Razones trigonométricas de un ángulo

Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ cm y $12$ cm.

Para optimizar la captación de energía solar en invierno, un panel rectangular de $2$ metros de largo se levanta apoyando uno de sus lados menores en el suelo plano, de forma que el lado opuesto queda exactamente a $1.2$ metros de altura. Determina el valor exacto del coseno y la tangente del ángulo de inclinación del panel.

Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.

Un disco de amoladora gira a $7200$ revoluciones por minuto. Expresa esta velocidad angular en radianes por segundo y calcula el ángulo exacto (en radianes) barrido por una partícula de su borde exterior en $0.15$ segundos.

Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:

$\sin^2(30^\circ) + \cos^2(45^\circ) - \tan(60^\circ) \times \sin(60^\circ)$

Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades trigonométricas fundamentales.

Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.

Sabiendo que $\tan \gamma = -\frac{12}{5}$ y que $\gamma$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin \gamma$ y $\sec \gamma$.

En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacto de la secante y la cosecante de dicho ángulo.

Calcula los valores exactos de $\cot \alpha$ y $\csc \alpha$ sabiendo que $\sec \alpha = 3$ y que el seno del ángulo es negativo.

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón trigonométrica:

$\frac{\sin^3 x + \sin x \times \cos^2 x}{\cos x}$

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual todas las razones están definidas:

$\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = 2\sec \alpha$

Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su cotangente.

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica correspondiente a ángulos situados sobre los semiejes:

$3\sin(90^\circ) - 2\cos(180^\circ) + 4\sin(270^\circ) - \cos(360^\circ)$

Halla el valor exacto de la siguiente expresión reduciendo previamente todos los ángulos al primer cuadrante:

$\cos(120^\circ) \times \sin(225^\circ) - \tan(330^\circ) \times \cos(210^\circ)$

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica, asumiendo que $x$ es un ángulo del primer cuadrante. Presta especial atención a los signos al reducir a dicho cuadrante:

$\frac{\sin(\pi - x) \times \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \times \tan(2\pi - x)}{\cos(\pi + x) \times \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)}$

Dada la relación $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina todos los valores exactos posibles para $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. Discute razonadamente en qué cuadrantes puede encontrarse el ángulo $\theta$.

Encuentra todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica:

$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$

(Pista: expresa toda la ecuación en función de una única razón trigonométrica utilizando la identidad fundamental).

Un rayo de luz pasa de un medio líquido con índice de refracción $n_1 = 1.33$ a un cristal con índice $n_2 = 1.52$. La ley de Snell establece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son los ángulos de incidencia y refracción medidos respecto a la normal a la superficie. Si el rayo incide con un ángulo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina el valor exacto del coseno del ángulo de refracción $\theta_2$.

Un edificio proyecta una sombra de $24$ metros cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular la altura del edificio y determina su valor. Si el ángulo de elevación se reduce a la mitad, ¿la longitud de la sombra se duplica? Justifica tu respuesta basándote en la no linealidad de la razón tangente.

Un péndulo de $80$ cm de longitud se desplaza desde su posición vertical de equilibrio hasta formar un ángulo de $18^\circ$ con la vertical. Calcula la distancia horizontal exacta que se ha desplazado la masa del péndulo y la altura que ha ascendido respecto a su punto más bajo. Expresa los resultados en función de las razones trigonométricas de $18^\circ$.

Demuestra que el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ viene dada por la expresión $A = \frac{n \times R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. A continuación, aplica la fórmula para calcular el área exacta de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio $10$ cm.

Dos poleas circulares de radios $R = 15$ cm y $r = 5$ cm están conectadas por una correa tensa que se cruza entre ellas. La distancia entre los centros de las poleas es de $40$ cm. Si $\alpha$ es el ángulo que forma el tramo recto de la correa con la línea imaginaria que une los centros, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y la longitud total del tramo recto de la correa comprendido entre los dos puntos de tangencia.

Demuestra que si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos agudos complementarios (es decir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), entonces se verifica siempre la siguiente relación trigonométrica:

$\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\sec \alpha \times \sec \beta} = 1$