Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad

El ángulo entre dos rectas

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos. Si no son perpendiculares, dos de ellos son agudos e iguales y los otros dos son obtusos e iguales. Si son perpendiculares, los cuatro miden $90^\circ$. Por convenio, el ángulo entre dos rectas es el agudo (entre $0^\circ$ y $90^\circ$), o el recto si son perpendiculares.

Esta fórmula sale de la diferencia de dos ángulos de inclinación: si $m_1=\tan\theta_1$ y $m_2=\tan\theta_2$, entonces $\alpha=\theta_1-\theta_2$ y se usa la tangente de una diferencia.

Si la recta está dada solo por su pendiente, recuerda que $m=\tan\theta$, con $\theta$ el ángulo que forma con la dirección positiva del eje $x$. Así, una recta de pendiente $\sqrt{3}$ forma $60^\circ$ con el eje $x$.

Rectas paralelas

¿Por qué? La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación. Si dos rectas se inclinan igual, avanzan en la misma dirección y nunca se cortan. En la fórmula del ángulo, $m_1=m_2$ da $\tan\alpha=0$, o sea $\alpha=0^\circ$.

Rectas perpendiculares

Esto coincide con la fórmula del ángulo: $1+m_1m_2=0$ hace que $\alpha=90^\circ$. Si una recta es horizontal ($m=0$), su perpendicular es vertical y no tiene pendiente.

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre una recta $r$ es el punto $H$ de $r$ más cercano a $P$: el pie de la perpendicular trazada desde $P$.

Se halla en tres pasos: pendiente perpendicular, recta perpendicular por $P$ y corte con $r$ (un sistema 2×2).

Aplicaciones: alturas, mediatrices y estructuras

La perpendicularidad aparece cuando algo debe caer en ángulo recto: la altura de un triángulo, la mediatriz de un segmento (perpendicular por el punto medio), una viga transversal en una estructura o una calle nueva que corta a otra. También las diagonales de un cuadrado o de un rombo son perpendiculares, y se cortan en su punto medio.

Reflexión: rayo reflejado y recta simétrica

Cuando un rayo de luz llega a un espejo plano, el ángulo que forma con la normal (la perpendicular al espejo en el punto de choque) es igual al del rayo reflejado. Es el ángulo de incidencia.

Para reflejar una recta $r$ en otra recta $s$ (la recta simétrica): halla el punto $P$ donde se cortan, refleja un punto de $r$ respecto a $s$ (perpendicular por ese punto, pie de la perpendicular y se duplica la distancia) y une el simétrico con $P$.

Ampliación: rectas con un parámetro

Cuando una recta depende de un parámetro $k$, la condición pedida se convierte en una ecuación para $k$: paralelismo ($m_1=m_2$), perpendicularidad ($m_1m_2=-1$) o ángulo dado ($\tan\alpha$ igual a la fórmula).

El mismo método sirve para hallar rectas que forman un ángulo dado con una recta conocida: se plantea $\tan\alpha=\left|\dfrac{m-m_1}{1+mm_1}\right|$ con la pendiente $m$ como incógnita. Por ejemplo, un triángulo equilátero obliga a lados que forman $60^\circ$ ($\tan60^\circ=\sqrt3$) con otro lado, y salen dos rectas.

Ampliación: familias de rectas con un punto fijo

Una ecuación con parámetro, como $(1+k)x+(2-k)y-3=0$, describe una familia de rectas: una recta distinta por cada valor de $k$. A veces todas pasan por el mismo punto.

Ampliación: bisectrices de dos rectas

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos y tienen dos bisectrices. Cada punto de una bisectriz está a la misma distancia de las dos rectas.

Esto siempre ocurre: las dos bisectrices son perpendiculares entre sí, porque los ángulos adyacentes suman $180^\circ$ y cada bisectriz parte uno en dos mitades (la suma de las dos mitades es $90^\circ$).

Resumen

Vuelve al principio: para que la nueva avenida cruce en ángulo recto, basta que el producto de las pendientes de las dos calles sea $-1$.