Función con raíces
Una ferretería de Santiago calcula el tiempo que tarda en caer un objeto desde un puente con una fórmula que lleva una raíz cuadrada. Si el valor bajo la raíz sale negativo, el resultado no existe como número real: esa situación no tiene sentido. ¿Cómo saber, antes de calcular, para qué valores de $x$ funciona la fórmula? Eso es hallar el dominio, y aquí aprenderás a hacerlo con exactitud, incluso en casos complicados.
Dominio con índice par: resolver la inecuación del radicando
Si $g(x)$ es de segundo grado, la inecuación no siempre da una semirrecta.
Radicando con parámetro: ¿cuándo un trinomio nunca es negativo?
A veces el radicando lleva una letra (un parámetro $k$) y se pregunta para qué valores de $k$ el dominio es todo $\mathbb{R}$. Eso significa que el trinomio $ax^2+bx+c$ debe ser $\geq 0$ para todo $x$. La gráfica del trinomio es una parábola, y el discriminante $\Delta=b^2-4ac$ dice si corta el eje $x$.
Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par: $f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par:
$f(x) = \sqrt{3x - 12}$
Halla el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada: $h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Halla el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada:
$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$
Calcula el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador: $f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Calcula el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador:
$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$
Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
Dominio con índice impar: no hay restricción
Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar: $g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar:
$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$
Dominio en expresiones compuestas: fracciones, sumas y raíces anidadas
Inecuaciones con raíz: $\sqrt{A(x)}\geq B(x)$ y $\sqrt{A(x)}\leq B(x)$
Cuando la raíz anidada lleva más de $x$ dentro, como en $\sqrt{\sqrt{x+7}-x-1}$, hay que resolver $\sqrt{x+7}\geq x+1$. Aquí no se puede elevar al cuadrado sin pensar: depende del signo del lado derecho $B(x)$.
Raíz multiplicada por $x$: estudio de signos en un problema de beneficios
Cuando la raíz está multiplicada por una variable, se estudia el signo de cada factor. Mira este caso de una distribuidora: los ingresos son $I(x)=x\sqrt{36-x}$ y los costos $C(x)=3x$, en miles de pesos, con $x$ toneladas vendidas. ¿Cuándo hay ganancia?
Cuando el costo lleva un término constante (por ejemplo $C(x)=2x+5$), no se factoriza tan limpio. Entonces lo práctico es calcular $B(x)$ en el valor que pide el problema: si sale positivo, hay ganancia; si sale negativo, pérdida.
Cuando el radicando es una fracción de polinomios: factorizar primero
Para el cuadro de signos necesitas las raíces del numerador y del denominador. Si el polinomio es de grado 3 o más, hay que factorizarlo. Dos herramientas:
-
Factor común por grupos: agrupar términos de dos en dos y sacar factor común.
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División sintética (regla de Ruffini): probar divisores del término independiente; si $p(a)=0$, entonces $(x-a)$ es un factor.
Halla el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional: $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Halla el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional:
$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$
Halla el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces: $f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Halla el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces:
$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático: $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$
Halla el dominio de definición de la función anidada: $f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Halla el dominio de definición de la función anidada:
$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$
Determina el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:…
Determina el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:
$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$
Resuelve la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y exprésalo en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y exprésalo en forma de intervalo.
Forma de la gráfica, rango y traslaciones
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la…
A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba. ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?
Determina el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo: $f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Determina el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo:
$f(x) = -\sqrt{x - 1}$
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el…
Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el vértice de la semiparábola se encuentra en el punto $(2, 1)$ y pasa por el punto $(6, -3)$.
Cortes, intersecciones y función inversa
Para hallar la función inversa se intercambian $x$ e $y$ y se despeja la nueva $y$. Como una función con raíz par no siempre es inyectiva en todo su dominio natural, a veces hay que restringirlo primero.
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función: $f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función:
$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$
Calcula los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función lineal $g(x) = x + 1$.
Calcula los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función lineal $g(x) = x + 1$.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el dominio y recorrido de la función inversa obtenida.
Funciones con raíces en la ciencia y la técnica
Siempre que una magnitud depende del cuadrado de otra y hay que despejar la segunda, aparece una raíz: periodos de oscilación, velocidades, radios a partir de áreas. Aquí el dominio también debe tener sentido en el contexto: una longitud o un área no pueden ser negativas.
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de…
La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de definición válido en este contexto geométrico.
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9.8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros. Calcula la longitud necesaria para que el periodo sea exactamente de $2$ segundos e indica el dominio teórico de la función $T(L)$ en este contexto físico.
El costo de producción $C(x)$, en pesos, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por…
El costo de producción $C(x)$, en pesos, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por $C(x) = 150\,000 + 7\,200\sqrt{x - 50}$. Determina el dominio válido para la función de costos y calcula cuántas piezas se han fabricado si el costo total ha ascendido a $294\,000$ pesos.
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío (aproximadamente $3 \times 10^8$ m/s). Determina el dominio de la función $\gamma(v)$ e interpreta físicamente qué ocurre con la función cuando $v$ se acerca a los extremos de dicho dominio.
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$.…
Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Expresa el perímetro del rectángulo $P(x)$ en función de la coordenada $x$ del vértice situado en el primer cuadrante. Determina el dominio válido de $P(x)$ en este contexto geométrico y calcula su valor para $x = 3$.
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de pesos, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados…
Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costos $C(x)$ diarios, en miles de pesos, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados por $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ y $C(x) = 2x + 5$. Determina el dominio de la función beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ en el contexto del problema y calcula si la empresa obtiene ganancias o pérdidas al fabricar $15$ toneladas.
Vuelve al principio: la fórmula de la ferretería solo funciona para los valores que dejan el radicando mayor o igual que cero, y resolver esa inecuación te da el dominio exacto.