Exercicis: Sistemes trifàsics i fasors

La figura mostra les tres ones de tensió d'un sistema trifàsic. a) Descriu què tenen en comú i en què es diferencien. b) Mesura sobre la gràfica el desfasament entre dues ones consecutives, assenyalat amb l'interrogant, i expressa'l en graus i en fracció de període. c) Raona per què en cap instant s'anul·len totes tres alhora.

Explica tres avantatges del sistema trifàsic respecte al monofàsic: la potència instantània lliurada és constant (no polsa), el transport de la mateixa potència necessita menys coure i els motors trifàsics arrenquen per si mateixos. Per què creus que tota la generació i el transport d'energia es fan en trifàsica?

Defineix tensió de fase i tensió de línia en un sistema trifàsic: entre quins punts es mesura cadascuna i quins valors tenen a la xarxa europea ($230\ \text{V}$ i $400\ \text{V}$). Indica quina tensió utilitza realment l'endoll d'un habitatge.

Descriu les connexions en estrella i en triangle d'una càrrega trifàsica: com s'uneixen els tres elements en cadascuna (un extrem comú enfront d'un anell tancat) i en quina de les dues hi ha un punt neutre accessible. Dibuixa tots dos esquemes a mà alçada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Comprova numèricament la relació $U_L = \sqrt{3} \cdot U_F$ amb els valors de la xarxa europea: parteix de $U_F = 230\ \text{V}$ i calcula $U_L$ (pren $\sqrt{3} = 1{,}732$). Comenta la petita diferència amb el valor nominal de $400\ \text{V}$.

La figura mostra el diagrama fasorial (de Fresnel) de les tres tensions d'un sistema trifàsic equilibrat. a) Explica què representa cada fasor (mòdul i angle) i en quin sentit gira el conjunt. b) Indica l'angle marcat amb l'interrogant entre dos fasors consecutius. c) Raona quant val la suma dels tres fasors en qualsevol instant.

Explica la funció del conductor de neutre en una xarxa trifàsica: quin corrent transporta quan les càrregues de les tres fases són iguals i què passa quan són diferents. Raona què els passaria a les tensions que reben els habitatges si el neutre es tallés estant les fases desequilibrades.

Una línia de distribució té quatre fils: les tres fases (R, S, T) i el neutre (N). Indica quina tensió hi ha entre dues fases qualssevol i entre una fase i el neutre, i explica com es connecta un habitatge monofàsic a aquesta xarxa i per què el conjunt d'habitatges d'un barri es reparteix entre les tres fases.

Tres impedàncies iguals de $23\ \Omega$ es connecten en estrella a una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ de tensió de línia. a) Calcula la tensió que suporta cada impedància. b) Calcula el corrent de fase i el de línia. c) Explica per què a l'estrella el corrent de línia coincideix amb el de fase.

Tres impedàncies iguals, de $23\ \Omega$ cadascuna (resistències pures), es connecten en triangle a una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ de tensió de línia.

1. a) Calcula la tensió sobre cada impedància i el seu corrent de fase.

1. b) Calcula el corrent de línia, $I_L = \sqrt{3} \cdot I_F$.

1. c) Compara les potències consumides per les mateixes tres impedàncies connectades en triangle i en estrella a aquesta mateixa xarxa de $400\ \text{V}$, i obtén el quocient entre ambdues ($P_\triangle / P_Y$).

Una càrrega trifàsica equilibrada connectada a $400\ \text{V}$ consumeix un corrent de línia de $16\ \text{A}$ amb un factor de potència de $0{,}9$. a) Calcula la potència activa amb $P = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos \varphi$ (pren $\sqrt{3} = 1{,}732$). b) Calcula l'energia consumida en $8\ \text{h}$ de funcionament. c) Explica què significa físicament el factor de potència en aquesta instal·lació.

Un motor trifàsic de $5\ \text{kW}$ de potència útil treballa a $400\ \text{V}$ amb $\cos \varphi = 0{,}85$. a) Calcula el corrent de línia que consumeix (aïlla'l de la fórmula de la potència trifàsica). b) Si el rendiment del motor fos del $88\,\%$, calcula la potència elèctrica absorbida i el corrent real tenint-ho en compte. c) Comenta per què el corrent augmenta en considerar el rendiment.

Un taller trifàsic a $400\ \text{V}$ presenta un corrent de línia de $32\ \text{A}$ i un factor de potència de $0{,}75$. a) Calcula la potència aparent, $S = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$. b) Calcula la potència activa. c) Calcula la potència reactiva aplicant el teorema de Pitàgores al triangle de potències, $Q = \sqrt{S^2 - P^2}$, i comenta si la instal·lació pagaria penalització per reactiva.

A una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ amb neutre es connecten en estrella tres càrregues diferents: $23\ \Omega$, $46\ \Omega$ i $92\ \Omega$. a) Calcula el corrent de cada fase. b) Explica quina tensió suporta cada càrrega tot i ser diferents i quin paper hi juga el neutre. c) Raona per què el conductor de neutre transporta corrent en aquest cas i no en l'equilibrat.

La figura mostra tres impedàncies connectades a una xarxa trifàsica amb neutre. a) Identifica el tipus de connexió. b) Calcula la tensió de línia marcada amb l'interrogant, sabent que cada impedància suporta $230\ \text{V}$. c) Raona entre quins dos punts de l'esquema connectaries un equip monofàsic de $230\ \text{V}$.

Tres habitatges d'una urbanització s'alimenten de la mateixa línia trifàsica, cadascun connectat a una fase diferent. a) Explica per què la distribuïdora reparteix els habitatges entre les tres fases en lloc de connectar-los tots a la mateixa. b) Raona què passa amb el desequilibri de corrents quan un dels habitatges ho té tot apagat. c) Comenta quina mesura es pren als edificis grans per equilibrar millor (repartiment de circuits entre fases a cada habitatge).

En un taller connectat a una xarxa trifàsica equilibrada de $400\ \text{V}$ i $50\ \text{Hz}$ funcionen simultàniament un motor de $3\ \text{kW}$ amb $\cos \varphi = 0{,}8$ inductiu i un forn purament resistiu de $2\ \text{kW}$. Un operari mesura amb una pinça amperimètrica el corrent en cada línia d'alimentació general esperant obtenir el valor resultant de sumar directament els corrents que ha calculat per a cada màquina per separat.

1. a) Calcula el corrent de línia nominal que absorbeix cada receptor per separat i la suma escalar d'ambdós corrents.
2. b) Determina mitjançant el balanç de potències activa i reactiva (mètode de Boucherot) el corrent de línia real que registrarà la pinça amperimètrica i el factor de potència global del taller.
3. c) Justifica fasorialment la discrepància entre ambdós resultats i raona si la suma aritmètica sobreestima o subestima sempre el corrent total de línia en receptors amb diferent factor de potència.

Una empresa ha de transportar una potència activa de $10\ \text{kW}$ amb $\cos \varphi = 1$ al llarg d'una distància $L$ des del quadre general fins a un mòdul de treball. S'avaluen dues alternatives d'estesa amb conductors de coure d'idèntica longitud i treballant a la mateixa densitat de corrent admissible ($j = I/S$):

• Opció monofàsica a $230\ \text{V}$ (dos conductors: fase i neutre).

• Opció trifàsica a $400\ \text{V}$ (tres conductors de fase equilibrats).

1. a) Calcula el corrent de línia requerit en cadascuna de les dues opcions.
2. b) Dedueix la relació entre la secció de conductor necessària en monofàsica ($S_M$) i en trifàsica ($S_T$).
3. c) Calcula el percentatge de volum total de coure que s'estalvia en triar l'opció trifàsica enfront de la monofàsica sumant tots els fils de cada línia.
4. d) Demostrant l'expressió de pèrdues per efecte Joule en la línia ($P_p = \sum R \cdot I^2$), analitza si les pèrdues energètiques totals durant el transport són majors, menors o iguals en l'opció trifàsica mantenint la mateixa densitat de corrent.

En un edifici connectat a una xarxa trifàsica amb neutre ($400\ \text{V}$ de línia i $230\ \text{V}$ de fase), es produeix un tall accidental del conductor de neutre a l'escomesa. En aquest instant, la càrrega connectada a la fase R correspon a un calefactor resistiu de $2300\ \text{W}$ ($R_R = 23\ \Omega$), mentre que a la fase S només hi ha encès un equip electrònic en mode de repòs de $23\ \text{W}$, equivalent a una resistència $R_S = 2300\ \Omega$. La fase T es troba sense càrrega en aquell moment.

1. a) Dibuixa el circuit equivalent resultant entre les fases R i S després del trencament del neutre i calcula la tensió eficaç real que suportarà cadascun dels dos aparells.
2. b) Prediu el comportament d'ambdós receptors calculant la potència que dissiparà cadascun en aquesta situació respecte a la seva potència nominal.
3. c) Justifica per què un interruptor magnetotèrmic convencional no reacciona davant d'aquesta anomalia i quin dispositiu de protecció específic s'ha d'instal·lar per salvaguardar la instal·lació.

Una fase d'una nau industrial connectada a $230\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$ absorbeix un corrent inductiu $I_L = 20\ \text{A}$ amb un factor de potència $\cos \varphi = 0{,}8$ en retard. Per reduir el corrent a l'escomesa sense canviar el règim de les màquines, es connecta en paral·lel amb aquesta fase un condensador que absorbeix un corrent purament capacitiu $I_C = 8\ \text{A}$.

1. a) Representa a escala el diagrama fasorial (diagrama de Fresnel) prenent la tensió de fase com a origen de fases ($V = 230 \angle 0^\circ\ \text{V}$), mostrant els fasors de tensió, corrent inductiu $I_L$, corrent capacitiu $I_C$ i el corrent total resultant $I_{\text{tot}}$.
2. b) Calcula analíticament el corrent total demandat a la xarxa i el nou factor de potència de la fase després de connectar el condensador.
3. c) Justifica físicament, a partir de l'intercanvi d'energia entre camps magnètics i elèctrics, per què el condensador disminueix el corrent total de la línia sense reduir la potència activa desenvolupada pels receptors.

Després de substituir el transformador de distribució d'una estació de bombament, s'alimenta una bomba centrífuga accionada per un motor d'inducció trifàsic a la xarxa de $400\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$. En posar-la en servei, el cabal impulsat és gairebé nul i es registra un soroll anòmal de cavitació mecànica. L'equip de manteniment sospita d'una inversió en la seqüència de fases de les línies R, S i T.

1. a) Justifica matemàticament o mitjançant l'evolució temporal dels fasors com engendra la seqüència de fases el camp magnètic giratori a l'estator i de quin paràmetre depèn el seu sentit de gir.
2. b) Dissenya la intervenció necessària a la caixa de borns del motor per invertir-ne la rotació i demostra fasorialment per què aquesta maniobra inverteix el sentit del camp giratori.
3. c) Descriu el principi de funcionament d'un seqüencímetre de fases i explica quina comprovació prèvia s'ha de realitzar abans d'arrencar màquines rotatives crítiques que no toleren el gir invers.

Dissenya la línia general d'alimentació trifàsica ($400\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$) de coure (resistivitat $\rho = 0{,}018\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$) per abastir un taller la potència total instal·lada del qual és de $15\ \text{kW}$ amb $\cos \varphi = 0{,}8$ inductiu, situat a una distància de $60\ \text{m}$ del quadre de protecció. El plec tècnic exigeix que la caiguda de tensió no superi l'$1{,}5\ \%$ de la tensió de línia i que el conductor treballi amb una densitat màxima de corrent de $4\ \text{A/mm}^2$.

Les seccions comercials normalitzades de conductor disponibles són: $4\ \text{mm}^2$, $6\ \text{mm}^2$, $10\ \text{mm}^2$ i $16\ \text{mm}^2$.

1. a) Calcula el corrent de línia que circularà per la instal·lació a plena càrrega.
2. b) Calcula la secció mínima necessària segons el criteri tèrmic de densitat de corrent i segons el criteri de caiguda de tensió màxima admissible.
3. c) Selecciona la secció normalitzada definitiva justificant la teva decisió.
4. d) Tria el calibre comercial de l'interruptor magnetotèrmic tetrapolar ($25\ \text{A}$, $32\ \text{A}$ o $40\ \text{A}$) de manera que garanteixi la protecció del circuit complint $I_{\text{línia}} \le I_n \le I_{\text{admissible}}$ per al conductor escollit.

En una xarxa monofàsica ($v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t)$ i $i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$ per a una càrrega resistiva), la potència instantània pulsa amb freqüència doble respecte a la xarxa i s'anul·la dues vegades a cada cicle. En contraposició, en un sistema trifàsic equilibrat amb tres resistències idèntiques $R$ connectades en estrella, les tensions de fase estan desfasades $120^\circ$ entre si.

1. a) Escriu les expressions analítiques de la potència instantània absorbida per cada fase ($p_1(t)$, $p_2(t)$, $p_3(t)$) en funció del temps i de la tensió eficaç de fase $V_F$.
2. b) Demostra analíticament que la potència total instantània $p_{\text{total}}(t) = p_1(t) + p_2(t) + p_3(t)$ és constant i independent del temps (recolza't en la identitat trigonomètrica $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ i en la suma fasorial de tres components desfasades $120^\circ$).
3. c) A partir d'aquest resultat, analitza i prediu els avantatges mecànics que presenta un motor trifàsic enfront d'un de monofàsic d'igual potència en termes de parell instantani, vibracions i vida útil dels coixinets.

Un operari ha de connectar en un quadre d'obra un calefactor monofàsic previst per funcionar a $230\ \text{V}$ amb una potència nominal de $2300\ \text{W}$. En comprovar que la mànega només disposa de tres fases sense fil neutre a $400\ \text{V}$, afirma: «Com que és una resistència robusta, la connecto entre dues fases qualssevol; s'escalfarà una mica més ràpid però no patirà danys».

1. a) Rebat quantitativament l'afirmació de l'operari calculant la resistència del calefactor i la potència real que dissiparà en connectar-se a $400\ \text{V}$. Determina el percentatge de sobrepotència que experimentarà l'equip.
2. b) Prediu raonadament les conseqüències tèrmiques i els riscos elèctrics directes que provocarà aquesta maniobra a la resistència i a la instal·lació.
3. c) Mitjançant un diagrama fasorial de les tres tensions simples de fase desfasades $120^\circ$, dedueix la demostració geomètrica de la relació $V_L = \sqrt{3} \cdot V_F$ i justifica per què és indispensable el neutre per obtenir els $230\ \text{V}$ de disseny.

Repte del tema. Com optimitzaries el consum elèctric d'una petita indústria del teu entorn per evitar penalitzacions? Dissenya una proposta tècnica de compensació de reactiva utilitzant LibreOffice Calc o GeoGebra.

1. Presa de dades: Consulta a la plataforma pública de Red Eléctrica de España (web RedOS de REE) la freqüència real del sistema ($f \approx 50\text{ Hz}$). Suposa una petita nau amb subministrament trifàsic equilibrat ($V_L = 400\text{ V}$, $V_F = 230\text{ V}$) que alimenta un conjunt de motors amb $P = 18\text{ kW}$ i un factor de potència inductiu $\cos\varphi = 0,68$.

2. Anàlisi fasorial i potències: Calcula els valors eficaços de corrent de línia i de fase, així com les potències reactiva $Q$ (kvar) i aparent $S$ (kVA). Traça el diagrama fasorial qualitatiu de tensions i corrents.

3. Compensació reactiva: Determina la potència reactiva capacitiva $Q_C$ i la capacitat $C$ per fase necessària muntant una bateria de condensadors en triangle per elevar el factor de potència a $\cos\varphi' = 0,95$.

4. Proposta tècnica: Redacta un informe breu amb una taula comparativa d'intensitats i potències (abans i després), justificant la reducció de pèrdues.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de magnituds trifàsiques ($V$, $I$) i potències ($P$, $Q$, $S$, $\cos\varphi$).

• Rigor en el traçat del diagrama fasorial i dimensionament de la capacitat $C$.

• Claredat i justificació tècnica en la proposta comparativa final.