta ai minimi termini, numero decimale e percentuale. Verifica se la tua stima del punto precedente era corretta.\n\nc) Nella partita successiva, Lucia tira i suoi primi $4$ tiri liberi e ne sbaglia $4$. Uno spettatore afferma: «Lucia ha perso la mira; la sua probabilità di segnare è crollata». Basandoti sul rapporto tra la dimensione del campione e la stabilità delle frequenze relative, spiega perché la conclusione dello spettatore non ha fondamento matematico.

Una stazione meteorologica in una località costiera ha registrato il tempo giornaliero nel mese di ottobre negli ultimi $20$ anni, accumulando una serie storica di $620$ giorni di ottobre. In questa registrazione si sono contate precipitazioni apprezzabili in $217$ di quei giorni.\n\na) Modella la probabilità che piova in un giorno qualsiasi di ottobre in tale località a partire dalla sua frequenza relativa storica. Esprimi il risultato come frazione ridotta ai minimi termini, numero decimale e percentuale.\n\nb) I primi $4$ giorni di ottobre di quest'anno sono stati completamente asciutti e sereni. Un vicino afferma: «Domani, il 5, pioverà di sicuro per compensare, perché la probabilità di pioggia è alta». Ragiona in modo critico se questa affermazione è valida dal punto di vista del caso.\n\nc) Se il mese di ottobre ha $31$ giorni, quanti giorni di pioggia ci si aspetterebbero teoricamente in tutto il mese secondo il tuo modello? Significa che in qualsiasi anno pioverà necessariamente quel numero di giorni? Giustifica la risposta usando il concetto di variabilità campionaria.

Sospettiamo che un dado sia truccato e lo lanciamo $600$ volte. Il $6$ esce $168$ volte.

a) Calcola la frequenza relativa dell'evento «esce $6$».

b) Quale frequenza relativa ti aspetteresti se il dado fosse regolare?

c) Concluderesti che il dado è truccato? Perché?

d) Se continuiamo a lanciarlo per altre $300$ volte, quanti «sei» ti aspetteresti, secondo la tua conclusione?

Un supermercato ha una macchina per la restituzione dei vuoti che, in media, non dovrebbe rifiutare più del $2\%$ dei contenitori validi. In una settimana si registrano questi dati:

a) Calcola la frequenza relativa di rifiuto di ciascun giorno, arrotondando ai millesimi.

b) Calcola la frequenza relativa di rifiuto dell'intera settimana.

c) Il responsabile deve decidere se chiamare l'assistenza tecnica. Cosa gli consigli? Motiva la decisione con i dati.

Dopo aver lanciato una moneta $4$ volte e aver ottenuto $3$ teste, Omar afferma: «La probabilità di ottenere testa con questa moneta è $0,75$».

a) Spiega l'errore della sua affermazione.

b) Che cosa dovrebbe fare Omar per stimare la probabilità in modo attendibile?

c) Se la moneta è regolare, verso quale valore si avvicinerà la frequenza relativa di teste all'aumentare del numero di lanci?

Due squadre di classe stimano sperimentalmente la probabilità di ottenere somma $7$ lanciando due dadi. La squadra A lancia $30$ volte e ottiene quell'evento $6$ volte; la squadra B lancia $300$ volte e lo ottiene $50$ volte.

a) Calcola le frequenze relative di entrambe le squadre.

b) Calcola la probabilità teorica di «somma $7$» applicando la definizione classica di probabilità.

c) Quale stima è più attendibile? Perché?

Nel laboratorio di matematica della seconda media si propongono due sfide:\n- Sfida 1: Determinare la probabilità che una puntina da disegno cada «con la punta verso l'alto» quando viene lanciata su un tavolo.\n- Sfida 2: Determinare la probabilità di ottenere una somma uguale a $7$ lanciando contemporaneamente due dadi cubici standard numerati da $1$ a $6$.\n\nPer risolverle, due gruppi propongono metodi diversi:\n- Metodo A (teorico / definizione classica di probabilità): Scrivere lo spazio campionario, contare i casi favorevoli e i casi possibili, e dividere i casi favorevoli per i casi possibili.\n- Metodo B (sperimentale / frequenze relative): Lanciare l'oggetto $1\,000$ volte, annotare quante volte si verifica l'evento e calcolare il quoziente $f/N$.\n\na) Per la Sfida 1, scegli quale dei due metodi è l'unico adatto e giustifica in modo rigoroso perché l'altro metodo porterebbe a un risultato falso.\n\nb) Per la Sfida 2, analizza la validità di entrambi i metodi. Quale sceglieresti perché esatto ed efficiente senza bisogno di eseguire lanci fisici? Giustifica la risposta spiegando perché in questo caso la definizione classica di probabilità è applicabile.\n\nc) Scrivi una conclusione generale che serva da guida ai tuoi compagni per sapere in quali situazioni del mondo reale è strettamente necessario ricorrere alla probabilità sperimentale e in quali è preferibile il calcolo teorico.

La Polizia Stradale effettua controlli preventivi sulla revisione dei veicoli a furgoni per le consegne. Si dispone dei dati di due controlli indipendenti nella stessa zona:\n- Campione A (controllo rapido in una zona industriale): Sono stati ispezionati $50$ furgoni e $8$ sono risultati con la revisione scaduta.\n- Campione B (campagna intensiva sul territorio): Sono stati ispezionati $1\,200$ furgoni e $132$ sono risultati con la revisione scaduta.\n\na) Calcola la frequenza relativa (in percentuale) di furgoni con revisione scaduta nel Campione A, nel Campione B e nell'insieme dei due campioni uniti ($1\,250$ furgoni in totale).\n\nb) Un rapporto preliminare afferma che nella zona industriale (Campione A) il problema della revisione è molto più grave perché la proporzione ottenuta è del $16\,\%$, mentre nel territorio (Campione B) è solo del $11\,\%$. Utilizzando la legge dei grandi numeri e l'influenza delle fluttuazioni casuali nei campioni piccoli, confuta questa argomentazione e spiega perché non si può affermare tale differenza.\n\nc) Se nel registro provinciale risultano $35\,000$ furgoni per le consegne in attività, quale delle tre frequenze relative del punto a) offre la stima più attendibile e rigorosa del numero totale di furgoni che circolano con la revisione scaduta? Giustifica la scelta e calcola quanti furgoni irregolari si stimerebbero in tutta la provincia con tale valore.