Razones del ángulo doble
En el Estadio Quisqueya, un jugador lanza la pelota desde el jardín hacia el home. Hasta dónde llega depende de $\operatorname{sen}(2\theta)$, no de $\theta$ solo. ¿Por qué aparece el doble del ángulo? En ingeniería y en física el ángulo doble sale todo el tiempo, y conviene tener sus razones ya «empaquetadas» en una fórmula, sin sumar el ángulo consigo mismo cada vez. Al final de la página volveremos a este lanzamiento.
De dónde salen las fórmulas
El ángulo doble es una suma de dos ángulos iguales: $2\alpha = \alpha+\alpha$. Para deducir sus razones partimos de las fórmulas del ángulo suma, que aquí te recordamos.
Basta sustituir $\beta$ por $\alpha$ en cada una.
El coseno del ángulo doble tiene tres formas equivalentes: todas valen lo mismo. Usa la que mejor combine con tus datos (solo $\cos\alpha$, solo $\operatorname{sen}\alpha$, o ambos).
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo…
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.
Con una sola razón conocida
Si solo conoces $\operatorname{sen}\alpha$ o $\cos\alpha$ (y el cuadrante), halla la otra razón con $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ y luego aplica la fórmula del ángulo doble. Si conoces $\tan\alpha$, la fórmula de la tangente se usa directamente.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Simplificar expresiones
Muchas expresiones con un producto de seno y coseno, o con diferencias de cuadrados, son una fórmula del ángulo doble disfrazada. Reconocer el patrón ahorra calculadora.
Comprobar identidades
El programa pide comprobar identidades: se transforma un miembro hasta obtener el otro. Con el ángulo doble, el truco es sustituir y simplificar.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble: $\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:
$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central…
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestra que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo: $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:
$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:
$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$
Ecuaciones con el ángulo doble
Cuando una ecuación mezcla $\operatorname{sen}(2x)$ (o $\cos(2x)$) con razones de $x$ sin doblar, el primer paso es sustituir la fórmula del ángulo doble para dejar todo en función del mismo ángulo. Después se factoriza o se resuelve como cuadrática en una razón.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\tan(2x) \times \tan(x) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\tan(2x) \times \tan(x) = 1$
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$…
Demuestra primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utiliza este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Ecuaciones con un parámetro
A veces la ecuación lleva una letra $k$ y te preguntan cuántas soluciones tiene según el valor de $k$. El método es: sustituir el ángulo doble, llamar $u$ a la razón que queda, despejar $k$ y ver cuántas veces la expresión de $u$ toma cada valor de $k$.
Hay un detalle clave: en $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, el seno crece de $0$ a $1$, así que cada $u=\operatorname{sen}x\in[0,1]$ corresponde a un solo $x$. Contar soluciones en $x$ es lo mismo que contar soluciones en $u\in[0,1]$.
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo…
Encuentra los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
Un seno y un coseno juntos: valor máximo
A veces una expresión mezcla $\operatorname{sen}x\cos x$ y $\operatorname{sen}^2x$, y te piden su valor máximo. La idea es llevarla a la forma $a\operatorname{sen}(2x)+b\cos(2x)$ y de ahí leer el máximo.
Para pasar de cuadrados a ángulo doble se usan las dos formas del coseno que ya conoces, despejadas:
$$\operatorname{sen}^2x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}\qquad\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$$Y para combinar seno y coseno del mismo ángulo $u$ se usa esta propiedad.
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el…
La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Expresa $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determina el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.
Área de un triángulo con un ángulo doble
Si conoces dos lados de un triángulo y el ángulo que forman, el área no necesita la altura: se calcula directamente con el seno de ese ángulo.
Cuando el ángulo entre los lados es el doble de otro, $2\alpha$, el área es $\frac12ab\operatorname{sen}(2\alpha)=ab\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha$, y el ángulo doble permite calcularla con una sola razón de $\alpha$.
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el punto medio del…
En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el punto medio del arco mayor subtiende un ángulo inscrito $\widehat{APB}$ que mide $\alpha$. Sabiendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula la razón (el cociente) entre el área del triángulo central $\triangle OAB$ y el área del triángulo inscrito $\triangle PAB$.
Aplicaciones y problemas
El ángulo doble aparece en el alcance de proyectiles, en techos de naves que duplican una inclinación de referencia y en mecanismos articulados. También sirve cuando conoces $\cos(2\theta)$ y quieres el ángulo $\theta$: las formas $\cos(2\theta)=1-2\operatorname{sen}^2\theta$ y $\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$ despejan $\operatorname{sen}\theta$ y $\cos\theta$.
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que…
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la…
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que…
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determina el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula…
En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón…
Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:
$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$