Esercizi: Operazioni con i polinomi

In un videogioco di strategia, il tuo inventario è diviso in due bauli. Il contenuto del primo baule è dato dal polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ e quello del secondo da $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, dove $x$ rappresenta il livello di rarità degli oggetti. Calcola il polinomio totale che rappresenta la somma dei due bauli: $P(x) + Q(x)$.

Per organizzare un evento di "e-sport", un'azienda usa l'espressione $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ per calcolare le sue spese e $I(x) = 15x^2 + 2x$ per calcolare i suoi ricavi (dove $x$ è il numero di sponsor). Trova il polinomio che rappresenta il guadagno netto, sapendo che il guadagno è la differenza tra ricavi e spese: $I(x) - G(x)$.

Calcola il valore numerico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ nei seguenti casi:

• a) Per $x = 0$

• b) Per $x = 1$

Osserva il seguente schema di una pista da skate rettangolare. Scrivi il polinomio ridotto che rappresenta il perimetro della pista in funzione di $x$.

Esegui la seguente operazione moltiplicando il monomio per il polinomio (applicando la proprietà distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Individua gli elementi principali del seguente polinomio:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Qual è il suo grado?

• b) Qual è il coefficiente principale?

• c) Qual è il termine noto?

• d) Quanti termini ha?

Un giovane designer sta creando un logo per il suo marchio di abbigliamento. Il logo centrale è un rettangolo come quello della figura. Trova il polinomio che rappresenta l'area totale della figura.

Raccogli il fattore comune nelle seguenti semplici espressioni algebriche:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Lucia ha risolto sul quaderno la seguente sottrazione di polinomi: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. Nel passaggio finale ha scritto come risultato $3x^2 - 10x + 3$. Spiega quali due errori ha commesso con i segni applicando la regola della sottrazione di polinomi, descrivi perché si verificano e scrivi lo svolgimento corretto passo dopo passo fino ad arrivare al polinomio ridotto finale.

Ti viene chiesto di calcolare il prodotto dei polinomi $P(x) = 3x^2 - 2$ e $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$. Rispondi alle seguenti domande prima e dopo aver eseguito la moltiplicazione completa:

1. a) Prima di moltiplicare termine a termine, deduci quale deve essere il grado del polinomio risultante $P(x) \cdot Q(x)$ e quale deve essere il suo termine noto. Spiega il tuo ragionamento.
2. b) La tua compagna Alba afferma, senza guardare i calcoli, che il risultato è $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Senza sviluppare il prodotto, quali due ragioni immediate basate sulla tua deduzione precedente dimostrano che il suo risultato è impossibile?
3. c) Calcola il prodotto completo applicando la proprietà distributiva, riduci i termini simili e verifica se la tua stima del punto a) era corretta.

In un negozio di videogiochi, l'inventario di tre diverse categorie è espresso dai seguenti polinomi, dove $x$ rappresenta il numero di nuove uscite di questo mese:

• Azione: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Avventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Strategia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcola le seguenti espressioni semplificando il risultato:

1. a) Il totale dei videogiochi nel negozio: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La differenza tra i giochi di Azione e quelli di Avventura: $A(x) - B(x)$
3. c) Quanti giochi di Strategia rimarrebbero se si vendesse la metà di un lotto di dimensione $4x^2 - 2x$? Calcola: $C(x) - (2x^2 - x)$

Calcola l'area della zona colorata nella seguente figura. La figura rappresenta una piastra metallica rettangolare da cui è stato ritagliato un rettangolo interno per lasciare spazio a un componente elettronico. Esprimi il risultato come polinomio in funzione di $x$.

Dati aggiuntivi:

• Base esterna: $5x + 3$

• Altezza esterna: $3x$

• Base interna: $x + 2$

• Altezza interna: $x$

Esegui le seguenti moltiplicazioni di polinomi e riduci i termini simili:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Data la seguente espressione combinata con polinomi, opera e semplifica fino a ottenere un unico polinomio ordinato dal grado maggiore al minore:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Un architetto progetta una piazza quadrata di lato $L = 2x + 5$ metri. Al centro decide di collocare una fontana anch'essa quadrata di lato $l = x - 3$ metri.

1. a) Sviluppa l'espressione dell'area della piazza utilizzando i prodotti notevoli: $(2x + 5)^2$
2. b) Sviluppa l'espressione dell'area della fontana utilizzando i prodotti notevoli: $(x - 3)^2$
3. c) Calcola il polinomio che rappresenta la superficie della piazza che resta libera per camminare (Area piazza - Area fontana).

Applica i prodotti notevoli per sviluppare direttamente le seguenti espressioni, senza eseguire la moltiplicazione passo dopo passo:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Il raccoglimento a fattor comune è il processo inverso della proprietà distributiva. Analizza le seguenti espressioni algebriche e raccogli tutti i fattori comuni possibili (numeri e lettere):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

In un laboratorio, la crescita di una popolazione di batteri $A$ segue il polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, dove $t$ è il tempo in ore. Un'altra popolazione $B$ cresce secondo il polinomio $B(t) = t^2 - 5t$.

Se gli scienziati hanno bisogno di conoscere il comportamento di una coltura mista definita dall'operazione $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, qual è il polinomio semplificato che rappresenta tale popolazione $C$?

Cancellando la lavagna alla fine della lezione di matematica, è scomparso il polinomio $P(x)$ che completava la seguente uguaglianza: $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Senza dare numeri a caso, ricava algebricamente $P(x)$ isolandolo in uno dei membri dell'uguaglianza.
2. b) Sviluppa i prodotti e riduci i termini simili per ottenere il polinomio $P(x)$ in forma ordinata e semplificata.
3. c) Verifica che la tua risposta sia corretta sostituendo il polinomio $P(x)$ che hai ottenuto nel primo membro dell'uguaglianza originale e controllando che coincida con il secondo membro.

Il servizio comunale di biciclette elettriche di una città italiana calcola i suoi costi e ricavi mensili per ogni bicicletta in funzione di $x$, dove $x$ rappresenta le centinaia di chilometri percorsi al mese (ad esempio, $x = 2$ equivale a $200\text{ km}$):

• Costo di batteria e motore: $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (in euro).

• Costo di freni e pneumatici: $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (in euro).

• Ricavi da supplementi per uso intensivo: $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (in euro).

1. a) Modella la spesa totale di manutenzione di una bicicletta, $G(x)$, sommando $B(x)$ e $F(x)$ in un'unica espressione ridotta.
2. b) Che significato economico reale ha il termine noto di $G(x)$ se una bicicletta passa tutto il mese parcheggiata nella stazione ($x = 0$)?
3. c) Modella il bilancio netto della bicicletta mediante il polinomio $N(x) = I(x) - G(x)$. Esegui la sottrazione prestando particolare attenzione ai segni e semplifica il risultato.
4. d) Se una bicicletta percorre $300\text{ km}$ in un mese ($x = 3$), calcola il valore numerico $N(3)$ e interpreta se quel mese la bicicletta genera un saldo positivo (guadagno) o negativo (perdita) per questi motivi.

Calcola la seguente espressione riducendo al massimo il polinomio risultante. Presta particolare attenzione all'ordine delle operazioni e all'uso delle parentesi precedute da segno negativo:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Al centro di un giardino quadrato di lato $2x + 5$ metri è stata installata una piscina rettangolare le cui dimensioni sono $x + 2$ metri di lunghezza e $x - 1$ metri di larghezza. Trova il polinomio che rappresenta l'area della zona a prato (la parte del giardino non occupata dalla piscina).

Determina il polinomio incognito $Q(x)$ nella seguente uguaglianza:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

Calcola poi il valore numerico di $Q(x)$ per $x = -2$.

Un'azienda di spedizioni progetta scatole a forma di parallelepipedo rettangolo. Le dimensioni della scatola sono le seguenti: la lunghezza misura $x + 5$ cm, la larghezza è $x - 2$ cm e l'altezza è il doppio della larghezza.

1. a) Esprimi mediante un polinomio il volume della scatola in funzione di $x$.
2. b) Sviluppa e semplifica tale polinomio.

Trova il valore del coefficiente $k$ nel polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sapendo che calcolando il suo valore numerico per $x = 2$ si ottiene come risultato $10$.

Applica i prodotti notevoli per sviluppare e semplificare la seguente espressione:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Semplifica la seguente frazione algebrica raccogliendo prima il fattore comune al numeratore e al denominatore:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Un produttore di cover per cellulari ha stabilito che il costo di produzione di $x$ unità è dato dal polinomio $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, mentre i ricavi ottenuti dalla vendita di quelle stesse unità si esprimono come $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Trova il polinomio $B(x)$ che rappresenta il guadagno (ricavi meno costi).

1. b) Calcola il guadagno se si vendono $40$ cover.

Per calcolare il valore numerico dell'espressione algebrica $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ quando $x = 103$, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo di Marco: Moltiplica tra loro i primi due polinomi, poi moltiplica i secondi due, sottrae i due polinomi ottenuti cambiando tutti i segni del secondo, riduce i termini simili e sostituisce $x = 103$.

• Metodo di Sara: Osserva che il binomio $(2x - 6)$ compare ripetuto nei due blocchi, lo raccoglie come fattore comune di tutta l'espressione, semplifica ciò che resta dentro la parentesi quadra e solo alla fine sostituisce $x = 103$.

1. a) Applica il metodo di Marco sviluppando e semplificando completamente l'espressione $E(x)$.
2. b) Applica il metodo di Sara raccogliendo a fattor comune $(2x - 6)$, riduci l'espressione ottenuta e verifica di arrivare esattamente allo stesso polinomio semplificato del punto a).
3. c) Giustifica con un ragionamento quale dei due metodi è più conveniente per calcolare il valore in $x = 103$, minimizzando il numero di operazioni e il rischio di errore. Usa il metodo più vantaggioso per trovare mentalmente il valore di $E(103)$.

Considera il prodotto di polinomi $P(x) = (a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$, dove $a$ e $b$ sono numeri interi costanti che non conosciamo. Sviluppando questo prodotto e raggruppando tutti i termini simili, sappiamo che il polinomio risultante soddisfa due condizioni:

1. Il suo coefficiente principale (il numero che accompagna $x^3$) è uguale a $6$.

2. Il termine di grado 2 si annulla completamente (il suo coefficiente finale è $0$).

1. a) Scrivi l'espressione che si ottiene moltiplicando termine a termine $(a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$ prima di raggruppare i termini simili.
2. b) Deduci con ragionamento il valore esatto dei numeri $a$ e $b$ a partire dalle due condizioni date.
3. c) Con i valori trovati, scrivi il polinomio $P(x)$ completamente sviluppato, ridotto e ordinato dal grado maggiore al minore.
4. d) Raccogli il massimo fattore comune monomio possibile dal polinomio $P(x)$ ottenuto e spiega come verificheresti che la tua scomposizione è corretta usando la proprietà distributiva.