Esercizi: Espressioni algebriche

In un negozio online di videogiochi, il prezzo di un abbonamento mensile è di $x$ euro. Traduci in linguaggio algebrico le seguenti situazioni:

1. a) Il costo di tre abbonamenti mensili.
2. b) Il prezzo di un abbonamento dopo aver applicato un coupon di sconto di $5$ euro.
3. c) Quanto paga un gruppo di amici per un abbonamento mensile più un gioco da $25$ euro.
4. d) Il doppio del prezzo di un abbonamento aumentato di $10$ euro.

Individua gli elementi dei seguenti monomi completando le informazioni per ciascuno:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Per ciascuno, indica: Coefficiente, Parte letterale e Grado.

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche per i valori indicati:

1. a) $5x - 3$ per $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ per $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ per $a = 3$ e $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ per $x = 6$

Stiamo progettando un nuovo tablet il cui schermo è rettangolare. La base misura $x$ centimetri e l'altezza misura $5$ centimetri in meno della base. Scrivi un'espressione algebrica per il perimetro dello schermo e semplificala.

Riduci le seguenti espressioni algebriche sommando o sottraendo i monomi simili:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Osserva la seguente serie di figure fatte con dei punti e determina l'espressione algebrica del termine generale $a_{n}$ (dove $n$ è la posizione della figura). Quanti punti avrà la figura che occupa la posizione $n=50$?

Classifica le seguenti espressioni algebriche indicando se sono monomi, binomi o trinomi. Nel caso dei polinomi (binomi e trinomi), indica anche qual è il loro grado.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Un palazzetto dello sport comunale ha un campo da basket di forma rettangolare. Se la lunghezza del campo è $y$ metri e la sua larghezza è la metà della lunghezza, scrivi il polinomio che rappresenta l'area del campo in funzione di $y$.

Lucia deve calcolare il valore numerico del trinomio $3x^2 - 5x + 4$ per $x = -2$. Nel suo compito ha scritto il seguente sviluppo:

1. a) Individua e spiega con chiarezza i due errori commessi da Lucia relativi all'uso delle parentesi e alla priorità delle operazioni.
2. b) Scrivi lo sviluppo corretto passo dopo passo e trova il vero valore numerico dell'espressione.

Nel servizio pubblico di biciclette elettriche di una città italiana, l'iscrizione ha una quota fissa di manutenzione di $25$ euro all'anno. Ogni tragitto standard di meno di mezz'ora costa $0,60$ euro, ma se l'utente supera questo tempo si applica una maggiorazione aggiuntiva di $1,50$ euro per ogni frazione di tempo extra.

1. a) Scrivi un'espressione algebrica che rappresenti la spesa annuale totale di una persona che effettua $x$ tragitti standard e accumula $y$ maggiorazioni per superamento del tempo.
2. b) Classifica l'espressione ottenuta in base al numero di termini (monomio, binomio o trinomio) e indica qual è il suo grado.
3. c) Calcola il valore numerico per scoprire quanto pagherà in totale Alberto se nel corso dell'anno ha effettuato $60$ tragitti standard e ha accumulato $4$ maggiorazioni.

In un negozio di fumetti, il prezzo di un abbonamento mensile è di $x$ euro. Per ogni fumetto aggiuntivo che acquisti, ti fanno pagare $y$ euro, ma se ne compri più di cinque, ti applicano uno sconto di $3$ euro sul totale. Scrivi l'espressione algebrica che rappresenta la spesa mensile di un cliente che ha acquistato $7$ fumetti aggiuntivi.

Calcola l'espressione algebrica che rappresenta l'area della seguente figura geometrica in funzione di $x$. Semplifica il risultato sommando i termini simili.

Trova il valore numerico del polinomio $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ per i valori delle variabili indicati:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Riduci il più possibile la seguente espressione algebrica operando con i monomi ed eliminando le parentesi:

$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Dati i polinomi $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ e $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, esegui le seguenti operazioni e ordina il polinomio risultante dal grado maggiore al minore:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$

Un drone di sorveglianza percorre un appezzamento rettangolare le cui dimensioni sono date dai polinomi $L(x) = x^2 - 3x + 5$ per la lunghezza e $A(x) = 2x + 1$ per la larghezza. Ottieni il polinomio che rappresenta l'area totale dell'appezzamento.

Usa i prodotti notevoli per sviluppare le seguenti espressioni senza eseguire la moltiplicazione passo dopo passo:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$

Raccogli il massimo fattore comune possibile nelle seguenti espressioni algebriche:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

Costruisci un trinomio nella variabile $x$ che soddisfi contemporaneamente queste quattro condizioni:

1. Il suo grado è $2$.

2. Il coefficiente del termine di grado maggiore è un numero intero negativo.

3. Il suo termine noto è $5$.

4. Il suo valore numerico per $x = 3$ è esattamente uguale a $2$.

1. a) Determina con ragionamento i coefficienti mancanti e scrivi l'espressione algebrica del tuo trinomio.
2. b) È l'unica soluzione possibile o esistono altri trinomi diversi che soddisfano tutte le condizioni? Giustifica la risposta deducendo quale relazione devono avere i loro coefficienti.

Un'azienda tecnologica stima i suoi profitti mensili (in euro) mediante il polinomio $B(x) = 2x^3 - 40x^2 + 150$, dove $x$ rappresenta il numero di pacchetti di server contrattati (in decine).

1. a) Senza calcolare ancora il valore esatto, stima se per $x = 50$ il profitto sarà positivo o negativo e di quale ordine di grandezza (centinaia di migliaia o milioni di euro). Giustifica la tua stima spiegando qual è il termine dominante del polinomio quando la variabile diventa grande.
2. b) Calcola il valore numerico esatto di $B(50)$ sostituendo e operando con ordine.
3. c) Verifica se la tua stima era corretta e calcola ora il valore numerico per $x = 3$. Sulla base di questo secondo calcolo, spiega perché per valori piccoli della variabile il termine di grado maggiore non sempre determina da solo il segno del risultato.

Un artista digitale sta creando un mosaico di pixel che cresce seguendo uno schema preciso. Nella fase $n=1$ usa 3 pixel, nella fase $n=2$ usa 8 pixel, nella fase $n=3$ usa 15 pixel, e così via.

Osserva lo schema visivo ed esegui le seguenti attività:

1. Trova l'espressione algebrica (termine generale) che determina il numero di pixel necessari per una qualsiasi fase $n$.

2. Se la tela digitale ha un limite di $1000$ pixel, l'artista potrebbe completare la fase $n=30$? Giustifica la risposta calcolando il valore numerico.

Il nuovo modello di smartphone ha uno schermo rettangolare di vetro di dimensioni $x$ di larghezza e $x+4$ di lunghezza. Intorno allo schermo c'è una cornice o "bezel" protettiva con uno spessore uniforme di $2$ cm su tutti i lati.

1. Trova il polinomio ridotto che esprime l'area totale del frontale del telefono (schermo più cornice).

2. Trova il polinomio ridotto che esprime solo l'area della cornice (la zona grigia).

3. Se la larghezza dello schermo $x$ è $6$ cm, qual è l'area della cornice?

Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici applica una tariffa base di $B$ euro per lo sblocco e $0,15$ euro per ogni minuto di utilizzo ($m$). Inoltre, se l'utente percorre più di $5$ chilometri, si applica un supplemento di sicurezza di $S$ euro. Alla somma di queste voci si deve applicare un $21\%$ di IVA.

1. Scrivi l'espressione algebrica del costo totale $C$ di un viaggio se l'utente supera i $5$ km di distanza.

2. Semplifica l'espressione precedente eseguendo le operazioni possibili.

3. Se la tariffa base è di $1$ euro e il supplemento di sicurezza è di $2$ euro, quanto pagherà una persona che usa il monopattino per $20$ minuti e percorre $6$ km?

Esegui e semplifica il più possibile la seguente espressione algebrica utilizzando i prodotti notevoli per ridurre i termini:

Mostra il procedimento passo dopo passo, indicando quale prodotto notevole hai applicato in ciascun caso.

Considera il polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.

1. Determina il valore del coefficiente $k$ sapendo che il valore numerico del polinomio per $x = 2$ è uguale a zero ($x = 2$ è una radice del polinomio).

2. Una volta trovato $k$, calcola il valore numerico di $P(x)$ per $x = -1$.

Si vuole progettare un'area giochi in un parco che consiste in un grande cerchio di raggio $R$. All'interno di questo cerchio verrà installata un'area di sabbia quadrata il cui lato misura esattamente il raggio $R$ del cerchio. Il resto del cerchio sarà coperto con erba artificiale.

1. Scrivi l'espressione algebrica ridotta per l'area della zona di erba artificiale in funzione di $R$. Usa $\pi$ come simbolo.

2. Raccogli a fattore comune nell'espressione ottenuta.

3. Se il raggio $R$ è di $10$ metri, calcola l'area dell'erba (usa $\pi \approx 3,14$).

Semplifica la seguente frazione algebrica raccogliendo prima a fattore comune e utilizzando i prodotti notevoli al numeratore e al denominatore:

Per quale valore di $x$ questa espressione non avrebbe senso? (Suggerimento: il denominatore non può essere zero).

Dimostra algebricamente che la differenza tra i quadrati di due numeri interi consecutivi è sempre uguale alla somma di tali numeri.

Istruzioni:

1. Chiama $n$ il primo numero e $n+1$ il successivo.

2. Scrivi l'espressione della differenza dei loro quadrati: $(n+1)^2 - n^2$.

3. Sviluppa e semplifica l'espressione.

4. Verifica il risultato con i numeri $12$ e $13$.

Due studentesse, Irene e Lucia, ricevono il compito di tradurre in linguaggio algebrico e valutare la seguente istruzione: «Il quadruplo della differenza tra il quadrato di un numero $n$ e $9$, il tutto aumentato del triplo di tale numero».

• Irene traduce la frase mantenendo la struttura letterale mediante parentesi: $I(n) = 4(n^2 - 9) + 3n$.

• Lucia preferisce applicare la proprietà distributiva e ordinare i termini fin dall'inizio: $L(n) = 4n^2 + 3n - 36$.

1. a) Verifica algebricamente se le due espressioni sono equivalenti o se una delle due ha commesso un errore nell'impostazione.
2. b) Se devi calcolare il valore numerico per $n = 3$, valutalo usando la forma di Irene e poi quella di Lucia. Giustifica quale dei due percorsi risulta più rapido e con minor rischio di errori di calcolo per questo valore specifico.
3. c) Se ti chiedono di individuare senza margine di dubbio il grado del polinomio, il numero di termini e il termine noto, giustifica quale delle due forme è indispensabile utilizzare e perché.

Secondo i dati dell'Servizio Meteorologico dell'Aeronautica Militare, in una giornata in montagna la temperatura ambiente nel punto di partenza (a $0$ metri di altitudine) è di $12$ ºC. Salendo di $h$ metri, la temperatura diminuisce di $0,65$ ºC ogni $100$ metri di salita a causa del gradiente termico verticale. Inoltre, la temperatura percepita si riduce ulteriormente di $0,2$ ºC per ogni km/h di velocità del vento ($v$).

1. a) Scrivi un'espressione algebrica ridotta che determini la temperatura percepita $S(h, v)$ in funzione dell'altitudine $h$ (in metri) e della velocità del vento $v$ (in km/h).
2. b) Classifica l'espressione ottenuta in base al numero di termini e indica il grado di ciascuno di essi rispetto alle sue variabili.
3. c) Una squadra di soccorso si trova in un rifugio a $1600$ metri di altitudine e l'anemometro segna raffiche di vento di $35$ km/h. Calcola il valore numerico della temperatura percepita esatta nel rifugio.
4. d) Se il protocollo della Protezione Civile prevede di attivare l'allerta per freddo estremo quando la temperatura percepita scende sotto i $-7$ ºC, ragiona algebricamente a partire da quale velocità del vento scatterà l'allerta se la squadra rimane alla stessa altitudine di $1600$ metri.